{3套试卷汇总}2019年邢台市九年级上学期数学期末复习检测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在4×4的网格中，点A，B，C，D，H均在网格的格点上，下面结论：
①点H是△ABD的内心
②点H是△ABD的外心
③点H是△BCD的外心
④点H是△ADC的外心
其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出AB＝BC＝10，AD＝32，CD＝2，AC＝25，再利用勾股定理的逆定理可得到∠ABC＝∠ADC＝90°，则CB⊥AB，CD⊥AD，根据角平分线定理的逆定理可判断点C不在∠BAD 的角平分线上，则根据三角形内心的定义可对①进行判断；由于HA＝HB＝HC＝HD＝22
+=，则
125
根据三角形外心的定义可对②③④进行判断．
【详解】解：∵AB＝BC＝22
+=，AD＝32，CD＝2，AC＝22
1310
+=，
2425
∴AB2+BC2＝AC2，CD2+AD2＝AC2，
∴△ABC和△ADC都为直角三角形，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，而CB≠CD，
∴点C不在∠BAD的角平分线上，
∴点H不是△ABD的内心，所以①错误；
∵HA＝HB＝HC＝HD＝22
+=，
125
∴点H是△ABD的外心，点H是△BCD的外心，点H是△ADC的外心，所以②③④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外心和勾股定理．
2．对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ）
A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线.
B ．其最小值为1.
C ．其图象与x 轴没有交点.
D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大.
【答案】D
【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案.
【详解】解：()2
261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x=3，顶点坐标是（3，1）； A 、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；
B 、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；
C 、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x 轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；
D 、当3x <时，y 随x 的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
3．对于二次函数y ＝﹣2x 2，下列结论正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大
B ．图象关于直线x ＝0对称
C ．图象开口向上
D ．无论x 取何值，y 的值总是负数 【答案】B
【分析】根据二次函数的性质可判断A 、B 、C ，代入x=0，可判断D.
【详解】解：∵a ＝﹣2＜0，b=0，
∴二次函数图象开口向下；对称轴为x ＝0；当x ＜0时，y 随x 增大而增大，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，
故A ，C 错误，B 正确，
当x=0时，y=0，故D 错误，
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握基础知识是解题关键.
4．如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ．有下列结论：
①∠BAE ＝30°；
②射线FE 是∠AFC 的角平分线；
③CF ＝13
CD ； ④AF ＝AB ＋CF ．
其中正确结论的个数为（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
【答案】B 【分析】根据点E 为BC 中点和正方形的性质，得出∠BAE 的正切值，从而判断①，再证明△ABE ∽△ECF ，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE ∽△AEF ，可判断②③，过点E 作AF 的垂线于点G ，再证明△ABE ≌△AGE ，△ECF ≌△EGF ，即可证明④.
【详解】解：∵E 是BC 的中点，
∴tan ∠BAE=1=2
BE AB ， ∴∠BAE ≠30°，故①错误；
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD ，
∵AE ⊥EF ，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF ，
在△BAE 和△CEF 中， ==B C BAE CEF
∠∠⎧⎨∠∠⎩， ∴△BAE ∽△CEF ，
∴==2AB BE EC CF
， ∴BE=CE=2CF ，
∵BE=CF=
12BC=12CD ， 即2CF=
12CD ， ∴CF=14
CD ， 故③错误；
设CF=a ，则BE=CE=2a ，AB=CD=AD=4a ，DF=3a ，
∴
AE=，
，AF=5a ，
∴AE AF
=BE EF ， ∴=AE BE AF EF
， 又∵∠B=∠AEF ，
∴△ABE ∽△AEF ，
∴∠AEB=∠AFE ，∠BAE=∠EAG ，
又∵∠AEB=∠EFC ，
∴∠AFE=∠EFC ，
∴射线FE 是∠AFC 的角平分线，故②正确；
过点E 作AF 的垂线于点G ，
在△ABE 和△AGE 中，
===BAE GAE B AGE AE AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABE ≌△AGE （AAS ），
∴AG=AB ，GE=BE=CE ，
在Rt △EFG 和Rt △EFC 中，
==GE CE EF EF ⎧⎨⎩
， Rt △EFG ≌Rt △EFC （HL ），
∴GF=CF ，
∴AB+CF=AG+GF=AF ，故④正确.
故选B.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．
5．如图，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为()4,2，反比例函数k y x
=
的图象经过矩形对角线的交点P ，则k 的值是（ ）
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C 【分析】根据矩形的性质求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入k y x
=中，求出k 的值即可． 【详解】∵点P 是矩形OABC 的对角线的交点，点B 的坐标为4,2 ∴点P ()2,1 将点P ()2,1代入k y x
=中 12
k = 解得2k =
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及反比例函数的性质，掌握代入求值法求出k 的值是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点12A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，在直线23y x =+上，连接OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°，点A 的对应点B 恰好落在直线y x b =-+上，则b 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．32
D ．52 【答案】D 【分析】根据已知条件可求出m 的值，再根据“段OA 绕点O 顺时针旋转90°”求出点B 坐标，代入y x b =-+即可求出b 的值．
【详解】解：∵点1
2A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，在直线23y x =+上， ∴12322m ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭
， ∴122A ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 又∵点B 为点A 绕原点顺时针旋转90°所得，
∴点B 坐标为122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，
又∵点B 在直线y x b =-+，代入得
122b =-+ ∴52
b = 故答案为D ．
【点睛】
本题考查了一次函数与旋转的相关知识，解题的关键是能够根据已知条件得出点B 的坐标．
7．宽与长的比是512
-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A ．矩形ABFE
B ．矩形EFCD
C ．矩形EFGH
D ．矩形DCGH
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF=GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF 中，DF =
FG ∴=
1CG ∴=
12
CG CD -∴= ∴矩形DCGH 为黄金矩形
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH 也为黄金矩形．
8．在平面直角坐标系中，把点(3,2)P -绕原点O 顺时针旋转180，所得到的对应点P'的坐标为（ ） A ．(3,2)
B ．(2,3)-
C ．(3,2)-
D ．(3,2)- 【答案】C
【分析】根据题意得点P 点P′关于原点的对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特点即可得解.
【详解】∵P 点坐标为（3，-2），
∴P 点的原点对称点P′的坐标为（-3，2）．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化-旋转，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
9．在ABC ∆中，90C ∠=︒，4sin 5A =
，则cos B 的值为( ) A ．43 B ．34 C ．35 D ．45
【答案】D
【分析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，
则cosB=sinA=45
．
【点睛】
本题考查了互余两角三角函数的关系，在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．
10．已知函数()13a y a x
+=+是反比例函数，则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、四象限
D ．第二、三象限 【答案】A
【分析】首先根据反比例函数的定义，即可得出2a =-，进而得出反比例函数解析式，然后根据其性质，即可判定其所在的象限.
【详解】根据已知条件,得11a +=-
即2a =- ∴函数解析式为1y x
= ∴此反比例函数的图象在第一、三象限
故答案为A .
【点睛】
此题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.
11．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且第一季度的产值为175亿元．若设平均每月的增长率为x ，根据题意可列方程为( )
A ．50(1＋x)2＝175
B ．50＋50(1＋x)2＝175
C ．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175
D ．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175
【答案】D
【分析】增长率问题，一般为：增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），本题可先用x 表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：二月份的产值为：50（1＋x ），
三月份的产值为：50（1＋x ）（1＋x ）＝50（1＋x ）2，
故根据题意可列方程为：50＋50（1＋x ）＋50（1＋x ）2＝1．
故选D ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．
12．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB ＝10，水面宽AB ＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是（ ）
A ．4
B ．5
C ．3
D ．6
【答案】D 【解析】试题解析：∵OC ⊥AB ，OC 过圆心O 点，
1116822
BC AC AB ∴===⨯=， 在Rt OCB △中,由勾股定理得：2222108 6.OC OB BC =--=
故选D.
点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．
【答案】y ＝2（x +3）2+1
【解析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移到点P （﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y ＝2（x+3）2+1．
故答案为：y ＝2（x+3）2+1
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14．已知二次函数y=-x 2+2x+5，当x________时，y 随x 的增大而增大
【答案】x<1
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案．
【详解】解：∵y=-x 2+2x+5=-（x-1）2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，
故答案为：＜1．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．
15．已知抛物线24y x bx =-++经过(2,)n -和(4,)n 两点，则n 的值为__________．
【答案】4-
【分析】根据（-2，n ）和（1，n ）可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴的x=2(1)
b -
⨯-，即可求出b ，于是可求n 的值.
【详解】解：抛物线24y x bx =-++经过（-2，n ）和（1，n ）两点，可知函数的对称轴x=1， ∴2(1)
b -⨯-=1， ∴b=2；
∴y=-x 2+2x+1，
将点（-2，n ）代入函数解析式，可得n=-1；
故答案是：-1．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
16．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB=∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．
【答案】∠P=∠B （答案不唯一）
【分析】要使△APQ ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC 可知∠PAQ=∠BAC ，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或AP AQ AB AC
=． 【详解】解：这个条件为：∠B=∠P
∵∠PAB=∠QAC ，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P ，
∴△APQ ∽△ABC ，
故答案为：∠B=∠P 或∠C=∠Q 或
AP AQ AB AC =． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17．在反比例函数y=12m x +的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m
的取值范围是_____．
【答案】m ＞﹣12 【详解】∵反比例函数y=
12m x
+的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2， ∴1+2m ＞0， 故m 的取值范围是：m ＞﹣
12， 故答案为：m ＞﹣
12
. 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数k y x
=，当k ＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y 随x 的增大而减小；当 k ＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y 随x 的增大而增大.
18．如图，直线////a b c ，若12AB BC =，则DE DF
的值为_________
【答案】13
【解析】先由
12AB BC =得出13
AB AC =，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】∵12
AB BC =， ∴13AB AC =， ∵a ∥b ∥c ，
∴
DE DF ＝13
AB AC =． 故答案为：13. 【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，已知直线y 1＝﹣x+3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物y 2＝ax 2+bx+c 经过点B ，C 并与x 轴交于点A （﹣1，0）．
（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D 坐标 ；
（2）当y 2＜0时、请直接写出x 的取值范围 ；
（3）当y 1＜y 2时、请直接写出x 的取值范围 ；
（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式．
【答案】（1）(1,4)；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝-x2+2x+1．
【分析】（1）列方程得到C（0，3），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），列方程即可得到结论；
（2）由图象即可得到结论；
（3）由图象即可得到结论；
（4）当根据平移的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
抛物线过点C（0，3），
∴3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝-1，
∴y＝-（x+1）（x﹣3）＝-x2+2x+3，
∴顶点D（1，4）；
（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；
（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；
（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∵抛物线向下平移2个单位，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．
故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝x2+2x+1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，及二次函数的性质，是一道综合性比较强的题，看懂图象是解题的关键.
20．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC 的坡度i 为1:2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，从顶棚的D 处看E 处的仰角1830'α=，竖直的立杆上C 、D 两点间的距离为4m ，E 处到观众区底端A 处的水平距离AF 为3m ．
求：（1）观众区的水平宽度AB ；
（2）顶棚的E 处离地面的高度EF ．（sin1830'0.32≈，tan1830'0.33≈，结果精确到0.1m ）
【答案】（1）20；（2）顶棚的E 处离地面的高度EF 约为21.6m ．
【分析】（1）根据坡度的概念计算；
（2）作CM EF ⊥于M ，DN EF ⊥于N ，根据正切的定义求出EN ，结合图形计算即可．
【详解】（1）∵观众区AC 的坡度i 为1:2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，
∴()220AB BC m ==，
答：观众区的水平宽度AB 为20m ；
（2）如图，作CM EF ⊥于M ，DN EF ⊥于N ，则四边形MFBC 、MCDN 为矩形，
∴10MF BC ==，4MN CD ==，23DN MC BF ===，
在Rt END ∆中，tan EN EDN DN
∠=， 则tan 7.59EN DN EDN =⋅∠≈，
∴()7.5941021.6EF EN MN MF m =++=++≈，
答：顶棚的E 处离地面的高度EF 约为21.6m ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．如图，DC EF GH AB ，12AB =，6CD =，::3:4:5DE EG GA =．求EF 和GH 的长．
【答案】7.5EF =，9.5GH =．
【分析】过C 作CQ ∥AD ，交GH 于N ，交EF 于M ，交AB 于Q ，则可判断四边形AQCD 为平行四边形，所以AQ=CD=6，同理可得EM=EM=CD=6，则BQ=AB-AQ=6，再利用平行线分线段成比例定理得到DE ：EG ：GA=CF ：HF ：HB=3：4：5，然后根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直
线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到MF ：BQ=CF ：
CB=3：12，NH ：BQ=CH ：CB=7：12，则可计算出MF 和NH ，从而得到GH 和EF 的长
【详解】解：过C 作CQ AD ，交GH 于点N ，交EF 于点M ，交AB 于Q ，如图，
∵CD AB ，
∴四边形AQCD 为平行四边形．
∴6AQ CD ==，
同理可得6GN EM CD ===．
∴6BQ AB AQ =-=．
∵DC EF GH AB ，
∴::::3:4:5DE EG GA CF HF HB ==．
∵MF NH BQ ，
∴()::3:345MF BQ CF CB ==++，()()::34:345NH BQ CH CB ==+++． ∴36 1.512MF =⨯=，76 3.512
NH =⨯=． ∴6 1.57.5EF EM MF =+=+=，6 3.59.5HG GN NH =+=+=．
故答案为7.5EF =，9.5GH =．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
22．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，CD上一点E，连接AE，将△ADE绕点A旋转90°得△AFG，连接EG、DF．
（1）画出图形；
（2）若EG、DF交于BC边上同一点H，且△GFH是等腰三角形，试计算CE长．
【答案】（1）见解析；（2）CE=3-22
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据旋转的性质得到DE=FG，△ADF、△BHF是等腰直角三角形，故求出FH=22，再根据等腰三角形的性质得到GF=FH=22=DE，故可求出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）由旋转得，AD=AF=5，DE=GF
∵∠BAD=90°
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴A、B、F在同一直线上
∴BF=2=BH
∴△BHF为等腰直角三角形，
∴22
=2
22
∵△GFH是等腰三角形且∠GFH=90°+45°=135°
∴GF=FH=22=DE
∵CD=AB=3
∴CE=CD-DE=3-22．
【点睛】
此题主要考查矩形及旋转的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质．
23．解方程：5x（x+1）＝2（x+1）
【答案】x＝﹣1或x＝0.1
【分析】先移项，再利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵5x(x+1)﹣2(x+1)＝0，
∴(x+1)(5x﹣2)＝0，
则x+1＝0或5x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝0.1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
24．甲、乙两人用如图所示的转盘（每个转盘被分成面积相等的6个扇形）做游戏，转动转盘停止时，得到指针所在区域的数字，若指针落在分界线上，则不计入次数，重新转动转盘记数．
(1)任意转动转盘一次，求指针落在奇数区域的概率；
(2)若游戏规则如下：甲乙分别转盘一次，记下两次指针所在区域数字，若两次的数字为一奇一偶，则甲赢；若两次的数字同为奇数或同为偶数，则乙赢．请用列表法或画树状图的方法计算甲、乙获胜的概率，并说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）1
2
；（2）游戏规则公平，理由详见解析
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）P（指针落在奇数区域）=31 62 ．
(2)列表如下：（画树形图评分方案同列表）
1 2 3 4 5 6
1 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）
6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
由表可知，P（甲获胜）=P（一奇一偶）=
362
=，
P（乙获胜）=P（同奇或同偶）=181 362
=，
P（甲获胜）= P（乙获胜）=1
2
，
所以，游戏规则公平
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
平均数中位数众数方差
甲班8.5 8.5
乙班8.5 10 1.6
（2）根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．
【答案】（1）8.50.78
，，；（2）答案见解析
【分析】（1）根据“中位数”、“众数”的定义及“方差”的计算公式结合统计图中的数据进行分析计算即可； （2）按照题中要求，分别根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行说明即可.
【详解】解：（1）甲的众数为：8.5， 方差为：(
222221
[(8.58.5)(7.58.5)(88.5)(8.58.5)108.5)5⎤-+-+-+-+-⎦ 0.7=，
乙的中位数是：8；
故答案为8.50.78，，；
（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从中位数看，甲班的中位数大，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的众数大，所以乙班的成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
【点睛】
理解“平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法”是正确解答本题的关键.
26．计算：（1）2sin 45tan 30cos30︒︒︒+⋅；（2）解方程2810x x -+=
【答案】（1）12
；（2）4x =【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入原式，然后再计算；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）原式2232
=⨯
+-12=12= （2）∵281x x -=-，
∴2816116x x -+=-+，即()2415x -=，
则4x -= ∴4x =
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值以及用因式分解法解方程．记住特殊角的三角函数值是解题关键， 27．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．
(1)求证：△ABC ∽△FCD ；
(2)若S △ABC ＝20，BC ＝10，求DE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）83
DE = 【分析】（1）根据题目条件证明ADC ACD ∠=∠和EBC ECB ∠=∠，利用两组对应角相等的三角形相似，证明ABC FCD ；
（2）过点A 作AM CD ⊥于点M ，先通过ABC 的面积求出AM 的长，根据//DE AM 得到23
DE BD AM BM ==，再算出DE 的长． 【详解】解：（1）∵AD AC =，
∴ADC ACD ∠=∠，
∵D 是BC 边上的中点且DE BC ⊥
∴EB EC =，
∴EBC ECB ∠=∠，
∴ABC FCD ；
（2）如图，过点A 作AM CD ⊥于点M ， ∵1202ABC S
BC AM =⋅=， ∴
110202AM ⨯=，解得4AM =， ∵AD AC =，AM CD ⊥，
∴DM MC =，
∵BD CD =，
∴2BD DM =，
∵DE BC ⊥，AM CD ⊥，
∴//DE AM ， ∴
23
DE BD AM BM ==， ∴83DE =．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．函数y ＝ax 2与y ＝﹣ax+b 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】A 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a ->，∴0a <，所以A 错误；
B 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以B 正确；
C 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以C 错误；
D 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以D 错误．
故选B ．
点睛：在函数2
y ax =与y ax b =-+中，相同的系数是“a ”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“a ”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b ”的取值无关.
2．已知点A 、B 、C 、D 、E 、F 是半径为r 的⊙O 的六等分点，分别以A 、D 为圆心，AE 和DF 长为半径画圆弧交于点P ．以下说法正确的是( )
①∠PAD=∠PDA=60º； ②△PAO ≌△ADE ；③PO=2r ；④AO ∶OP ∶PA=1∶2∶3.
A ．①④
B ．②③
C ．③④
D ．①③④
【答案】C 【解析】解：∵A 、B 、C 、D 、E 、F 是半径为r 的⊙O 的六等分点，
∴AE DF =，
∴AE=DF ＜AD ，
根据题意得：AP=AE ，DP=DF ，
∴AP=DP ＜AD ，
∴△PAD 是等腰三角形，∠PAD=∠PDA≠60°，①错误；
连接OP 、AE 、DE ，如图所示，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴AD ＞AE=AP ，②△PAO ≌△ADE 错误，∠AED=90°，∠DAE=30°，
∴DE=r ，33r ，
∴3，
∵OA=OD ，AP=DP ，
∴PO ⊥AD ，
∴222AP OA -=，③正确；
∵AO ：OP ：PA=r 2r 3r=123
∴④正确；
说法正确的是③④，
故选C ．
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A ．明天太阳从北边升起
B ．实心铅球投入水中会下沉
C ．篮球队员在罚球线投篮一次，投中
D ．抛出一枚硬币，落地后正面向上
【答案】B
【解析】必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】A 、明天太阳从北边升起是不可能事件，错误；
B 、实心铅球投入水中会下沉是必然事件，正确；
C 、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，错误；
D 、抛出一枚硬币，落地后正面向上是随机事件，错误；
故选B ．
【点睛】
考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件. 4．如图，将OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，若40AOB ∠=，则AOD ∠=（ ）
A ．45°
B ．40°
C ．35°
D ．30°
【答案】D 【分析】首先根据旋转角定义可以知道70BOD ∠=，而40AOB ∠=，然后根据图形即可求出AOD ∠．
【详解】解：∵OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，
∴70BOD ︒∠=，
而40AOB ︒∠=，
∴704030AOD ∠=-=
故选D ．
【点睛】
此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 5．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13
，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ）
A ．（3，2）
B ．（3，1）
C ．（2，2）
D ．（4，2）
【答案】A 【详解】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为
13， ∴AD BG =13
， ∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD ∥BG ，
∴△OAD ∽△OBG ， ∴
OA OB =13
， ∴2OA OA +=13， 解得：OA=1，∴OB=3，
∴C 点坐标为：（3，2），
故选A ．
6．sin 45︒的值等于( )
A B C ．12 D ．2
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数即得．
【详解】sin 45︒ 故选：D ．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数，解题关键是熟悉30，45︒及60︒的正弦、余弦和正切值．
7．把抛物线2–y x =先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（ ） A ．()212y x =-++
B ．()2
12y x =-+- C ．()212y x =---
D ．()=+-2y x 12 【答案】B
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【详解】解：抛物线y=-x 1的顶点坐标为（0，0），
先向左平移1个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，-1），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=-（x+1）1-1．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
8．抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A ．（3，5）
B ．（﹣3，5）
C ．（3，﹣5）
D ．（﹣3，﹣5） 【答案】B
【解析】解：抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B ．
9．若()350a b b =≠，则下列各式一定成立的是（ ）
A ．35a b =
B ．53a b =
C ．35a b =
D ．145
a b += 【答案】B
【分析】由0,b ≠ 等式的两边都除以3b ，从而可得到答案．
【详解】解：()350,a b b =≠
∴ 等式的两边都除以：3b ，
35,33a b b b
∴= 5.3
a b ∴= 故选B ．
【点睛】
本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A ．3x 2＋1x ＝0
B ．（3x －1）（3x ＋1）＝3
C ．（x －3）（x －2）＝x 2
D ．2x －3y ＋1＝0 【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能等于0，未知数最高次数是2的整式方程，即可得到答案.
【详解】解：A 、不是整式方程，故本项错误；
B 、化简得到2940x -=，是一元二次方程，故本项正确；
C 、化简得到5x 60-+=，是一元一次方程，故本项错误；
D 、是二元一次方程，故本项错误；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键.
11．设()12,A y -，()21,B y ,()32,C y 是抛物线22(1)y a x k =++（a ，k 为常数，且0a ≠）上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >>
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y=a 2（x+1）2+k （a ，k 为常数，且a ≠0）的开口向上，
对称轴为直线x=-1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线抛物线y=a 2（x+1）2+k （a ，k 为常数，且a ≠0）的开口向上，对称轴为直线x=-1，
而A （-2，y 1）离直线x=-1的距离最近，C （2，y 1）点离直线x=-1最远，
∴y 1＜y 2＜y 1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
12．点(4,3)-是反比例函数k y x =的图象上的一点，则k =（ ） A ．12-
B ．12
C ．34-
D ．1
【答案】A 【解析】将点(4,3)-代入k y x
=即可得出k 的值． 【详解】解：将点(4,3)-代入k y x =
得，34k -=，解得k=-12， 故选：A ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点，若一个点在某个函数图象上，则这个点一定满足该函数的解析式．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，一次函数2y x =--与y kx b =+的图象交于点(),4P n -，则关于x 的不等式2kx b x +<--的解集为______.
【答案】2x <
【分析】先把(),4P n -代入2y x =--求出n 的值，然后根据图像解答即可.
【详解】把(),4P n -代入2y x =--，得
-n-2=-4，
∴n=2，
∴当x<2时，2kx b x +<--.
故答案为：x<2.
【点睛】
本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，以及一次函数和一元一次不等式的关系、数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
14．如图，直线AB 与⊙O 相切于点C ，点D 是⊙O 上的一点，且∠EDC=30°，则∠ECA 的度数为_________．
【答案】30°
【分析】连接OE 、OC ，根据圆周角定理求出∠EOC=60°，从而证得EOC △为等边三角形，再根据切线及等边三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接OE 、OC ，
∵∠EDC=30°，
∴∠EOC=2∠EDC=60°，
又∵OE=OC ，
∴EOC △为等边三角形，
∴∠ECO=60°，
∵直线AB 与圆O 相切于点C ，
∴∠ACO=90°，
∴∠ECA=∠ACO －∠ECO=90°－60°=30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质、圆周角定理及切线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各性质判定定理是解题的关键．
15．点()2,5A -关于原点对称的点为_____．
【答案】()2,5-
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，即可得到答案.。