频率与概率

概率论
大量实验证实,当重复试验的次数 逐渐增大时 大量实验证实 当重复试验的次数n逐渐增大时 频率 当重复试验的次数 逐渐增大时,频率 fn(H)呈现出稳定性 逐渐稳定于某个常数 这种 “ 频 呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数 这种“ 呈现出稳定性 逐渐稳定于某个常数.这种 率稳定性”即通常所说的统计规律性.我们让试验重 率稳定性”即通常所说的统计规律性 我们让试验重 以它来表征事件A发生可 复大量次数,计算频率 计算频率f 以它来表征事件 复大量次数 计算频率 n(H),以它来表征事件 发生可 能性的大小是合适的. 能性的大小是合适的. 但是,在实际中 在实际中,我们不可能对每一个事件都做大量的 但是 在实际中 我们不可能对每一个事件都做大量的 试验,然后求得试验的频率 然后求得试验的频率,用以表征事件发生可能性 试验 然后求得试验的频率 用以表征事件发生可能性 的大小.同时 为了理论研究的需要,我们从频率的稳 同时,为了理论研究的需要 的大小 同时 为了理论研究的需要 我们从频率的稳 定性和频率的性质得到启发,给出如下表征事件发生 定性和频率的性质得到启发 给出如下表征事件发生 可能性大小的概率定义. 可能性大小的概率定义
概率论
考虑“抛硬币”这个试验,我们将一枚硬币抛掷 我们将一枚硬币抛掷5 例1 考虑“抛硬币”这个试验 我们将一枚硬币抛掷 各做10遍 得到数据如表 所示(其中 得到数据如表1所示 次、50次、500次,各做 遍.得到数据如表 所示 其中 次 次 各做 表示H发生的频数 发生的频数, 表示H发生的频数率 nH表示 发生的频数 fn(H)表示 发生的频数率 表示 发生的频数率).
概率论
第三节 频率与概率
频率的定义 概率的定义 小结 布置作业
概率论
对于一个事件( 除必然事件和不可能事件外) 对于一个事件 ( 除必然事件和不可能事件外 ) 来 它在一次试验中可能发生,也可能不发生. 说,它在一次试验中可能发生,也可能不发生.我 们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的 可能性究竟有多大.例如,为了确定水坝的高度, 可能性究竟有多大.例如,为了确定水坝的高度, 就要知道河流在造水坝地段每年最大洪水达到 某一高度这一事件发生的可能性大小. 某一高度这一事件发生的可能性大小.我们希望 找到一个合适的数来表征事件在一次试验中发 生的可能性大小.为此,首先引入频率, 生的可能性大小.为此,首先引入频率,它描述了 事件发生的频繁程度, 事件发生的频繁程度,进而引出表征事件在一次 试验中发生的可能性大小的数— 概率. 试验中发生的可能性大小的数——概率.
∞
证 令An = ( n = 1, 2,L) ,则 U An = ,且Ai Aj = , i ≠ j , i, j , = 1, 2,L.由概率的可列可加性 ( 3.1) 得
∞ P ( ) = P U An = ∑ P ( An ) = ∑ P ( ) n =1 n =1 n =1
∞ ∞
概率论
这种试验历史上有人做过,得到如表 所示的数据 这种试验历史上有人做过 得到如表2所示的数据 得到如表 所示的数据.
表2
实验者 德摩根 摩根 蒲 丰 n 2048 4040 12000 24000 nH 1061 2048 6019 12012 fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
P ( A ) = 1 P ( A)
证 因A U A = S ,且AA = ，由( 3.2 ) 式,得
1 = P ( S ) = P ( A U A ) = P ( A) + P ( A )
性质vi ( 加法公式) 对于任两事件A, B有
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) P ( AB )
n =1
由概率的非负性知, P ( ) ≥ 0, 故由上式知P ( ) = 0.
概率论
性质ii ( 有限可加性 ) 若A1 , A2, L , An是两两互不相容的 事件,则有
P ( A1 U A2 ULU An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + L + P ( An )
(3.2)式称为概率的有限可加性.
概率论
(二)概率 二 概率
定义
是随机试验,S是它的样本空间 对于E的每一事件 设E是随机试验 是它的样本空间 对于 的每一事件 是随机试验 是它的样本空间,对于 A赋于一个实数 记为 赋于一个实数,记为 称为事件A的概率 赋于一个实数 记为P(A),称为事件 的概率 如果集 称为事件 的概率,如果集 合函数P()满足下列条件 满足下列条件: 合函数 满足下列条件 (1)非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0； 非负性：对于每一个事件 ， ； 非负性 (2)规范性：对于必然事件 ，有P(S)=1； 规范性： 规范性 对于必然事件S， ； (3)可列可加性： A1 , A2 ,L是两两互不相容的事件, 可列可加性： 可列可加性 设
P ( B ) = P ( A) + P ( B A)
( 3.3) 得证;又由概率的非负性 (1)，P ( B A) ≥ 0知
P ( B ) ≥ P ( A)
概率论
性质iv 对于任一事件A,
P ( A) ≤ 1
证 因A S，由性质iii得
P ( A) ≤ P ( S ) = 1
概率论
性质v ( 逆事件的概率 ) 对于任一事件A,有
k =1 n ∞
(3.2)式得证 式得证. 式得证
概率论
性质iii 设A, B是两个事件,若A B，则有
P ( B A) = P ( B ) P ( A) ;
P ( B ) ≥ P ( A) .
再由概率的有限可加性 ( 3.2 ) ,得
证 由A B知B = A U ( B A ) ( 参见图1-1) ,且A ( B A ) = ,
即对于i ≠ j , Ai Aj = , i, j = 1, 2,L , 则有
P ( A1 U A2 UL) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + L
概率论
在第五章中将证明,当 时频率fn(H)在一定意义 在第五章中将证明 当 n→∞时频率 时频率 在一定意义 下接近概率P(A).基于这一事实 我们就有理由将概 基于这一事实,我们就有理由将概 下接近概率 基于这一事实 用来表征事件A在一次试验中发生的可能性 率 P(A)用来表征事件 在一次试验中发生的可能性 用来表征事件 的大小. 的大小 由概率的定义,可以推得概率的一些重要的性质 可以推得概率的一些重要的性质. 由概率的定义 可以推得概率的一些重要的性质 性质i P ( ) = 0
P ( A1 U A2 ULU An ) = ∑ P ( Ai )
i =1 n
1≤i < j ≤ n
∑ P( A A )
i j n 1
+
1≤i < j < k ≤ n
∑
概率论
考察英语中特定字母出现的频率.当观察字母的 例2 考察英语中特定字母出现的频率 当观察字母的 个数n(试验的次数 较小时,频率有较大幅度的随机波 试验的次数)较小时 个数 试验的次数 较小时 频率有较大幅度的随机波 但当n增大时 频率呈现出稳定性.下面的就是一份 动 .但当 增大时 频率呈现出稳定性 下面的就是一份 但当 增大时,频率呈现出稳定性 英文字母频率的统计表: 英文字母频率的统计表
字母 频率 E 0.1268 T 0.0978 A 0.0788 O 0.0776 I 0.0707 N 0.0706 S 0.0634 R 0.0594 H 0.0573 字母 频率 L 0.0394 D 0.0389 U 0.0280 C 0.0268 F 0.0256 M 0.0244 W 0.0214 Y 0.0202 G 0.0187 字母 频率 P 0.0186 B 0.0156 V 0.0102 K 0.0060 X 0.0016 J 0.0010 Q 0.0009 Z 0.0006
(一)频率 定义 一 频率
概率论
在相同的条件下,进行了 次试验 在这n次试验中 在相同的条件下 进行了n次试验 在这 次试验中 事 进行了 次试验,在这 次试验中,事 发生的次数nA称为事件 发生的频率,并记成 件 A发生的次数 称为事件 发生的频率 并记成 发生的次数 称为事件A发生的频率 fn(A)。 。 由定义,易见频率具有下述基本性质 由定义 易见频率具有下述基本性质: 易见频率具有下述基本性质 (1) (2) (3)
为任意三个,则有
概率论
P ( A1 U A2 U A3 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) .
一般,对于任意n个事件A1 , A2 ,L , An，可以用归纳法证得
实验序号 nH 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 n=5 fn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 nH 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 n=50 fn(H) 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62 nH 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 n=500 fn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
概率论
证 因A U B = A U ( B AB ) ( 参见图1-2 ) ,且A ( B AB ) = , AB B,故由( 3.2 ) 及 ( 3.3) 得
P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B AB )
= P ( A ) + P ( B ) P ( AB )
( 3.5) 还能推广到多个事件的情况.例如,设A1 , A2 , A3
0 ≤ f n ( A) ≤ 1
fn (S ) = 1
若A1 , A2, L , Ak 是两两互不相容的事件,则
f n ( A1 U A2 ULU Ak ) = f n ( A1 ) + f n ( A2 ) + L + f n ( k )
概率论
由于事件A发生的频率是它发生的次数与 由于事件 发生的频率是它发生的次数与 试验次数之比,其大小表示 其大小表示A发生的频率程 试验次数之比 其大小表示 发生的频率程 频率大.事件 发生就频繁.这意味着 度.频率大 事件 发生就频繁 这意味着 在 频率大 事件A发生就频繁 这意味着A在 一次试验中发生的可能性就大.反之亦然 反之亦然. 一次试验中发生的可能性就大 反之亦然 因而,直观的想法是用频率来表示 直观的想法是用频率来表示A在一次 因而 直观的想法是用频率来表示 在一次 试验中发生的可能性大小.但是否可行 但是否可行,先 试验中发生的可能性大小 但是否可行 先 看下面的例子. 看下面的例子
K皮尔逊 皮尔逊 K皮尔逊 皮尔逊
从上述数据可以看出:抛硬币次数 较小时 从上述数据可以看出 抛硬币次数n较小时 频率 抛硬币次数 较小时,频率 fn(H)在0与1之间随机波动 其幅度较大 但随着 增 之间随机波动,其幅度较大 但随着n增 在 与 之间随机波动 其幅度较大,但随着 频率f 呈现出稳定性.即当 逐渐增大时f 大 ,频率 n(H)呈现出稳定性 即当 逐渐增大时 n(H) 频率 呈现出稳定性 即当n逐渐增大时 总是在0.5附近摆动 而逐渐稳定于0.5. 附近摆动,而逐渐稳定于 总是在 附近摆动 而逐渐稳定于
证 令An +1 = An + 2 = L = ,即有Ai A j = , i ≠ j , i, j , = 1, 2,L.由( 3.1) 式得
∞ P ( A1 U A2 ULU An ) = P U Ak = ∑ P ( Ak ) k =1 k =1 = ∑ P ( Ak ) + 0 = P ( A1 ) + P ( A2 ) + L + P ( An )