高等数学第六章习题

⾼等数学第六章习题
第六章定积分的应⽤
第⼆节定积分在⼏何上的应⽤1.求图中各阴影部分的⾯积:（1）
(2)
(3)
(4)
.
2. 求由下列各曲线所围成的图形的⾯积:
(1) 22
1x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);
(2)x
y 1=与直线y =x 及x =2;
(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;
(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).
3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的⾯积. .
4. 求下列各题中平⾯图形的⾯积：
（1）曲线2
4y x =及其在点(1,2)处的法线所围城的图形。

.
（2）.曲线3
32y x x =-+在x 轴上介于两极值点之间的曲边梯形。

5. 求由下列各曲线所围成的图形的⾯积;
(1)ρ=2a cos θ ;
(2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;
(3)ρ=2a (2+cos θ )
.
6. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的⾯积.
（1）24cos ρρθ==及
（2）3cos 1cos ρθρθ==+及
（3）2cos 2ρθρθ=
=及
7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产⽣的旋转体的体积：
（1）2
x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。

（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。

（3）()22x y 516,x +-=绕轴。

（4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。

（5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的⼀拱，绕轴。

8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. . 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积. 10．（1）证明由平⾯图形0≤a≤x≤b, 0≤y≤f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
=b
a
dx
x
xf
V)
(
2π.
（2）利⽤题（1）结论,计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.
11．计算底⾯是半径为R的圆,⽽垂直于底⾯上⼀条固定
直径的所有截⾯都是等边三⾓形的⽴体体积.
.
12．计算曲线
3
2
2
3
y x
=上相应于38
x
≤≤的⼀段弧的弧长。

13．计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的⼀段弧的弧长。

14．求星型线3
3cos sin x a t
y a t ?=?=?的全长。

15．求曲线()1cos a ρθ=-的周长。

第三节定积分在物理学中的应⽤
1.由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的⼒F(单位:N)与伸长量s(单位: cm)成正⽐,即F=ks (k为⽐例常数).如果把弹簧由原长拉伸6cm,计算所作的功.
.
2．直径为20cm、⾼80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽.设温度保持不变,要使蒸汽体积缩⼩⼀半,问需要作多少功？
3．设地球的质量为M，半径为R，现要将⼀个质量为m的物体从地球表⾯升⾼到h处，问需要做多少功（设引⼒系数为G）？4．半径为R的圆柱体沿固定⽔平⾯做纯滚动，试分别求圆⼼C沿其轨迹移动的距离S时，作⽤于其上的静滑动摩擦⼒和滚动摩阻⼒偶的功
5．设⼀锥形贮⽔池,深15m,⼝径20m,盛满⽔,今以唧筒将⽔吸尽,问要作多少功？
6.有⼀闸门,它的形状和尺⼨如图,⽔⾯超过门顶2m.求闸门上所受的⽔压⼒.
7.洒⽔车上的⽔箱是⼀个横放的椭圆柱体,尺⼨如图所⽰.
当⽔箱装满⽔时,计算⽔箱的⼀个端⾯所受的压⼒.
8.有⼀等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m和6m,⾼为20m.较长的底边与⽔⾯相齐.计算闸门的⼀侧所受的⽔压⼒.
9．⼀底为8cm、⾼为6cm的等腰三⾓形⽚,铅直地沉没在⽔中,顶在上,底在下且与⽔⾯平⾏,⽽顶离⽔⾯3cm,试求它每⾯所受的压⼒.
10.设有⼀长度为l、线密度为µ的均匀细直棒,在与棒的⼀端垂直距离为a单位处有⼀质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引⼒.
总复习题六
1．填空题：
（1）曲线2y x =与22y x x =-直线围成所界区域的⾯积为
（2）曲线226y x =+与直线1y x =-所界区域的⾯积为
（3）曲线0y =?上相应于0x π≤≤的⼀段弧长为
(4) 圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积
（5）⼀圆盘的半径为R ，⽽密度为()ργ，其中γ为圆盘上⼀点到圆⼼的距离，则其质量M
2．求抛物线2
23x x y --=与Ox 轴所围成图形的⾯积。

3．求抛物线x y =2与42+-=x y 所围成图形的⾯积。

4．求圆2
22r y x =+的⾯积、圆周长。

5．求双纽线θ2cos 22a r =的⾯积。

6．求⼼脏线)cos 1(θ+=a r 绕极轴旋转所成旋转体体积。

7．求摆线?
-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x )20(π≤≤t 与x 轴围成图形的⾯积，弧长，绕x 轴旋转体体积。

8．求悬链线)(,)(2a x a x ach e e a y a x
a x ≤=+=-下的曲边梯形的⾯积，弧长，绕x 轴旋转体体积。

9．抛物线)0(,22
a x px y ≤≤=绕x 轴旋转所得旋转抛物⾯的体积。

10．证明曲线x y sin =的⼀个周期的弧长等于椭圆222
2=+y x 的周长。

11．求椭球体122
2222=++c
z b y a x 的体积。

12．设有⼀半径为R ，长度为l 的圆柱体平放在深度为R 2的⽔池中（圆柱体的侧⾯与⽔⾯相
切）。

设圆柱体的⽐重为)1(>ρρ，现将圆柱体从⽔中移出⽔⾯，问需做多少功？
13．⼀块⾼为a，底为b的等腰三⾓形薄板，垂直地沉没在⽔中，顶在下，底与⽔⾯相齐，试计算薄板每⾯所受的压⼒。

14．⽤铁锤将⼀铁钉击⼊⽊板，设⽊板对铁钉的阻⼒与铁钉击⼊⽊板的深度成正⽐，在铁锤
1，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第⼆击第⼀次时能将铁钉击⼊⽊板内cm
次时，能将铁钉⼜击⼊多少cm？。