专题06一元一次方程及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题06 一元一次方程
（知识点总结+例题讲解）
一、方程与整式、等式的区别：
1.从概念来看：
（1）整式：单项式和多项式统称整式；－3a+2b，3m2n不含等号，是代数式；（2）等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式；
如2+3=5，m＝n＝n＋m等都叫做等式；
（3）方程：含有未知数的等式叫做方程；如5x＋3＝11；
理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。

（两者缺一不可）2.从是否含有等号来看：
（1）方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式；
（2）整式仅用运算符号连接起来，不含有等号；
3.从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；
二、方程相关概念及一元一次方程：
（2）特点：一元一次方程须满足下列三个条件：
①只含有一个未知数；
②未知数的次数是1次；
③整式方程；
（3）注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。

（4）一般形式： ax+b=0 ；(其中x是未知数，a、b为常数，且a≠0)
【例题1】(2019•呼和浩特)关于x的方程mx2m﹣1+(m﹣1)x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为．
【答案】x＝2或x＝﹣2
【解析】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+(m﹣1)x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，
方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2；故答案为：x＝2或x＝﹣2。

【变式练习1】已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是( )
A．－5 B．5 C．7 D．2
【答案】B
【解析】直接利用方程的解的定义可得出关于a的方程：6－a＝1，所以a＝5。

三、一元一次方程的解法：
1.方程的同解原理(等式的基本性质)：
（1）性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等；
即：如果a=b，那么a±c= b±c
（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：
①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式；
即：如果a=b，那么b=a；
②传递性：等式的传递性，习惯上也称作是等量代换；
即：如果a=b，且b=c，那么a=c；
2.解一元一次方程的步骤：
（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止
漏乘(尤其整数项)，注意添括号；
（2）去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘；
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移
项要变号)，依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号；
（4）合并同类项：把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，
不要出差错；
（5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x ＝b/a ,依据等式
基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。

3.说明：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用：
①a ≠0时，方程有唯一解x ＝b/a ；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b ≠0时，方程无解。

【例题2】(2020•重庆A 卷)解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是( )
A ．3(x+1)=1-2x
B ．2(x+1)=1-3x
C ．2(x+1)=6-3x
D ．3(x+1)=6-2x
【答案】D
【解析】解：方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6-2x ；故选：D 。

【变式练习2】解方程：(1)20%+50%x=7.2；(2)5382x x -=． 【答案】(1)14；(2)4；
【解析】解：(1)移项，得：50%x=7.2–20%，合并同类项，得：0.5x=7，
将x 的系数化为1，解得：x=14．
(2)合并同类项，得：3382x =，将x 的系数化为1，解得：x=4。

四、一元一次方程的实际应用：
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：
2.关键：寻找等量关系是关键，注意两点：
（1）设适当的未知数；
（2）题中各个量的单位。

3.常见的一些等量关系：
（1）行程问题：距离=速度·时间
（2）工程问题：工作量=工效·工时
（3）比率问题：部分=全体·比率
（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度
（5）商品价格问题：售价=定价·折·
10
1；利润=售价-成本；%100⨯-=成本成本售价利润率 （6）周长、面积、体积问题：
①周长：C 圆=2πR ， C 长方形=2(a+b)， C 正方形=4a ；
②面积：S 圆=πR 2， S 长方形=ab ， S 正方形=a 2， S 环形=π(R 2-r 2)；
③体积：V 圆柱=πR 2h ， V 长方体=abc ， V 正方体=a 3， V 圆锥=31πR 2h 。

【例题3】(2020•山西)2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张)．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．
【答案】580元
【解析】设该电饭煲的进价为x 元，则售价为80%×(1+50%)x 元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可。

解：设该电饭煲的进价为x 元，则标价为(1+50%)x 元，售价为80%×(1+50%)x 元， 根据题意，得：80%×(1+50%)x -128=568
解得x =580．
答：该电饭煲的进价为580元。

【变式练习3】(2019·安徽省)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【答案】10天
【解析】设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(x ﹣2)米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
解：设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(x ﹣2)米，
由题意，得2x +(x +x ﹣2)＝26，
解得x ＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
146261075
-=+(天) 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天。

【例题4】(2019▪湖北黄石)“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”(出自《九
章算术》)意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
(1)今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
(2)今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
【答案】(1)当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步；
(2)走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
【解析】(1)设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可。

由题意得
x：600＝100：60
∴x＝1000
∴1000﹣600﹣100＝300
所以当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．
(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．
由题意得
y＝200+y
∴y＝500
所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人。

【变式练习4】(2019•湖南岳阳)岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开
放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
(1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
(2)该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
【答案】（1）复耕土地面积是900亩；（2）休闲小广场总面积最多为75亩。

【解析】(1)设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是(600+x)亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答；
由题意，得x+(600+x)＝1200,解得x＝300．
则600+x＝900．
所以改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩。

(2)设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是(300﹣y)亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出不等式并解答．
由题意，得y≤(300﹣y)．
解得y≤75．
故休闲小广场总面积最多为75亩。