高中数学人教A版 选择性必修第三册 组合 课件

本节课学习了组合的概念，能理解排列 与组合之间的联系与区别，会用组合的概念 解决一些简单的组合问题.
3.以下 5 个命题，属于组合问题的有( )
①从 1，2，3，…，9 九个数字中任取 3 个，组成一个三位数；
②从 1，2，3，…，9 九个数字中任取 3 个，然后把这 3 个数字相加得到一个和，
这样的和的个数；
③从 a,b,c, d 四名学生中选两名去完成同一份工作的选法；
④5 个人规定相互通话一次，通电话的次数；
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、 方向不同的 2 条有向线段作为一条线段， 就是以平面内 4 个点中的 2 个点为端点的线段的条数， 共有如下 6 条：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
1.给出下列几个问题，其中是组合问题的是( )
①求由 1，2，3，4 构成的含有两个元素的集合的个数.
上述问题可以概括为：从3个不同元素中取出2个元素作 为一组，一共有多少个不同的组？
探索新知
一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n) 个元素作为一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
共同点：两者都是从 n 个不同元素中取出 m(m n) 个元素. 区别：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.
4.从 1，2，3，6，9 中任取两个不同的数相加，列出所有的取法， 并求出不同的相加结果的个数.
解析：由于加法满足交换律，所以本题与顺序无关，是组合问题.
现用数对 (a,b) 表示每一种取法，并且 (a,b) 与 (b, a) 是同一种取法.
从 1，2，3，6，9 中任取两个不同的数， 不同的取法有 (1, 2) ， (1,3) ， (1,6) ， (1,9) ， (2,3) ， (2,6) ， (2,9) ， (3,6) ， (3,9) ， (6,9) . 不同的相加结果有 3，4，5，7，8，9，10，11，12，15，共 10 个.
⑤5 个人
C.4 个
D.5 个
答案：B 解析：①当取出 3 个数字后，如果改变 3 个数字的顺序，会得到不同的三位数， 所以此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题； ②取出 3 个数字之后，无论怎样改变这 3 个数字的顺序，其和均不变，此问题只 与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题； ③两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题； ④甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题； ⑤发信人与收信人是有区别的，是排列问题，故选 B.
2.从 2，3，5，7，11，13，17，19 这八个数中任取两个，则下列问题是 组合问题的为( ) A.相加，可以得到多少个不同的和 B.相乘，可以得到多少个不同的积 C.相减，可以得到多少个不同的差 D.相除，可以得到多少个不同的商
答案：B 解析：判断一个问题是不是组合问题，关键是看该问题是否与顺序有关，由于减法与 除法不满足交换律，取出的两个数就与顺序有关，因此不是组合问题，故 C、D 不是 组合问题；加法与乘法满足交换律，与取出的两个数的顺序无关，但是由于给出的 8 个数中， 5 11 3 13 、1119 13 17 等，故相加，可以得到多少个不同的和这个问 题不是纯粹的组合问题，只有相乘，可以得到多少个不同的积这个问题是组合问题， 故选 B.
例 平面内有 A，B，C，D 共 4 个点. （1）以其中 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ （2）以其中 2 个点为端点的线段共有多少条？
解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点， 以平面内 4 个点中的 2 个为端点的有向线段的条数， 就是从 4 个不同元素中取出 2 个元素的排列数， 即有向线段条数为 A24 4 3 12 . 这 12 条有向线段分别为 AB ， BA ， AC ， CA ， AD ， DA ， BC ， CB ， BD ， DB ， CD ， DC .
5.判断下列问题是组合问题还是排列问题.
（1）若集合 A a,b,c,d ，则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多少个？
（2）某铁路线上有 4 个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ （3）从 7 本不同的书中取出 5 本给某同学； （4）三个人去做 5 种不同的工作，每人做 1 种，有多少种分工方法？ （5）把 3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
②求 5 个队进行单循环比赛的分组情况的种数.
③3 人去做 5 种不同的工作，每人做 1 种，求不同的安排种数.
④求由 1，2，3 组成无重复数字的两位数的个数.
A.①③
B.②④
C.①②
D.①②④
答案：C 解析：①②中选出元素就完成了这件事，是组合问题；而③④中选出的元素还需排列， 与顺序有关，是排列问题.故选 C.
解析：（1）因为集合 A 的任一个含 3 个元素的子集与元素顺序都无关， 所以它是组合问题. （2）因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同， 所以它是排列问题. （3）因为从 7 本不同的书中取出 5 本给某同学，取出的 5 本书并不考虑书的顺序， 所以它是组合问题. （4）因为从 5 种不同的工作中选出 3 种，按一定顺序分给三个人去做， 所以它是排列问题. （5）因为 3 本书是相同的，把 3 本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序， 所以它是组合问题.
第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.3 组合
学习目标
1.掌握组合的概念，理解排列与组合之间的联系与区别. 2.能利用组合的概念解决一些简单的组合问题.
从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动， 有多少种不同的选法？
从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动， 就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考 虑他们的顺序，只有3种情况：甲乙，甲丙，乙丙.