2018-2019版数学新设计同步人教A版必修五讲义：第一章

§1.2 应用举例(三)——三角形中的几何计算
学习目标 1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题(重点)；2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用(难点).
预习教材P16－18完成下列问题： 知识点 三角形常用面积公式 (1)三角形面积公式S ＝12ah . (2)三角形面积公式的推广 S ＝12ab sin__C ＝12bc sin__A ＝1
2ca sin
B.
(3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形.( )
(2)已知三角形的两个内角及一边不能求三角形的面积.( ) (3)在△ABC 中，A ＝45°，c ＝1，b ＝2，则S △ABC 的值为2
2.( )
提示 (2)能.利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解. 答案 (1)√ (2)× (3)√
【探究1】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A.62
B.1
C.32
D.2
2
解析 由正弦定理得6sin 120°＝2
sin C ，
∴sin C ＝1
2，
∴C ＝30°或150°(舍去). ∵B ＝120°，∴A ＝30°，
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×2×sin 30°＝32. 答案 C
【探究2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.
(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积.
解 (1)因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π
3－A ，sin A ＝3
5.
于是sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.
(2)由(1)知sin A ＝3
5，sin C ＝3＋4310， 又因为B ＝π
3，b ＝3，
所以在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝6
5.
于是△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6
5×3×3＋4310＝36＋9350.
【探究3】 若△ABC 三边长为a ，b ，c ，面积为S ，且S ＝c 2－(a －b )2，a ＋b ＝2，求面积S 的最大值.
解 ∵S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －(a 2＋b 2－c 2)， 又由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab ·cos C ，
∴c 2－(a －b )2＝2ab (1－cos C )，即S ＝2ab (1－cos C ). 又S ＝1
2ab sin C ，∴sin C ＝4(1－cos C ).
又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，∴17cos 2C －32cos C ＋15＝0，
得cos C ＝1517或cos C ＝1(舍)，∴sin C ＝8
17. ∴S ＝12ab sin C ＝417a (2－a )＝－417(a －1)2＋417.
∵a ＋b ＝2，∴0＜a ＜2.∴当a ＝1，b ＝1时，S max ＝4
17.
【探究4】 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大？
解 设∠AOB ＝α，在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α.
所以四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin α＋34AB 2＝1
2
×2×1×sin α＋34(5－4cos α)＝sin α－3cos α＋534＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π3＋534. 由题意知0＜α＜π，所以当α－π3＝π
2，
即α＝5π6，即∠AOB ＝5π
6时，四边形OACB 的面积最大.
所以当∠AOB ＝5π
6时，四边形OACB 的面积最大.
规律方法 (1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式. (2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式.
(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和. 题型二 平面图形中线段长度的计算
【例题】 如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝1
3，点D 在线段BC 上.
(1)若∠ADC ＝3
4π，求AD 的长；
(2)若BD ＝2DC ，△ADC 的面积为4
32， 求sin ∠BAD sin ∠CAD
的值. 解 (1)在三角形中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝22
3. 在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB
＝AD
sin B ，
又AB ＝2，∠ADB ＝π4，sin B ＝22
3.
∴AD ＝AB ·sin B sin ∠ADB ＝8
3.
(2)∵BD ＝2DC ，∴S △ABD ＝2S △ADC ，S △ABC ＝3S △ADC ， 又S △ADC ＝4
32，∴S △ABC ＝42， ∵S △ABC ＝1
2·AB ·BC ·sin ∠ABC ，∴BC ＝6，
∵S △ABD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD ·sin ∠CAD ， S △ABD ＝2S △ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝2·
AC AB ， 在△ABC 中，由余弦定理得：
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，∴AC ＝42， ∴sin ∠BAD sin ∠CAD
＝2·
AC
AB ＝4 2. 规律方法 三角形中几何计算问题的解题要点及关键
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.
(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件. 【训练】 如图，在△ABC 中，CA ＝2，CB ＝1，CD 是AB 边上的中线.
(1)求证：sin ∠BCD ＝2sin ∠ACD ； (2)若∠ACD ＝30°，求AB 的长.
(1)证明 在△DBC 中，由正弦定理得： BC sin ∠CDB ＝BD
sin ∠BCD
，在△ACD 中，
由正弦定理得AC sin ∠CDA ＝AD
sin ∠ACD ，
即BC sin ∠BCD ＝DB sin ∠CDB ， AC sin ∠ACD ＝AD sin ∠CDA . ∵sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，
又∵CD 是AB 边上的中线且AC ＝2BC ， ∴sin ∠BCD ＝2sin ∠ACD .
(2)解 ∵∠ACD ＝30°，由(1)sin ∠BCD ＝2sin ∠ACD ＝1，即∠BCD ＝90°，∴∠ACB ＝120°，
由余弦定理AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝4＋1＋2＝7.
课堂达标
1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )2－c 2＝4，C ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A.33 B.232 C. 3
D.2 3
解析 将c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 与(a ＋b )2－c 2＝4联立， 解得ab ＝4，∴S △ABC ＝1
2ab sin C ＝ 3. 答案 C
2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆直径为( ) A.4 3 B.60 C.5 2
D.6 2
解析 ∵S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12c ·sin 45°＝24c ＝2， ∴c ＝42，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 45°＝25，
∴b ＝5.
∴△ABC 的外接圆直径为b
sin B ＝5 2. 答案 C
3.在△ABC 中，A ＝π
4，CD ⊥AB ，且AB ＝3CD ，则sin C ＝________. 解析 由题意，设CD ＝x ，则AB ＝3x ， ∵A ＝π
4，CD ⊥AB ， ∴AD ＝x ，BD ＝2x ，
由勾股定理可得AC ＝2x ，CB ＝5x ， 那么：cos C ＝AC 2＋CB 2－AB 22AC ·BC ＝－
10
10，
∴sin C ＝1－cos 2C ＝310
10.
答案 31010
4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，S △ABC ＝2，则BA →·AC
→＝________.
解析 ∵(3b －c )cos A ＝a cos C ，∴由正弦定理， 可得：3sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C . ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝13，
又0<A <π，∴sin A ＝22
3.
∵S △ABC ＝ 2.∴12bc sin A ＝2
3bc ＝ 2.
∴bc ＝3，∵cos A ＝1
3，
∴cos 〈BA
→，AC →〉＝－13.
∴BA →·AC →＝bc cos 〈BA →，AC →〉＝－1. 答案 －1
5.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b
2a ＋c .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R 得：
a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆半径， 将上式代入已知cos B cos C ＝－b
2a ＋c
得
cos B cos C ＝－sin B
2sin A ＋sin C
， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin(B ＋C )＝sin A ，
∴2sin A cos B ＋sin A ＝0，即sin A (2cos B ＋1)＝0， ∵sin A ≠0，∴cos B ＝－12，
∵B 为三角形的内角，∴B ＝2
3π.
(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2
3π代入余弦定理 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得：
b 2＝(a ＋
c )2－2ac －2ac cos B ，即13＝16－2ac ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－12，
∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3
4 3.
课堂小结
1.三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般要用公式S ＝1
2ab sin C
＝12bc sin A ＝1
2ac sin B 进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再
利用三角形面积公式进行求解.
2.与面积有关的三角形综合问题的解决思路.选取适当的面积公式，结合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决
.
基础过关
1.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( ) A.40 3 B.20 3 C.40 2
D.20 2
解析 设另两边长为8x ，5x ，
则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2＝12，解得x ＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是1
2×16×10×sin 60°＝40 3. 答案 A
2.在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a sin A 等于( ) A.2393 B.2293 C.2633
D.3 3 解析 面积S ＝3＝12bc sin A ＝12×1·c ×3
2， ∴c ＝4，
∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝13，
∴a sin A ＝1332＝2393.
答案 A
3.在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平
行四边形的面积是( ) A.8 B.16 C.18
D.32
解析 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝65， 即AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos B ＝65，①
在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝17，② 又cos A ＋cos B ＝0. ①＋②得AB 2＋AD 2＝41， 又AB ＋AD ＝9，
∴AB ＝5，AD ＝4或AB ＝4，AD ＝5.∴cos A ＝35， A ∈(0，π2)，∴sin A ＝4
5，
∴这个平行四边形的面积S ＝5×4×4
5＝16. 答案 B
4.在△ABC 中，B ＝π
3，且AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为________. 解析 △ABC 中，B ＝π
3，且AB ＝1，BC ＝4，
∴BD ＝2，∴由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝1＋4－2×1×2×1
2＝3，则AD ＝ 3. 答案
3
5.在△ABC 中，A 的角平分线交BC 于点D ，且AD ＝1，边BC 上的高AH ＝12，△ABD 的面积是△ACD 的面积的2倍，则BC ＝________. 解析 由题意，AB ∶AC ＝BD ∶DC ＝2∶1，DH ＝3
2， 设DC ＝x ，则BD ＝2x ，
∴14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤
14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322，
∴x ＝36，∴BC ＝3x ＝3
2.
答案
3 2
6.在△ABC中，∠B＝π
4，AB＝42，点D在BC上，且CD＝3，cos∠ADC＝
5
5.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长.
解(1)∵∠ADC＋∠ADB＝π，且cos∠ADC＝
5 5，
∴cos∠ADB＝－
5 5，
∴sin∠ADB＝1－cos2∠ADB＝25 5，
由∠B＋∠ADB＋∠BAD＝π得，sin∠BAD＝sin(∠B＋∠ADB)＝sin∠B cos∠ADB ＋cos∠B sin∠ADB
＝
2
2×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
5
5
＋
2
2×
25
5＝
10
10.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD
sin∠BAD
＝
AB
sin∠ADB
，
∴BD＝AB·sin∠BAD
sin∠ADB
＝
42×
10
10
25
5
＝2，
由正弦定理得
AD
sin∠B
＝
AB
sin∠ADB
，∴AD＝
42×
2
2
25
5
＝25，
在△ADC中，由余弦定理得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC
＝20＋9－2×25×3×
5
5＝17，∴AC＝17.
7.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足b sin A＋b cos A＝c.
(2)若角A 的平分线与BC 相交于D 点，AD ＝AC ，BD ＝2，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意，利用正弦定理可得 sin B sin A ＋sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， 整理可得sin B ＝cos B ，∴B ＝π
4. (2)由AD ＝AC ，可知∠ACD ＝∠ADC .
设∠BAD ＝∠DAC ＝α，∠ACD ＝∠ADC ＝γ，则⎩⎨⎧45°
＋2α＋β＝180°，α＋2β＝180°，
∴α＝30°，β＝75°，△ABD 中，由正弦定理可得AB sin 105°＝AD sin 45°＝2
sin 30°， ∴AB ＝6＋2，AD ＝22，∴AC ＝22，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin 2α＝3＋ 3.
能力提升
8.在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝15
4，则b 等于( ) A.4 B.3 C.2
D.1
解析 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2
＋(2a )2
－2×a ×2a ×1
4＝4a 2，
所以b ＝c ＝2a ，sin B ＝1－cos 2B ＝15
4，
又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝15
4， 所以b ＝2，选C. 答案 C
9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π
3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3 B.－ 3 C.－2 3
D.－2
解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1·c ×3
2＝3，
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴b ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1
13，∴sin C ＝
12
13，
∴tan C ＝sin C
cos C ＝－12＝－2 3. 答案 C
10.在△ABC 中，A ＝π
6，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长是________. 解析 设∠BCD ＝θ， ∵S △BCD ＝4＝1
2·CD ·CB ·sin θ，
∴sin θ＝255，θ∈(0，π)，∴cos θ＝±55. 在△BCD 中，由余弦定理得 BD 2＝CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos θ， 从而BD ＝42或4.
当BD ＝42时，由BD sin θ＝CD sin B 得sin B ＝CD ·sin θBD ＝1010，
又由AC sin B ＝BC sin A 得AC ＝BC sin B
sin A ＝22， 当BD ＝4时，同理可得AC ＝4. 综上，AC ＝4或2 2. 答案 4或2 2
11.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝3a ，c ＝2，则当角A 取最大值时，△ABC 的面积为________. 解析 由于b ＝3a ，c ＝2， 由余弦定理，可得，
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9a 2＋4－a 2
12a
＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋1a ≥13·22a ·1a ＝22
3，
当且仅当a ＝22，cos A 取得最小值22
3，A 取得最大值.
则面积为12bc sin A ＝12·3a ·2sin A ＝322·1－89＝2
2.
答案 2
2
12.如图，在Rt △ABC 中，∠C 是直角，AC ＝3，BC ＝4，CD ⊥AB 于点D ，∠A 的平分线交CD 于点M ，交BC 于点E ，求： (1)CD 的长； (2)AE 的长.
解 (1)∵∠C 是直角，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5， 由AB ×CD ＝AC ×BC 得，CD ＝AC ×BC AB ＝3×45＝12
5. (2)由AE 是∠A 的平分线交CD 于点M ，交BC 于点E ， ∴CE BE ＝AC AB ＝35，故CE ＝38BC ＝32.
在Rt △ACE 中，由勾股定理，得AE ＝35
2.
13.(选做题)如图，四边形ABCD 中，若∠DAB ＝60°，∠ABC ＝30°，∠BCD ＝120°，AD ＝2，AB ＝5. (1)求BD 的长；
(2)求△ABD 的外接圆半径R ； (3)求AC 的长.
解 如图，由∠DAB ＝60°，∠BCD ＝120°，可知四边形ABCD 为圆内接四边形，
(1)在△ABD中，由∠DAB＝60°，AD＝2，AB＝5，利用余弦定理得：
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB＝52＋22－2×5×2×1
2＝19.∴BD＝19.
(2)由正弦定理得：
BD
sin 60°＝2R，则△ABD的外接圆半径R＝
57
3.
(3)在△ABC中，由正弦定理得：
AC
sin 30°＝2R＝
257
3，
∴AC＝57 3.。