立体几何中求“角”总汇 专题辅导 不分版本

立体几何中求“角”总汇 杨熬直 在学完立体几何之后，同学们也许就会发现，立体几何研究的是空间中的线线、线面、面面关系，其中包括它们的“角”和“距离”，是高考的必考内容，下面就简要介绍一下立体几何中的“角”的求法。

一、求异面直线所成的角
例1 如图所示，在正方体1AC 中，M 、N 分别是棱11B A 、1BB 的中点，求异面直线AM 和所成角的余弦值。

解：在平面11A ABB 内作EN ∥AM 交AB 于E ，则EN 与所成的锐角（或直角），即为AM 和所成的角。

设正方体棱长为a 。

在△E 中，可求得a 4
17CE ,a 45EN ,a 25CN ===，由余弦定理得 .5
2CN EN 2CE CN EN CNE cos 222=⋅-+=∠ 即异面直线AM 与所成角的余弦值为5
2。

二、求直线与平面所成的角
例2 如图，在直三棱柱O B A ABO '''-中，︒=∠==='90AOB ,3OB ,4OA ,4O O ，D 是线段B A ''的中点，P 是侧棱B B '上的一点。

若OP ⊥BE ，求OP 与平面OAB 所成角的大小。

解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，B （3，0，0），⎪⎭
⎫ ⎝⎛4,0,23E 。

设P （3，0，z ），则).z ,0,3(OP ,4,0,23BE =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= ∵BE ⊥OP ，
,0z 429OP BE =+-=⋅∴解得.8
9z =
,AOB B B 平面⊥' B B '∴是平面AOB 的法向量，且).4,0,0(B B ='
.73
733|B B ||OP |OP
B B |BPO cos |POB sin ='⋅'=∠=∠∴ ,73733arcsin POB =∠∴即直线OP 与平面OAB 所成角的大小为.73
733arcsin
三、求二面角
例3 如图，ABCD 是边长为6的正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝8，求二面角D SC B --的大小。

解：建立如图所示的空间直角坐标系，则B （6，0，0），C （6，6，0），S （0，0，8），D （0，6，0）。

).8,6,0(SD ),0,0,6(CD ),8,0,6(BS ),0,6,0(BC -=-=-==∴
设平面SBC 与平面SCD 的法向量分别为).z ,y ,x (),z ,y ,x (222111==n m
则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0BS m ,0BC m 即⎩
⎨⎧=+-=.0z 8x 6,0y 6111 令,3z 1=则4x 1=，所以).3,0,4(m =
同理⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0BD n ,0CD n 解得).3,4,0(n =
.25
9|n ||m |n m n ,m cos =⋅>=<∴ 由题意知二面角D SC B --的大小为.25
9arccos -π
［练一练］
长方体1111D C B A ABCD -中，AB ＝5，AD ＝8，4AA 1=，M 为11C B 上的一点，且2M B 1=，点N 在线段D A 1上，AN D A 1⊥，垂足为N 。

求D A 1与AM 所成角的大小。

参考答案：
2。