山东省荣成市24中2013年初中数学学业考试模拟试题

A
B
C C 1
B 1
二○一三年数学学业考试模拟试题
数 学
第 I 卷 （选择题，共36分） （荣成二十四中）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1、在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为84.610⨯帕的钢材，那么84.610⨯的原数为（ ）
A ．4 600 000
B ．46 000 000
C ． 4 600 000 000
D ． 460 000 000 2、下列运算正确的是
(A)2
2
x x x =⋅ (B)22)(xy xy = (C)632)(x x = (D)4
22x x x =+ 3、如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
4在△ABC 中，∠C ＝90º，BC ＝4cm ，AC ＝3cm ．把△ABC 绕点A 顺时针旋转90º后，得到△AB 1C 1(如图所示)，则点B 所走过的路径长为（ ） A . 5π 2cm B ． 5π
4cm
C ． 52cm
D ．5πcm
5、如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。

线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）
A 、80°
B 、 70°
C 、60°
D 、50°
6、如图所示，把一长方形纸片沿MN 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠AMD ′＝36°，
A ．
B ．
C ．
D ．
则∠NFD ′等于（ ）
（A ）144°
（B ）126° （C ）108° （D ）72°
7、如图，D 是半径为R 的⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线交直径AB 的延长线于点C ，下列四个条件：①
AD ＝CD ；②∠A ＝30°；③∠ADC ＝120°；④DC ＝3R ．其中,使得BC ＝R 的有
（A ）①②
（B ）①③④ （C ）②③④ （D ）①②③④
8、．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A ．6cm
B ．35cm
C ．8cm
D ．53cm
9、 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000m 的C 地去，先沿北偏东70︒方向到达B 地，然后再沿北偏西20︒方向走了500m 到达目的地C ,此时小霞在营地A 的 A. 北偏东20︒方向上 B. 北偏东30︒方向上 C. 北偏东40︒方向上 D. 北偏西30︒方向上
10、在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，
O
D
C
B
A
(第7题)
A
B
C
D
D ′
N
M
F (第6题)
（第8题）
剪去
O B A y x
11图
m
n
n
n
图2
图1
A E
D O
B
摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）
A ． 1 6
B ． 1 8
C ． 1 2
D ． 1
3 11、如图，正△AOB 的顶点A 在反比例函数y ＝
3
x
(x ＞0)的图象上，
则点B 的坐标为（ ）
A ．(2，0)
B ．(3，0)
C ．(23，0)
D ．（
3
2
，0） 12、如图1，把一个长为m 、宽为n 的长方形(m ＞n )沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ．m －n B ． m －n
2
C ． m 2
D ． n 2
第 II 卷 （非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分. 只要求填出最后结果）
13. 13．在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果四边形EFGH 为菱形，
那么四边形ABCD 是 （只要写出一种即可）．
14．如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为_____m.
1. 电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =AC =BC =6．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第
一步从P 0跳到AC 边的P 1（第1次落点）处，且CP 1= CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第2次落点）处，且AP 2= AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第3次落点）处，且BP 3= BP 2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2009与点P 2010之间的距离为_________．
16、如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O
的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．
A
B
C
P 0
P 1
P 2
P 3
第15题图
第14题图 A 时
B 时
17．下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2010个梅花图案中，共有__________
个“
”图案．
18．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：①a ＜0；
②a ＋b ＋c ＞0；③－ b
2a
＞0．把正确结论的序号填在横线上 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19、(本题满分7分)
先化简，再求值：11
1222122
2-++++÷--x x x x x x ，其中12+=x ．
20、(10分)如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝ k
x
的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ， 已知OA ＝10，点B 的坐标为(m ，－2)，t a n∠AOC ＝ 1
3．
(1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式；
(3)在y 轴上存在一点P ，使△PDC 与△CDO 相似，求P 点的坐标．
……
21． (本题满分11分)
如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；
（2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数．
22． (本题满分12分)
为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元. （1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
23． (本题满分12分)
●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________； ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________； (2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A (a ，b ) ，B (c ，d )， 求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的 代数式表示），并给出求解过程．
●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，
第21题图 第23题图1
当其端点坐标为A (a ，b )，B (c ，d )， AB 中点为D (x ，y ) 时，
x =_________，y =___________．（不必证明）
●运用 在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数
x
y 3
=
的图象交点为A ，B ． ①求出交点A ，B 的坐标；
②若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形， 请利用上面的结论求出顶点P 的坐标．
24． (本题满分14分)
已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过点A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)． (1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P 从B 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．
①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；
②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平行线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的面积为S ，求面积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值或最小值．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
x
y
O
A B C
P Q M
N
第24题图 x
y y =
x
3 y =x -2
A
B
O
第23题图3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等．14．4 15． 16．1 17．503 18．①②③ 三、解答题 19、解：原式=
1
1
)1()1(2)1)(1(22-+++÷-+-x x x x x x …………………2分
=1
1
)1(2)1()1)(1(22-+++⋅-+-x x x x x x
=
1
1
)1(22-+--x x x …………………4分
=
)
1(2-x x
． ……………………………5分
当12+=x 时，原式=
4
2
2+．…………………7分 20、(本题满分10分)
(1)过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E .
221
tan 33
10101 3.
AOE OE AE OA OE AE AE OE ∠=∴==+=∴==，.
，
， ∴点A 的坐标为(3，1)．………………………２分
A 点在双曲线上，13
k
∴=
，3k =． ∴双曲线的解析式
为3
y x
=
． ………………………………………………………３分 (2)点(2)B m -，
在双曲线3
y x
=上， 33
22
m m ∴-==-，．
∴点B 的坐标
为322
⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，． ………………………………………………………４分 231332 1.
2a b a a b b +=⎧⎧=⎪⎪
∴∴⎨⎨-+=-⎪⎪=-⎩⎩，
，
∴一次函数的解析式
为2
13
y x =
-． …………………………………………………７分 (3)C D ，两点在直线213y x =
-上，C D ∴，的坐标分别是30(01)2C D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
，，． ∴3
12
OC OD ==，
，DC =． ………………………………………８分
过点C 作CP AB ⊥，垂足为点C ．
PDC CDO △∽△，213.4
PD DC DC PD DC OD OD ∴
===， 又139144
OP DP OD =-=
-=， P ∴点坐标为904⎛⎫
⎪⎝⎭
，． ……………………………………………………10分
21．(本题满分11分)
（1）证明：连接OE ，
∵AB =AC 且D 是BC 中点， ∴AD ⊥B C ． ∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE =∠DAE ．------------------------------3分 ∵OA =OE ， ∴∠OAE =∠OEA ． ∴∠OEA =∠DAE ． ∴OE ∥AD ． ∴OE ⊥BC ．
∴BC 是⊙O 的切线．---------------------------6分 （2）∵AB =AC ，∠BAC =120°，
∴∠B =∠C =30°．----------------------------8分 ∴∠EOB =60°．------------------------------9分 ∴∠EAO =∠EAG =30°．------------------10分 ∴∠EFG =30°．------------------------------11分 22．（本题满分12分） 解：（1）由题意可知，
当x ≤100时，购买一个需5000元，故15000y x =；-------------------1分
当x ≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以
x≤
10
3500
5000-+100=250． ------------------------2分
即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x -100)元，故y 1=6000x -10x 2
；----------4分 当x >250时，购买一个需3500元，故13500y x =； ----------------5分
所以，⎪⎩
⎪
⎨⎧-=x x x x y 3500106000500021 ).250()250100()1000(>≤<≤≤x x x ，，
2500080%4000y x x =⨯=． -------------------------------7分
(2) 当0<x ≤100时，y 1=5000x ≤500000<1400000；
当100<x ≤250时，y 1=6000x -10x 2
=-10(x -300)2
+900000<1400000；
所以，由35001400000x =，得400x =； -------------------------------9分 由40001400000x =，得350x =． -------------------------------10分 故选择甲商家，最多能购买400个路灯．-----------------------------12分
23．（本题满分12分）
解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，
2
1
)；-------------------------------2分 (2)过点A ，D ，B 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为
A '，D '，
B ' ，则A A '∥B B '∥
C C '．-------------------------------3分
∵D 为AB 中点，由平行线分线段成比例定理得
A 'D '=D '
B '．
∴O D '=2
2c
a a c a +=-+
． 即D 点的横坐标是2
c
a +．------------------4分
A ′ D ′
B ′ O x
y
D
B
A
同理可得D 点的纵坐标是
2
d
b +． ∴AB 中点D 的坐标为(2
c a +，2d
b +)．--------5分
归纳：2
c a +，2
d b +．-------------------------------6分
运用 ①由题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=x y x y 32.，
解得⎩⎨⎧==13y x .，或⎩⎨⎧-=-=3
1y x .，
．
∴即交点的坐标为A (-1，-3)，B (3，1) ．-------------8分 ②以AB 为对角线时，
由上面的结论知AB 中点M 的坐标为(1，-1) ． ∵平行四边形对角线互相平分， ∴OM =OP ，即M 为OP 的中点．
∴P 点坐标为(2，-2) ．---------------------------------9分 同理可得分别以OA ，OB 为对角线时， 点P 坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．
∴满足条件的点P 有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．------12分 24．（本题满分14分）
解：(1)∵二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过点C (0，-3)，
∴c =-3．
将点A (3，0)，B (2，-3)代入c bx ax y ++=2
得
⎩
⎨
⎧-+=--+=.32433390b a b a ，
解得：a =1，b =-2．
∴322
--=x x y ．-------------------2分
配方得：412
--=
）（x y ，所以对称轴为x =1．-------------------3分 (2) 由题意可知：BP = OQ =0.1t ． ∵点B ，点C 的纵坐标相等，
∴BC ∥OA ．
x
y
O A B
C P Q D
E G
M N F
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

--培根
11 / 11 过点B ，点P 作BD ⊥OA ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ． 要使四边形ABPQ 为等腰梯形，只需PQ =AB ．
即QE =AD =1．
又QE =OE －OQ =(2-0.1t )-0.1t =2-0.2t ，
∴2-0.2t =1．
解得t =5．
即t=5秒时，四边形ABPQ 为等腰梯形．-------------------6分 ②设对称轴与BC ，x 轴的交点分别为F ，G ．
∵对称轴x =1是线段BC 的垂直平分线，
∴BF =CF =OG =1．
又∵BP =OQ ，
∴PF =QG ．
又∵∠PMF =∠QMG ，
∴△MFP ≌△MGQ ．
∴MF =MG ．
∴点M 为FG 的中点 -------------------8分
∴S=BPN ABPQ S -S ∆四边形，
=BPN ABFG S -S ∆四边形．
由=
ABFG S 四边形FG AG BF )(21+=2
9． t FG BP S BPN 40
32121=⋅=∆． ∴S=t 40329-．-------------------10分 又BC =2，OA =3，
∴点P 运动到点C 时停止运动，需要20秒．
∴0<t ≤20．
∴当t =20秒时，面积S 有最小值3．------------------14分。