苏教版必修五1.1正弦定理、余弦定理的应用(习题+解析)

1. 三角形的三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的最小边为 。

2. （广东高考）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b
a 。

3. 已知△ABC 中，3（＋）·＝42，则B A tan tan ＝ 。

4. 在△ABC 中，a 、
b 、
c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2＋b 2）sin （A －B ）＝（a 2－b 2）sin （A ＋B ），试判断该三角形的形状。

5. 在△ABC 中，a 2+c 2=2b 2，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长。

（1）求证：B ≤3π；（2）若4
B π=，且
A 为钝角，求A 。

6. （北京高考）在△ABC 中，a =3，b ，∠
B =2∠A 。

（I ）求cos A 的值； （II ）求c 的值。

7. 有两个高度都为b 米的两个测角仪AB 和CD ，水平距离为a 米，测得气球E 在它们的正西方向的上空仰角分别是是α和β，试用,,,a b αβ表示出气球的高度h 。

1. 解：设三边分别为1,,1(2,)x x x x x N -+≥∈，由题意得
解得04x <<，又2,x x N ≥∈，故x=3，最小边为2。

2. 解：由正弦定理得sin cos sin cos 2sin ,sin 2sin ,2,
2a B C C B B A B a b b +====。

3. 解：由已知得：23()()4CA CB CB CA AB +⋅-=，即2223()4a b c -=。

222222222222
tan sin cos 27.tan sin cos 2a c b A A B a a c b ac b c a B B A b b c a bc
+-+-==⋅==-+-+-—7。

4. 方法一：∵（a 2＋b 2）sin （A －B ）＝（a 2－b 2）sin （A ＋B ）
⇔a 2[sin （A －B ）－sin （A ＋B ）]＝b 2[－sin （A ＋B ）－sin （A －B ）]，
∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，
由正弦定理，得：sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ，
∴sin A sin B （sin A cos A －sin B cos B ）＝0，
∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π，
得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，
即△ABC 是等腰三角形或直角三角形。

方法二：同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，
由正、余弦定理，即得
a 2
b ×b
c a c b 2222-+＝b 2a ×ac
b c a 2222-+ ， ∴a 2（b 2＋c 2－a 2）＝b 2（a 2＋c 2－b 2），
即（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2）＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，
∴三角形为等腰三角形或直角三角形。

5. （1）证明：由余弦定理，得222cos 24a c b a c B ac ac +-+==22，因22a c ac +2≥，1cos 2
B ∴≥， 由0＜B ＜π，得3
B π≤，命题得证。

（2）由正弦定理，得222sin +sin =2sin A
C B ，因4
B π=，故22sin B =1， 于是22sin =cos A
C ，
因为A 为钝角，所以3sin =cos =cos()=sin()44
A C A A ππ--。

所以()4A A π+-=π（=A A π-，不符合条件，舍去），得5=8
A π。

6. 解：（I ）因为a =3，b =2，∠B =2∠A . 所以在△ABC 中，由正弦定理得
3sin sin 2A A =，所以2sin cos sin 3A A A =，故cos 3
A =。

（II ）由（I ）知cos 3A =，所以sin 3
A ==，又因为∠B=2∠A ，
所以21cos 2cos 13
B A =-=，所以sin 3B ==，
在△ABC 中，sin sin()sin cos cos sin 9
C A B A B A B =+=+=， 所以sin 5sin a C c A
==。

7. 解：过点A 作AG EF ⊥，垂足为G ，则A 、C 、G 三点共线。

在Rt AEG ∆中，tan EG AG α
=，同理tan EG CG β=， 故tan tan EG EG a CG AG βα=-=-，解得tan tan tan tan a EG αβαβ
=- 故气球的高度tan tan tan tan a h b αβαβ
=+-。