数学通报

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（ 若 ｒ＝１， 则 方 程 组 有 唯 一 解， 故两圆相 １） ） 切． 因为此时方程 （ 中 ０≤ｘ≤２， 于是圆 π ２ ２ 内切 于圆 π １． （ 若 ｒ＝３， 则 方 程 组 有 唯 一 解， 故两圆相 ２） 切． 因为此时方程 （ 中 －２≤ｘ≤４， 于是圆 π ２） １ 内 切于圆 π ２． （ ） 若 １＜ 则 －２＜ｘ＜２， 方程组有两个 ３ ｒ＜３， 不同的解 ， 故两圆相交 ． （ ） 若ｒ＞３， 则 方 程 组 无 解， 方程（ 中 １－ ４ ２） ｒ 故圆 π ｒ， －２＞１－ ｒ， １＋ ｒ＞２， ≤ｘ≤１＋ １ 内含于 圆π ２； ）若 ０＜ （ 则 方 程 组 无 解， 方程（ 中 ５ ｒ＜１， ２） 且 －２＜１－ 故圆 π １－ ｒ≤ｘ≤１＋ ｒ， ｒ， １＋ ｒ＜２， ２ 内含于圆 π １． 通过上面的例 子 我 们 能 看 出 ， 讨论圆与椭圆 的位置关系和 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ， 实质上方法 只需判 断 所 组 成 的 方 程 组 的 解 的 情 况 即 都一样 ， 但因为直线是一次方程 ， 所以方程组的解数可 可， 而 圆、 椭 圆 等 是 二 次 方 程， 两 由判别式直接 判 断 ， 个二次方程组成的方程组的解不能简单地由判别 式判断 ， 需要综合多方面的因素进行分析 ． 因此判 断两个二次曲 线 的 位 置 关 系 时 ， 通常情况下用方 程组的方法讨 论 会 比 较 麻 烦 ， 若辅之以画图的方 法则既简单又直观 ． 从另一个角度 看 ， 判别式只有三种不同的情 况， 而圆 与 椭 圆 的 交 点 的 个 数 有 ０、 １、 ２、 ３、 ４共五 无法建立一一对应的关系 ． 种不同的情况 ， 条弦 ， 且 直 线 ＡＭ 与 ＭＮ 是 曲 线 Ｃ 的 另 一 条 弦 ，
求ｂ 取什么值时直线ｌ 与圆 π 相切 ． 解 将直线代入圆的方程可得到
２ ２ ２ ｘ ＋２ ｂ ｘ＋ ｂ －１＝０． ２ ２ ） 因直线与圆相切 ， 则 Δ＝４ ｂ －４×２× （ ｂ －１ ２ （ ） ＝４ － ｂ ＋２ ＝０，
得 ｂ＝±槡 ２．
２ ２ ２ ２ ） 例 ２ 已知椭圆ｘ ＋ｙ ＝１ 与圆 （ ｘ－１ ＋ ｙ ４ ３ ２ ， 求ｒ 取什么值时圆与椭圆相切 ． ＝ ｒ 解 将圆的方程代入椭圆方程化简得 ２ ２ （ ） （ ｘ －８ ｘ－４ ｒ －４ ＝０． ＊） 当圆与椭圆相切 时 ， 有 Δ＝６ ４－４× （ －４） × ２ （ ） ｒ －４ ＝０，
２ ２
（ 上接第 ５ ５ 页） 则直线 ＭＮ 经 过 点 Ｄ ｙ ｔ＝０ ｙ ｐ ３ ４ ＋２ 与 重 合 直 线 － ＝０Ｐ１ Ｐ２ ＡＭ 与 ＢＮ ｙ ｙ Ｐ Ｐ １ ２ （ 的交点 Ｐ 在直线ｌ 上 ． 命题 ３ 证毕 ） 将命题 １ 至命 题 ３ 合 起 来 叙 述 ， 可得圆锥曲 线中与定点弦有关的一个统一对偶元素性质 ： 定理 在圆锥曲线 Ｃ 中 ， 已知定点 Ｄ 和直线 ， 对偶元 素 ” ｌ 是“ Ａ Ｂ 是 经 过 点 Ｄ 的 曲 线Ｃ 的 一
） 有解 ， 于是将它代入方程 （ 可得 １
２ ２ ｒ －１ ２ ｒ＋９＝０， ｙ ＋３
得 ｒ＝０． 但实际上 ， 如 下 图， 当 ｒ＝１ 或 ｒ＝３ 时 ， 椭圆 与圆相切 ．
ｒ ＋１ ２ ｒ－９． ｙ ＝－３ ２ 当且仅当 －３ ｒ ＋１ ２ ｒ－９＞０ 时 ， ｙ 有两个不
同的解 ， 此时圆与椭圆相交 ；
２ ２ ２ ） 程（ 中， 所以ｒ＞ ｘ－１ ＋ ｒ ｒ 表示圆的半径 ， ｙ＝
ｂ －４ ａ ｃ 可以判断直线ｌ： ｋ ｘ＋ ｂ 与圆 π： ｘ Δ＝ ｙ＝ ２ ２ 当 Δ＞０ 时 ， 直线与圆相 ＋ ｙ ＝ｒ 的 位 置 关 系 ：
２
２
当 Δ＝０ 时 ， 直 线 与 圆 相 切； 当 Δ＜０ 时 ， 直线 交； 与圆相离 ． 如：
２ ０ １ １年 第５ ０ 卷 第 ９ 期 数学通报 是和讨论直线 、 二次曲线相切问题时：
２ ２ （） ｘ 烄 ＋ｙ ＝１ １ ４ ３ 烅 ２ ２ ２ ） ） ｘ－１ ＋ ｒ ２ ｙ＝ （ 烆（ （ ） （ ） 消 ｙ 可得 １ ２ ２ ｒ ５－ ） ） ， 由（ 得： １ －（ ２ ｘ＝ ２ ） 由（ 知 －２≤ｘ≤２， １ ｒ≤３． 故 １≤
２ 当且仅当 －３ 即ｒ＝１ 或ｒ＝３ ｒ ＋１ ２ ｒ－９＝０，
２
２
时， 此时圆与椭圆相切 ． ｙ 有唯一解 ， 可以看出 ， 以上的求解仍然是利用判别式进 行的 ， 只是在运用判别式的时候 ， 不能简单地认为 实际上圆与椭圆相 Δ＝０ 时圆与椭圆就一定相切 ， 切的充要条件是由圆和椭圆的方程组成的方程组 有唯一解 ， 当方程组的ｘ（ 或ｙ） 有唯一解时并不能 保证对应的ｙ（ 或ｘ） 是唯一的 ． 我们在用判别式讨 论这类问题时 ， 一方面要考虑到二次方程中参数 同样用判别式 ， 对例１可以判断直线与圆相 而对例 ２ 却不能正确判断椭圆与圆相切 ， 问题 切， 的取值范围 ， 另一方面还要考虑到二次方 程 中 ｘ， 综合这两方面的情况才能找到方 ｙ 的取值范 围 ， 程组的唯一解的条件 ， 即圆与椭圆相切的条件 ， 这
２ ２
圆与椭圆相交 ． 个解 ， 综上讨 论 ， 当 ｒ＝１ 或 ｒ＝３ 时 ， 圆与椭圆 相切 ．
２ ２ 例 ３ 当ｒ＞０ 时 ， 判断圆 π ｘ ＋ ｙ ＝４ 与圆 １： ２ ２ ２ （ ） 的位置关系 ． ｘ－１ ＋ ｒ π ｙ＝ ２： 解
设方程组
｛
（ ） ｘ＋ １ ｙ ＝４， ２ ２ ２ ） ）＋ （ ２ ｘ－１ ｒ （ ｙ＝
与②同理
则 点 Ｐ 在 直 线ｌ 上 的 充 要 条 件 是 ＢＮ 交于 点 Ｐ ， 直线 ＭＮ 经过点 Ｄ ．
参考文献 ［ ］ 圆锥曲线中 一 对 奇 异 的 “ 伴 侣 点” 中 学 数 学 研 究， １ 苏立标 ． Ｊ ． ２ ０ ０ ６， １ １ ］ 圆锥曲线中与顶点有关的一组对偶 元 素 性 质 ［ 数学 ２ 张朝阳 ． Ｊ ． 通报 ， ２ ０ １ ０， ３
］ 方程 （ 在［ 上有唯一解 ； －２， ２ ＊）
２ ２ （ ） ） 当 ｆ（ 即 ｆ（ ２ ２ ＝０， ２） ＝２ －８×２－４ ｒ ＋ ） 由 抛 物 线 的 对 称 性， 方程（ １ ６＝０， ｒ＝１ 时 ， ＊ 在 ［ ］ 上有唯一解 ； －２， ２
）－４× （ ） －８ －４ ｒ ＋１ ６ Δ＝ （ ＞０ 烄 （ ） ， 当烅 即 ３） －２ ＞０ ｆ（ ） ２ ＜０ ｆ（ 烆 方程（ 在［ 上 有 唯 一 解， 这 １＜ ｒ＜３ 时 ， －２， ２］ ＊） 个解 ｘ 满足 －２＜ｘ＜２， 由方程（ 知方程组有两 １）
（ ） （ ｘ －８ ｘ－４ ｒ －４ ＝０ ＊） 因为椭圆与圆 的 中 心 不 重 合 ， 所以圆与椭圆
２ ２
在［ 上有唯一 相切的必要条件是方 程 （ －２， ２］ ＊）
２ ２ 解． 设 ｆ（ 这是一条抛物 ｘ） ＝ｘ －８ ｘ－４ ｒ ＋１ ６，
线， 对称轴为 ｘ＝４， 于是
２ （ ） ） 当 ｆ（ 即 ｆ（ １ －２） ＝０， －２） ＝（ －２ －８× ２ （ ） ， ， ， 时 由抛物线的对称性 －２ －４ ｒ ＋１ ６＝０ｒ＝３
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数学通报 ２ ０ １ １年 第５ ０卷 第９期
判别式为零时圆和椭圆为何不相切
黄学军
（ ） 乐山师范学院数信学院 ６ １ ４ ０ ０ ０
１ 问题的提出 ２ 利用一元二次方程 ａ ｘ ＋ ｂ ｘ＋ ｃ＝０ 的判别式
出在哪儿？ ２ 问题解决 我们对例 ２ 的 解 题 过 程 进 行 分 析 ： 在圆的方
２ ２ ： 例１ 已知圆 π： 直线ｌ ｘ ＋ ｂ， ｙ ＝１， ｙ＝ｘ＋
故ｒ 只能取 正 数 ， 而圆与椭圆的位置关系应当 ０， 在ｒ＞０ 的范围中考虑 ， 具体的解法如下 ．
２ ２ （） ｘ 烄 ＋ｙ ＝１， １ ４ ３ 设烅 ２ ２ ２ ） ） ｘ－１ ＋ ｒ ． （ ２ ｙ＝ 烆（ ） （ ） 由（ 消 ｙ 可得 １ ２ ２ ２ （ ） （ ｘ －８ ｘ－４ ｒ －４ ＝０， ＊） ２ ２ ） ） ４－４× （ －４ ×（ ｒ －４ ＝１ ６ ｒ ＞０， Δ＝６ 所以方程 （ 有两个不同的解 ｘ＝４±２ ｒ． ＊） ２ ｘ ） 由方程 （ 知， 而当 ｘ＝４ １ ≤１ －２≤ｘ≤２， ４ 由于ｒ＞０， 故 ｘ＝４＋２ 此时 方 程 组 ｒ时， ｒ＞４， ＋２ 没有解 ． 当 ｘ＝４－２ 只 需 １≤ ｒ 时， ｒ≤３ 方 程 组 就