浙江省宁波市海曙区三校联考2024届中考数学押题试卷含解析

浙江省宁波市海曙区三校联考2024届中考数学押题试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算
25
()
77
-+-的正确结果是（）
A．3
7
B．-
3
7
C．1 D．﹣1
2．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是()
A．小丽从家到达公园共用时间20分钟B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽在便利店时间为15分钟D．便利店离小丽家的距离为1000米
3．如图，正方形ABCD的边长为4，点M是CD的中点,动点E从点B出发，沿BC运动，到点C时停止运动，速度为每秒1个长度单位；动点F从点M出发，沿M→D→A远动，速度也为每秒1个长度单位：动点G从点D出发，沿DA运动，速度为每秒2个长度单位，到点A后沿AD返回，返回时速度为每秒1个长度单位，三个点的运动同时开始，同时结束．设点E的运动时间为x，△EFG的面积为y，下列能表示y与x的函数关系的图象是（）
A．B．
C ．
D ．
4．计算1211x x x x +---的结果是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1﹣x D ．311
x x +- 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），B （2，0），正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF 滚动2017次时，点F 的坐标是（ ）
A ．（2017，0）
B ．（2017，12）
C ．（2018，3）
D ．（2018，0）
6．等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是AC 的中点，EC BD ⊥于E ，交BA 的延长线于F ，若12BF =，则FBC
的面积为( )
A ．40
B ．46
C ．48
D ．50 7．若分式
11a -有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a≠1
B ．a≠0
C ．a≠1且a≠0
D ．一切实数 8．方程
13122x x -=--的解为（ ） A ．x=4 B ．x=﹣3 C ．x=6 D ．此方程无解
9．如图，点O′在第一象限，⊙O′与x 轴相切于H 点，与y 轴相交于A （0，2），B （0，8），则点O′的坐标是（ ）
A．（6，4）B．（4，6）C．（5，4）D．（4，5）
10．研究表明某流感病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（）
A．0.156×10－5B．0.156×105C．1.56×10－6D．1.56×106
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，二次函数y=a（x﹣2）2+k（a＞0）的图象过原点，与x轴正半轴交于点A，矩形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣2），点P为x轴上任意一点，连结PB、PC．则△PBC的面积为_____．
12．双察下列等式：111
242
-=，
112
393
-=，
113
4164
-=，…则第n个等式为_____．（用含n的式子表示）
13．小亮同学在搜索引擎中输入“叙利亚局势最新消息”，能搜到与之相关的结果的个数约为3550000，这个数用科学记数法表示为．
14．如图，和是分别沿着AB，AC边翻折形成的，若，则的度数是______度
15．如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：3x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧
交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则
20192018
A B的长是_____．
16．如图所示，轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70︒方向上，轮船从A 处以每小时20海里的速度沿南偏西50︒方向匀速航行，1小时后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25︒方向上，则灯塔C 与码头B 的距离是______
海里(结果精确到个位，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈，012200111:(,),()323
x p x x ∃∈=)
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）为了预防“甲型H 1N 1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与时间x （min ）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例，如图所示，现测得药物8min 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg ，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
药物燃烧时，求y 关于x 的函数关系式？自变量x 的取值范围是什么？药物燃烧后y
与x 的函数关系式呢？研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg 时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
18．（8分）已知，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：y=x 2-4x+3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为C ．
（1）求点C 和点A 的坐标．
（2）定义“L 双抛图形”：直线x=t 将抛物线L 分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关
于直线x=t的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”（特别地，当直线x=t恰好是抛物线的对称轴时，得到的“L双抛图形”不变），
①当t=0时，抛物线L关于直找x=0的“L双抛图形”如图所示，直线y=3与“L双抛图形”有______个交点；
②若抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点，结合图象，直接写出t的取值范围：______；
③当直线x=t经过点A时，“L双抛图形”如图所示，现将线段AC所在直线沿水平（x轴）方向左右平移，交“L双抛图形”于点P，交x轴于点Q，满足PQ=AC时，求点P的坐标．
19．（8分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
20．（8分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，过点C作CE⊥BP 交直线BP于E.
(1) 若，求证：；
(2) 若AB＝BC．
①如图2，当点P与E重合时，求的值；
②如图3，设∠DAP的平分线AF交直线BP于F，当CE＝1，时，直接写出线段AF的长.
21．（8分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC·CE=AD·BC.
（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）延长BE交AD于F，求证：AB2=AF·AD．
22．（10分）如图，已知⊙O 的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线．求DE 的长．
23．（12分）如图，圆O 是ABC 的外接圆，AE 平分BAC ∠交圆O 于点E ，交BC 于点D ，过点E 作直线//l BC ．
（1）判断直线l 与圆O 的关系，并说明理由；
（2）若ABC ∠的平分线BF 交AD 于点F ，求证：BE EF =；
（3）在（2）的条件下，若5DE =，3DF =，求AF 的长．
24．已知函数1y x
=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点()P m n ,. （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；
（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
根据有理数加法的运算方法，求出算式2577⎛⎫-
+- ⎪⎝⎭的正确结果是多少即可． 【题目详解】 原式25 1.77⎛⎫=-+=-
⎪⎝
⎭ 故选：D.
【题目点拨】 此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加
数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．③一个数同
1相加，仍得这个数．
2、C
【解题分析】
解：A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；
B ．公园离小丽家的距离为2000米，正确；
C ．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；
D ．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．
故选C ．
3、A
【解题分析】
当点F 在MD 上运动时，0≤x ＜2；当点F 在DA 上运动时，2＜x≤4.再按相关图形面积公式列出表达式即可.
【题目详解】
解：当点F 在MD 上运动时，0≤x ＜2，则:
y=S 梯形ECDG -S △EFC -S △GDF =()()()2421144224222
x x x x x x x -+⨯--+-⨯-=+， 当点F 在DA 上运动时，2＜x≤4，则： y=()142244162
x x ⎡⎤--⨯⨯=-+⎣⎦， 综上，只有A 选项图形符合题意，故选择A.
【题目点拨】
本题考查了动点问题的函数图像，抓住动点运动的特点是解题关键.
4、B
【解题分析】
根据同分母分式的加减运算法则计算可得．【题目详解】
解：原式=
12
1 x x x
+-
-
=1-
1 x x-
=
() --1
1 x x-
=-1，
故选B．
【题目点拨】
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则．
5、C
【解题分析】
本题是规律型：点的坐标；坐标与图形变化-旋转，正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；因为2017÷6=336
余1，点F滚动1次时的横坐标为2，点F滚动7次时的横坐标为8，，所以点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，由此即可解决问题．
【题目详解】
．解：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；
∴2017÷6=336余1，
∴点F滚动1次时的横坐标为2F滚动7次时的横坐标为8
∴点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，
∴点F滚动2107次时的横坐标为2017+1=2018
∴点F滚动2107次时的坐标为（2018，
故选C．
【题目点拨】
本题考查坐标与图形的变化，规律型：点的坐标，解题关键是学会从特殊到一般的探究方法，是中考常考题型．
6、C
【解题分析】
∵CE⊥BD，∴∠BEF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAF=90°，
∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，
又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF，∴AD=AF，
∵AB=AC，D为AC中点，∴AB=AC=2AD=2AF，
∵BF=AB+AF=12，∴3AF=12，∴AF=4，
∴AB=AC=2AF=8，
∴S△FBC=1
2
×BF×AC=
1
2
×12×8=48，故选C．
7、A
【解题分析】
分析：根据分母不为零，可得答案
详解：由题意，得
10
a-≠，解得 1.
a≠
故选A.
点睛：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
8、C
【解题分析】
先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入最简公分母进行检验.
【题目详解】
方程两边同时乘以x－2得到1－（x－2）＝﹣3，解得x＝6.将x＝6代入x－2得6－2＝4，∴x＝6就是原方程的解.故选C
【题目点拨】
本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的基本步骤是解答此题的关键.
9、D
【解题分析】
过O'作O'C⊥AB于点C，过O'作O'D⊥x轴于点D，由切线的性质可求得O'D的长，则可得O'B的长，由垂径定理可求得CB的长，在Rt△O'BC中，由勾股定理可求得O'C的长，从而可求得O'点坐标．
【题目详解】
如图，过O′作O′C⊥AB于点C，过O′作O′D⊥x轴于点D，连接O′B，
∵O′为圆心，
∴AC=BC，
∵A(0,2),B(0,8)，
∴AB=8−2=6，
∴AC=BC=3，
∴OC=8−3=5，
∵⊙O′与x轴相切，
∴O′D=O′B=OC=5，
在Rt△O′BC中,由勾股定理可得O′C=22
-BC
O B'=22
5-3=4，
∴P点坐标为(4,5)，
故选：D.
【题目点拨】
本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，解题的关键是掌握切线的性质和坐标计算.
10、C
【解题分析】
解：，故选C.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、4
【解题分析】
根据二次函数的对称性求出点A的坐标，从而得出BC的长度，根据点C的坐标得出三角形的高线，从而得出答案．【题目详解】
∵二次函数的对称轴为直线x=2，∴点A的坐标为(4，0)，∵点C的坐标为(0，－2)，
S=⨯÷=．
∴点B的坐标为(4，－2)，∴BC=4，则BCP4224
【题目点拨】
本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型．理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键．
121
n + 【解题分析】
探究规律后，写出第n 个等式即可求解．
【题目详解】
12
=
=
4
= …
则第n 1
n =+
= 【题目点拨】
本题主要考查二次根式的应用，找到规律是解题的关键.
13、3.55×
1． 【解题分析】
科学记数法的表示形式为 a ×
10n 的形式，其中 1≤|a |＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【题目详解】
3550000=3.55×1，
故答案是：3.55×
1． 【题目点拨】
考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×
10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正
确确定 a 的值以及 n 的值．
14、60
【解题分析】
∵∠BAC=150°∴∠ABC+∠ACB=30°∵∠EBA=∠ABC ，∠DCA=∠ACB
∴∠EBA+∠ABC+∠DCA+∠ACB=2（∠ABC+∠ACB ）=60°，即∠EBC+∠DCB=60°
∴θ=60°．
15、201923
π 【解题分析】
【分析】先根据一次函数方程式求出B 1点的坐标，再根据B 1点的坐标求出A 2点的坐标，得出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A 2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．
【题目详解】直线，点A 1坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1可知B 1点的坐标为（2，，
以原O 为圆心，OB 1长为半径画弧x 轴于点A 2，OA 2=OB 1，
OA 2，点A 2的坐标为（4，0），
这种方法可求得B 2的坐标为（4，），故点A 3的坐标为（8，0），B 3（8，）
以此类推便可求出点A 2019的坐标为（22019，0）， 则20192018A B 的长是2019201960221803
ππ⨯⨯=， 故答案为：201923
π． 【题目点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，弧长的计算，解题的关键找出点的坐标的变化规律、运用数形结合思想进行解题.
16、1
【解题分析】
作BD ⊥AC 于点D ，在直角△ABD 中，利用三角函数求得BD 的长，然后在直角△BCD 中，利用三角函数即可求得BC 的长．
【题目详解】
∠CBA=25°+50°=75°，
作BD ⊥AC 于点D ，
则∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，
∠ABD=30°，
∴∠CBD=75°﹣30°=45°，
在直角△ABD 中，BD=AB•sin ∠CAB=20×
sin60°=20×32=103， 在直角△BCD 中，∠CBD=45°，
则BC=2BD=103×2=106≈10×2.4=1（海里），
故答案是：1．
【题目点拨】
本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确求得∠CBD 以及∠CAB 的度数是解决本题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）()3084{?48(8)x x y x x
≤≤=>；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的． 【解题分析】
（1）药物燃烧时，设出y 与x 之间的解析式y=k 1x ，把点（8，6）代入即可，从图上读出x 的取值范围；药物燃烧后，设出y 与x 之间的解析式y=2k x ，把点（8，6）代入即可； （2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x ；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x ，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．
【题目详解】
解：（1）设药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为y=k 1x （k 1＞0）代入（8，6）为6=8k 1
∴k 1=34
设药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为y=
2k x （k 2＞0）代入（8，6）为6=2k 8， ∴k 2=48
∴药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为3y x 4=（0≤x≤8）药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为48y x
=（x ＞8） ∴()30x 84y 48(8)x
x x ⎧≤≤⎪⎪⎨=⎪>⎪⎩ （2）结合实际，令48y x =
中y≤1.6得x≥30 即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入3y x 4=
，得：x=4 把y=3代入48y x
=
，得：x=16 ∵16﹣4=12
所以这次消毒是有效的．
【题目点拨】
现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
18、（1）C （2，-1），A （1，0）；（2）①3，②0＜t ＜1
+2，1）或（
+2，1）或（-1，0）
【解题分析】
（1）令y=0得：x 2-1x+3=0，然后求得方程的解，从而可得到A 、B 的坐标，然后再求得抛物线的对称轴为x=2，最后将x=2代入可求得点C 的纵坐标；
（2）①抛物线与y 轴交点坐标为（0，3），然后做出直线y=3，然后找出交点个数即可；②将y=3代入抛物线的解析式求得对应的x 的值，从而可得到直线y=3与“L 双抛图形”恰好有3个交点时t 的取值，然后结合函数图象可得到“L 双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点时t 的取值范围；③首先证明四边形ACQP 为平行四边形，由可得到点P 的纵坐标为1，然后由函数解析式可求得点P 的横坐标．
【题目详解】
（1）令y=0得：x 2-1x+3=0，解得：x=1或x=3，
∴A （1，0），B （3，0），
∴抛物线的对称轴为x=2，
将x=2代入抛物线的解析式得：y=-1，
∴C（2，-1）；
（2）①将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
如图所示：作直线y=3，
由图象可知：直线y=3与“L双抛图形”有3个交点，
故答案为3；
②将y=3代入得：x2-1x+3=3，解得：x=0或x=1，
由函数图象可知：当0＜t＜1时，抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点，
故答案为0＜t＜1．
③如图2所示：
∵PQ∥AC且PQ=AC，
∴四边形ACQP为平行四边形，
又∵点C的纵坐标为-1，
∴点P的纵坐标为1，
将y=1代入抛物线的解析式得：x2-1x+3=1，解得：2+2或2．
∴点P2，1）或（2+2，1），
当点P（-1，0）时，也满足条件．
2+2，1）或（2，1）或（-1，0）
【题目点拨】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要同学们理解“L双抛图形”的定义，数形结合以及方程思想的应
用是解题的关键．
19、(1) 1
4
；（2）
1
12
.
【解题分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
【题目详解】
（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=1
4
；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．
20、（1）证明见解析；（2）①；②3.
【解题分析】
(1) 过点A作AF⊥BP于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP，易证Rt△ABF∽Rt△BCE，根据相似三角形的性质得到，即可证明BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F，过点A作AG⊥BP于G,证明△ABG≌△BCP，根据全等三角形的性质得BG＝CP，设BG＝1，则PG＝PC＝1，BC＝AB＝，在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5，即可求出BF＝5，PF＝5－1－1＝3，即可求出的值；
②延长BF、AD交于点G，过点A作AH⊥BE于H，证明△ABH≌△BCE，根据全等三角形的性质得BG＝CP，设BH＝BP＝CE＝1，又，得到PG＝，BG＝，根据射影定理得到AB2＝BH·BG ，即可求出AB＝，根据勾股定理得到
，根据等腰直角三角形的性质得到.
【题目详解】
解：(1) 过点A作AF⊥BP于F
∵AB=AP
∴BF=BP，
∵Rt△ABF∽Rt△BCE
∴
∴BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F，过点A作AG⊥BP于G
∵AB＝BC
∴△ABG≌△BCP（AAS）
∴BG＝CP
设BG＝1，则PG＝PC＝1
∴BC＝AB＝
在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5
∴BF＝5，PF＝5－1－1＝3
∴
②延长BF、AD交于点G，过点A作AH⊥BE于H
∵AB＝BC
∴△ABH≌△BCE（AAS）
设BH＝BP＝CE＝1
∵
∴PG＝，BG＝
∵AB2＝BH·BG
∴AB＝
∴
∵AF平分∠PAD，AH平分∠BAP
∴∠FAH＝∠BAD＝45°
∴△AFH为等腰直角三角形
∴
【题目点拨】
考查等腰三角形的性质，勾股定理，射影定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是作出辅助线.难度较大.
21、(1)见解析；(2)见解析.
【解题分析】
（1）由AD∥BC得∠DAC=∠BCA, 又∵AC·CE=AD·BC∴AC AD
BC CE
=，∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
（2）由题中条件易证得△ABF∽△DAC∴AB AF
AD DC
=，又∵AB=DC，∴2
AB AF AD
=⋅
【题目详解】
证明：
（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA, ∵AC·CE=AD·BC，
∴AC AD BC CE
=,
∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC, （2）∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC,
∵∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA,
∵AD∥BC，AB=DC, ∴∠BAD=∠ADC,
∴△ABF∽△DAC,
∴AB AF AD DC
=,
∵AB=DC，
∴2
AB AF AD
=⋅.
【题目点拨】
本题重点考查了平行线的性质和三角形相似的判定，灵活运用所学知识是解题的关键.
22、(1)详见解析；（2）4.
【解题分析】
试题分析：（1）连结OD，由AD平分∠BAC,OA=OD，可证得∠ODA=∠DAE,由平行线的性质可得OD∥AE,再由DE⊥AC即可得OE⊥DE，即DE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4.
试题解析：
（1）连结OD，
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO,
∴∠ODA=∠DAE,
∴OD ∥AE,
∵DE ⊥AC
∴OE ⊥DE
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）过点O 作OF ⊥AC 于点F ，
∴AF=CF=3，
∴OF=
, ∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED 是矩形，
∴DE=OF=4.
考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.
23、（1）直线l 与O 相切，见解析；（2）见解析；（3）AF=245
. 【解题分析】 ()1连接.OE 由题意可证明BE CE =，于是得到BOE COE ∠=∠，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE BC ⊥，于是可证明OE l ⊥，故此可证明直线l 与O 相切；
()2先由角平分线的定义可知ABF CBF ∠=∠，然后再证明CBE BAF ∠=∠，于是可得到EBF EFB ∠=∠，最后依据等角对等边证明BE EF =即可；
()3先求得BE 的长，然后证明
BED ∽AEB ，由相似三角形的性质可求得AE 的长，于是可得到AF 的长．
【题目详解】 ()1直线l 与O 相切．
理由：如图1所示：连接OE ．
AE 平分BAC ∠，
BAE CAE ∴∠=∠．
BE CE ∴=，
OE BC ∴⊥．
//l BC ，
OE l ∴⊥．
∴直线l 与O 相切．
()
2BF 平分ABC ∠， ABF CBF ∴∠=∠． 又CBE CAE BAE ∠=∠=∠，
CBE CBF BAE ABF ∴∠+∠=∠+∠．
又EFB BAE ABF ∠=∠+∠，
EBF EFB ∴∠=∠．
BE EF ∴=．
()3由()2得8BE EF DE DF ==+=．
DBE BAE ∠=∠，DEB BEA ∠=∠，
BED ∴∽AEB ．
DE BE BE AE ∴
=，即588AE =，解得；645
AE =． 6424855AF AE EF ∴=-=-=． 故答案为：（1）直线l 与O 相切，见解析；（2）见解析；（3）AF=245. 【题目点拨】
本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得EBF EFB ∠=∠是解题的关键．
24、（1）12k =，P ，或2P ⎛- ⎝⎭
;(2) 1k ≥. 【解题分析】
【分析】（1）将P （m ，n ）代入y=kx ，再结合m=2n 即可求得k 的值，联立y=
1x
与y=kx 组成方程组，解方程组即可求得点P 的坐标；
（2）画出两个函数的图象，观察函数的图象即可得.
【题目详解】（1）∵函数()y kx k 0=≠的图象交于点()P m n ，，
∴n=mk ，
∵m=2n ，∴n=2nk ，
∴k=1
2
，
∴直线解析式为：y=1
2
x，
解方程组
1
1
2
y
x
y x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，得
1
1
2
2
2
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
，
2
2
2
2
2
x
y
⎧=-
⎪
⎨
=-
⎪
⎩
，
∴交点P的坐标为：（2，
2
2
）或（-2，-
2
2
）；
（2）由题意画出函数
1
y
x
=的图象与函数y kx
=的图象如图所示，
∵函数
1
y
x
=的图象与函数y kx
=的交点P的坐标为（m，n），
∴当k=1时，P的坐标为（1，1）或（-1，-1），此时|m|=|n|，
当k>1时，结合图象可知此时|m|<|n|，
∴当m n
≤时，k≥1.
【题目点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点，待定系数法等，运用数形结合思想解题是关键.。