山西晋中学市榆次区2024届中考试题猜想数学试卷含解析

山西晋中学市榆次区2024届中考试题猜想数学试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．计算﹣8+3的结果是（）
A．﹣11 B．﹣5 C．5 D．11
2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A．B．C．D．
3．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）
A．132°B．134°C．136°D．138°
4．下列计算正确的是（）
A．﹣a4b÷a2b=﹣a2b B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．a2•a3=a6D．﹣3a2+2a2=﹣a2
5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，AB是⊙O的切线，半径OA=2，OB交⊙O于C，∠B=30°，则劣弧AC的长是（）
A．1
2
πB．
1
3
C．
2
3
πD．
4
3
π
7．如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是()
A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：1
8．下列命题中真命题是（）
A．若a2=b2,则a=b B．4的平方根是±2
C．两个锐角之和一定是钝角D．相等的两个角是对顶角
9．山西有着悠久的历史，远在100 多万年前就有古人类生息在这块土地上．春秋时期，山西大部分为晋国领地，故山西简称为“晋”，战国初韩、赵、魏三分晋，山西又有“三晋”之称，下面四个以“晋”字为原型的Logo 图案中，是轴对称图形的共有（）
A．B．C．D．
10．二元一次方程组
436
24
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解为（）
A．
3
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
B．
2
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
C．
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
D．
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
11．将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）
A．10cm B．30cm C．45cm D．300cm
12．下列调查中，调查方式选择合理的是（）
A．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择全面调查
B．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择全面调查
C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查
D．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，则A，B间的距离为_____m．
14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点P1（0，1）；P2（1，1）；P3（1，0）；P4（1，﹣1）；P5（2，﹣1）；P6（2，0）……，则点P2019的坐标是_____．
15．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与射线AC相交于点D．当△ODA 是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于__．
16．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．
17．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰1．将△CDE 绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________. 18．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB 的最小值为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：﹣22﹣12+|1﹣4sin60°|
20．（6分）问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB∠ACB（填“＞”“＜”“=”）；
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；
问题解决
（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．
21．（6分）图 1 和图 2 中，优弧AB纸片所在⊙O 的半径为2，AB＝23，点P为优弧AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．
发现：
（1）点 O 到弦 AB 的距离是 ，当 BP 经过点 O 时，∠ABA ′＝ ；
（2）当 BA ′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．
拓展：把上图中的优弧纸片沿直径 MN 剪裁，得到半圆形纸片，点 P （不与点 M ， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿 NP 折叠，分别得到点 M ，O 的对称点 A ′， O ′，设∠MNP ＝α．
（1）当α＝15°时，过点 A ′作 A ′C ∥MN ，如图 3，判断 A ′C 与半圆 O 的位置关系，并说明理由；
（2）如图 4，当α＝ °时，NA ′与半圆 O 相切，当α＝ °时，点 O ′落在NP 上．
（3）当线段 NO ′与半圆 O 只有一个公共点 N 时，直接写出β的取值范围．
22．（8分）发现
如图1，在有一个“凹角∠A 1A 2A 3”n 边形A 1A 2A 3A 4……A n 中（n 为大于3的整数），∠A 1A 2A 3＝
∠A 1+∠A 3+∠A 4+∠A 5+∠A 6+……+∠A n ﹣（n ﹣4）×180°．
验证如图2，在有一个“凹角∠ABC ”的四边形ABCD 中，证明：∠ABC ＝∠A +∠C +∠D ．证明3，在有一个“凹角∠ABC ”
的六边形ABCDEF 中，证明；∠ABC ＝∠A +∠C +∠D +∠E +∠F ﹣360°．
延伸如图4，在有两个连续“凹角A 1A 2A 3和∠A 2A 3A 4”的四边形A 1A 2A 3A 4……A n 中（n 为大于4的整数），
∠A 1A 2A 3+∠A 2A 3A 4＝∠A 1+∠A 4+∠A 5+∠A 6……+∠A n ﹣（n ﹣ ）×180°．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：()0y kx k k =+≠与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且点()0,2B ，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y t =．
（1）求k 的值和点A 的坐标；
（2）当4t =时，直线y t =与直线l 交于点M ，反比例函数()0n y n x
=≠的图象经过点M ，求反比例函数的解析式； （3）当4t <时，若直线y t =与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围．
24．（10分）我省有关部门要求各中小学要把“阳光体育”写入课表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据，如图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：该校对多少名学生进行了抽样调查？本次抽样调查中，最喜欢足球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？若该校九年级共有400名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为多少？
25．（10分）解分式方程：
- =
26．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=1
3
AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则
从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形. 27．（12分）列方程解应用题：
某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1
3
，小丽家去年12月的水费是15元，而
今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解题分析】
绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．依此即可求解．
【题目详解】
解：−8＋3＝−2．
故选B．
【题目点拨】
考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有1．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
2、B
【解题分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【题目详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
【题目点拨】
考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、B
【解题分析】
过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
4、D
【解题分析】
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【题目详解】
故选项A错误，
故选项B错误，
故选项C错误，
故选项D正确，
故选：D．
【题目点拨】
考查整式的除法，完全平方公式，同底数幂相乘以及合并同类项，比较基础，难度不大.
5、C
【解题分析】
试题分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．
解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=1．
故选C ．
6、C
【解题分析】
由切线的性质定理得出∠OAB=90°，进而求出∠AOB=60°，再利用弧长公式求出即可．
【题目详解】
∵AB 是⊙O 的切线，
∴∠OAB=90°，
∵半径OA=2,OB 交⊙O 于C,∠B=30°，
∴∠AOB=60°，
∴劣弧ACˆ的长是：
602180π⨯=23π， 故选：C.
【题目点拨】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算，解题的关键是先求出角度再用弧长公式进行计算.
7、C
【解题分析】
求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题；
【题目详解】
解：正六边形的面积226(2a)4
=⨯=，
阴影部分的面积2a =⋅=，
∴空白部分与阴影部分面积之比是2=：23=：1，
故选C ．
【题目点拨】
本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8、B
【解题分析】
利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【题目详解】
A、若a2=b2,则a=±b，错误，是假命题；
B、4的平方根是±2，正确，是真命题；
C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；
D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.
故选B．
【题目点拨】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大．9、D
【解题分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【题目详解】
A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
10、C
【解题分析】
利用加减消元法解这个二元一次方程组.
【题目详解】
解：
436
24
x y
x y
+=⋯⋯⎧
⎨
+=⋯⋯
⎩
①
②
①-②⨯2，得：y=-2，
将y=-2代入②，得：2x-2=4，解得，x=3，
所以原方程组的解是
3
2 x
y
=
⎧
⎨
=-⎩
.
故选C.
【题目点拨】
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较典型，难度适中.
11、A
【解题分析】
根据已知得出直径是60cm 的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120︒半径是30cm 的扇形，再根据扇形弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案。

【题目详解】
直径是60cm 的圆形铁皮，被分成三个圆心角为120︒半径是30cm 的扇形
假设每个圆锥容器的地面半径为rcm
120302180r ππ︒⨯⨯=︒
解得()r 10cm =
故答案选A.
【题目点拨】
本题考查扇形弧长的计算方法和扇形围成的圆锥底面圆的半径的计算方法。

12、D
【解题分析】
A ．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择抽样调查，故A 不符合题意；
B ．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择抽样调查，故B 不符合题意；
C ．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选普查，故C 不符合题意；
D ．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查，故D 符合题意；
故选D ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、1
【解题分析】
∵AM =AC ，BN =BC ，∴AB 是△ABC 的中位线，
∴AB =12
MN =1m ， 故答案为1．
14、（673，0）
【解题分析】
由P 3、P 6、P 9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为
3
n ，纵坐标为0，据此可解． 【题目详解】 解：由P 3、P 6、P 9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为
3n ，纵坐标为0， ∵2019÷3＝673，
∴P 2019 （673，0）
则点P 2019的坐标是 （673，0）．
故答案为 （673，0）．
【题目点拨】
本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上.
15、
【解题分析】
连接PB 、PC ，根据二次函数的对称性可知OB ＝PB ，PC ＝AC ，从而判断出△POB 和△ACP 是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【题目详解】
解：如图，连接PB 、PC ，
由二次函数的性质，OB ＝PB ，PC ＝AC ，
∵△ODA 是等边三角形，
∴∠AOD ＝∠OAD ＝60°，
∴△POB 和△ACP 是等边三角形，
∵A （4，0），
∴OA ＝4，
∴点B 、C 的纵坐标之和为：OB×sin60°+PC×sin60°=4×2
＝，
即两个二次函数的最大值之和等于
故答案为
【题目点拨】
本题考查了二次函数的最值问题，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造出等边三角形并利用等边三角形的知识求解是解题的关键．
16、1．
【解题分析】
试题解析：设俯视图的正方形的边长为a ． ∵其俯视图为正方形，从主视图可以看出，正方形的对角线长为22， ∴()22222
a a +=， 解得24a =，
∴这个长方体的体积为4×3=1．
17、2
【解题分析】
分析：设CD =3x ，则CE =1x ，BE =12﹣1x ，依据∠EBF =∠EFB ，可得EF =BE =12﹣1x ，由旋转可得DF =CD =3x ，再根据Rt △DCE 中，CD 2+CE 2=DE 2，即可得到（3x ）2+（1x ）2=（3x +12﹣1x ）2，进而得出CD =2．
详解：如图所示，设CD =3x ，则CE =1x ，BE =12﹣1x ．∵CD CA CE CB ==34
，∠DCE =∠ACB =90°，∴△ACB ∽△DCE ，∴∠DEC =∠ABC ，∴AB ∥DE ，∴∠ABF =∠BFE ．又∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF =∠CBF ，∴∠EBF =∠EFB ，∴EF =BE =12﹣1x ，由旋转可得DF =CD =3x ．在Rt △DCE 中，∵CD 2+CE 2=DE 2，∴（3x ）2+（1x ）2=（3x +12﹣1x ）2，
解得x 1=2，x 2=﹣3（舍去），∴CD =2×
3=2．故答案为2．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
18、
【解题分析】
过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，【题目详解】
解：连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴''
=
AN A N
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=
即PA+PB的最小值
【题目点拨】
本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、-1
【解题分析】
直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【题目详解】
--⨯-
解：原式＝441
2
--
＝41
＝﹣1．
【题目点拨】
此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
20、（1）＞；（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由见解析；（3）米．
【解题分析】
（1）过点E作EF⊥AB于点F，由矩形的性质和等腰三角形的判定得到：△AEF是等腰直角三角形，易证∠AEB=90°，而∠ACB＜90°，由此可以比较∠AEB与∠ACB的大小
（2）假设P为CD的中点，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE、BF；由∠AFB是△EFB的外角，得∠AFB＞∠AEB，且∠AFB与∠APB均为⊙O 中弧AB所对的角，则∠AFB=∠APB，即可判断∠APB与∠AEB的大小关系，即可得点P位于何处时，∠APB最大；（3）过点E作CE∥DF，交AD于点C，作AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ，以点O为圆心，OB为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，连接OA，再利用勾股定理以及长度关系即可得解.
【题目详解】
解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：
如图1，过点E作EF⊥AB于点F，
∵在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD中点，
∴四边形ADEF是正方形，
∴∠AEF=45°，
同理，∠BEF=45°，
∴∠AEB=90°．
而在直角△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠ACB＜90°，
∴∠AEB＞∠ACB．
故答案为：＞；
（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：
假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，
在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，
∵∠AFB是△EFB的外角，
∴∠AFB＞∠AEB，
∵∠AFB=∠APB，
∴∠APB＞∠AEB，
故点P位于CD的中点时，∠APB最大：
（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA=CQ，
以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置，
由题意知DP=OQ=，
∵OA=CQ=BD+QB﹣CD=BD+AB﹣CD，
BD=11.6米，AB=3米，CD=EF=1.6米，
∴OA=11.6+3﹣1.6=13米，
∴DP=米，
即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好．
【题目点拨】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，难度较大，熟练掌握各知识点并正确作出辅助圆是解答本题的关键.
21、发现：（1）1，60°；（2）23；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解题分析】
发现：
（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．
拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得
OD=A'H=1
2
A'N=
1
2
MN=2可判定A′C与半圆相切；
（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB时，连接MO′，则可知NO′=1
2
MN，可求得
∠MNO′=60°，可求得α=30°；
（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【题目详解】
发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,
∵⊙O的半径为2，AB=23，
∴OH=22
OB HB
-=22
2(3)1
-=
在△BOH中，OH=1，BO=2
∴∠ABO=30°
∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．
∴∠OBA′=∠ABO=30°
∴∠ABA′=60°
（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．
∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．
∴∠OBP=30°．∴OG=1
2
OB=1．∴BG=3．
∵OG⊥BP，∴BG=PG=3．
∴BP=23．∴折痕的长为23
拓展：（1）相切．
分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN
∴四边形A'HOD是矩形
∴A'H=O
∵α=15°∴∠A'NH=30
∴OD=A'H=1
2
A'N=
1
2
MN=2
∴A'C与半圆
（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，
∴α=45
当O′在PB上时，连接MO′，则可知NO′=1
2 MN，
∴∠O′MN=0°
∴∠MNO′=60°，
∴α=30°，
故答案为：45°；30°．
（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，
由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，
∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；
当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．
当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，
∴α＜90°，
∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．
综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．
【题目点拨】
本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
22、（1）见解析；（2）见解析；（3）1．
【解题分析】
（1）如图2，延长AB交CD于E，可知∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，即可解答
（2）如图3，延长AB交CD于G，可知∠ABC＝∠BGC+∠C，即可解答
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，可知∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，再找出规律即可解答
【题目详解】
（1）如图2，延长AB交CD于E，
则∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D；
（2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC+∠C，
∵∠BGC＝180°﹣∠BGC，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F），
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣310°；
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，
则∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，
∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n），
而∠2+∠4＝310°﹣（∠1+∠3）＝310°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n）]，
∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A1……+∠A n﹣（n﹣1）×180°．
故答案为1．
【题目点拨】
此题考查多边形的内角和外角，，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型
23、（1）2k =，()1,0A -；（2）4y x =
；t 的取值范围是：02t <≤． 【解题分析】
（1）把()0,2代入得出k 的值，进而得出A 点坐标；
（2）当4t =时，将4y =代入22y x =+，进而得出x 的值，求出M 点坐标得出反比例函数的解析式； （3）可得2CD =，当y t =向下运动但是不超过x 轴时，符合要求，进而得出t 的取值范围．
【题目详解】
解：（1）∵直线l ：y kx k =+ 经过点()0,2B ，
∴2k =，
∴22y x =+，
∴()1,0A -；
（2）当4t =时，将4y =代入22y x =+，
得，1x =，
∴()1,4M 代入n y x =
得，4n =， ∴4y x
=； （3）当2t =时，()0,2B 即()0,2C ，而()2,2D ，
如图，2CD =，当y t =向下运动但是不超过x 轴时，符合要求，
∴t 的取值范围是：02t <≤．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
24、（1）该校对50名学生进行了抽样调查；（2）最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%；（3）全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为720人．
【解题分析】
（1）根据条形统计图，求个部分数量的和即可；
（2）根据部分除以总体求得百分比；
（3）根据扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，求出百分比即可求解.
【题目详解】
（1）4+8+10+18+10=50（名）
答：该校对50名学生进行了抽样调查．
（2）最喜欢足球活动的有10人，
10=20%50
， ∴最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%．
（3）全校学生人数：400÷（1﹣30%﹣24%﹣26%）
=400÷20%
=2000（人）
则全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为2000×1850=720（人）． 【题目点拨】 此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚的表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反应部分占全体的百分比的大小.
25、方程无解
【解题分析】
找出分式方程的最简公分母，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【题目详解】
解：方程的两边同乘（x ＋1）（x−1），
得:,
，
∴此方程无解
【题目点拨】
本题主要考查了解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③验根.
26、（1）证明见解析；（2）从运动开始经过2s 或
53s 或125s 68221 时，△BEP 为等腰三角形． 【解题分析】
（1）根据内错角相等，得到两边平行，然后再根据三角形内角和等于180度得到另一对内错角相等，从而证得原四边形是平行四边形；（2）分别考虑P 在BC 和DA 上的情况求出t 的值.
【题目详解】
解：（1）∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB ∥CD ，
∵∠B=∠D ，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，
∴∠DAC=∠ACB ，
∴AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
（2）∵∠BAC=90°，BC=5cm ，AB=3cm ，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD间的最短距离是4cm，
∵AB=3cm，AE=1
3 AB，
∴AE=1cm，BE=2cm，
设经过ts时，△BEP是等腰三角形，当P在BC上时，
①BP=EB=2cm，
t=2时，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∴BM=ME=1
2
BE=1cm
∵cos∠ABC=
3
5 AB BM
BC BP
==，
∴BP=5
3 cm，
t=5
3
时，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，则BP=2BN，
∴cosB=
3
5 BN
BE
=，
∴
3 25 BN
=，
BN=6
5 cm，
∴BP=12
5
，
∴t=12
5
时，△BEP是等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，
过P作PQ⊥BA于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
设PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，
∴x=
3
25
，
cm，
∴t=5+5+3﹣
3
5
=
68
5
-
，
答：从运动开始经过2s或5
3
s或
12
5
s或
68
5
-
s时，△BEP为等腰三角形．
【题目点拨】
本题主要考查平行四边形的判定定理及一元二次方程的解法，要求学生能够熟练利用边角关系解三角形. 27、2.4元/米3
【解题分析】
利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．【题目详解】
解：设去年用水的价格每立方米x元，则今年用水价格为每立方米1.2x元
由题意列方程得：
3015
5 1.2x x
-=
解得x2
=
经检验，x2
=是原方程的解
1.2x
2.4
=(元/立方米)
答：今年居民用水的价格为每立方米2.4元．
【题目点拨】
此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．。