2023-2024学年江西省吉安市永丰县高二下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年江西省吉安市永丰县高二下册期中考试数学
模拟试题
一、单选题
1．若函数3
()ln 33
f x x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为（）
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
【正确答案】B
【分析】先求出导数，即可求出切线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】因为函数3()ln 33
f x x x x =+-+的导数是2
1()1f x x '=+-，
所以(1)f '=
设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为()0θθπ≤<，则tan θ所以=60θ︒.故选：B.
2．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论错误的是（）
A ．3-是()f x 的一个极小值点
B ．2-和1-都是()f x 的极大值点
C ．()f x 的单调递增区间是(3,)-+∞
D ．()f x 的单调递减区间是(,3)-∞-【正确答案】B
【分析】根据导函数的图象和极值点的定义逐个分析判断即可
【详解】对于A ，由图象可知，当3x <-时，()0f x '<，当3x >-时，()0f x '>，所以3-是()f x 的一个极小值点，所以A 正确，
对于B ，由图可知，当31x -<<时，()0f x '≥，所以()f x 在(3,1)-上单调递增，所以2-和1-不是
()f x 的极值点，所以B 错误，
对于C ，当3x >-时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间是(3,)-+∞，所以C 正确，
对于D ，当3x <-时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间是(,3)-∞-，所以D 正确，故选：B
3．已知数列{}n a 满足12a =，*
1()()n n n a n a a n N +=-∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =（
）
A ．2n
B ．1(
)n
n n
+C ．21n +D ．1
n +【正确答案】A 【分析】由题得
11
n n a n a n
++=，再利用累乘法求解.【详解】解：由()1+=-n n n a n a a ，得()11n n n a na ++=，
即11
n n a n a n ++=，则11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，2323
n n a n a n ---=-，…，21221a n a =≥，，
由累乘法可得
1
n
a n a =，所以2(2)n a n n =≥，又12a =，符合上式，所以2n a n =.故选：A ．
4．已知数列{}n a 满足：()()*638,6N ,6
n n a n n a n a
n -⎧--≤=∈⎨>⎩，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取
值范围是（）
A ．()2,3
B ．[)
2,3C ．10,37⎛⎫
⎪
⎝⎭
D ．()
1,3【正确答案】C
【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合76a a >可得答案.【详解】当6n ≤时，有30a ->，即3a <；当6n >时，有1a >，又76a a >，即106a a >-，综上，有10
37
a <<，故选：C ．
5．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 与n T ，若2835n n S n
T n =+，则293
a a
b +=（）
A ．
12
7
B ．
3217
C ．
167
D ．2
【正确答案】D
【分析】由等差数列下标和的性质可得10
291101015535
21025S a a a a S
b b T b T ++===+，进而代值计算即可得解.
【详解】因为2835n n S n T n =+，所以10
2
911010155
35210235525
85
S a a a a S b b T b T ++===+⨯+⨯==.故选：D .
6．已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*
n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次
为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为1
3
的等差数列，则n 的最大值是（
）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
【正确答案】D
【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值【详解】解：由题意在圆22:+6=0M x y x -中()2
2:3+=9
M x y -∴圆心()3,0M ，半径为3，
过点()1,2A 的直线1l ，2l ，…，()*
N n l n ∈被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n
a 过圆心作弦的垂线，交圆于,D E 两点，如下图所示：由几何知识得，当MA BC ⊥时，
BC 为最短弦长；DE 为最长弦长，为
6.
此时，
直线DE 的解析式为：3
y x =-+
直线BC 的解析式为：=+1
y x
圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,
由勾股定理得，
AB ∴22BC AB ==，∴最短弦长1=2a ，
∵1a ，2a ，…，n a 是公差为1
3
的等差数列
∴设()115=2+
1=+333
n a n n -∵最长弦长为6
∴15
6
33
n n a =+=解得：=13n 故选：D.
7．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（）
A ．
25
B ．
45
C ．
815
D ．
89
【正确答案】D
【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A ，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B ，求出()P A ，()P AB ，根据条件概率公式()
()()
P AB P B A P A =
求解即可．【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A ，
记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B ，
事件A 包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则
4
2221211434
8C C C C C 27()C 35
P A =+=，又1211
434
282
C C C C 24()C 35
P AB ==，则()8()()9P AB P B A P A ==，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为8
9
．
故选：D ．
8．已知函数()ln 2f x a x x =+，若不等式()12x
f x ax e +<+上()1,+∞恒成立，则实数a 的取值范围
为（）
A ．[)2,-+∞
B ．[)
4,-+∞C ．()
4,-+∞D ．()
,2-∞-【正确答案】B
由已知不等式化为()()1x
f x f e +<，判断1,x x e +在()1,+∞的大小关系，得出()f x 在()1,+∞的单调
性，即可求出a 的取值范围.
【详解】∵()ln 22x x x x
f e a e e ax e =+=+，∴()()1x
f x f e +<，∵1x >，
令()(1),()10,(1,)x x g x e x g x e x '=-+=->∈+∞恒成立，
()g x ∴在()1,+∞单调递增，()(1)20g x g e >=->，
所以1x e x >+在()1,+∞上恒成立，∴()f x 在()2,∞+恒为递增函数，∴()'20a
f x x
=
+≥，2a x ∴≥-在()2,∞+恒成立，4a ∴≥-.
故选:B.
本题以不等式恒成立为背景，考查函数的单调性，以及导数的应用，属于中档题.二、多选题
9．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则（
）
A ．1D E DF
⊥B ．1AD ∥平面DEF
C ．平面11BC
D 与平DEF 交D ．点B 到平面DEF 的距离为
43
【正确答案】BCD
【分析】如图建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间垂直向量的坐标表示判断A ；利用线面平行的向量法判断B ；利用面面平行的向量法判断C ；利用向量法求出点到平面的距离公式判断D.【详解】如图，建立空间直角坐标系D xyz -
，
则1(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,0,4)D A B C A ，
111(4,4,4),(0,4,4),(0,0,4),(2,4,0),(0,4,2)B C D E F ，A ：1(0,4,2),(2,4,4)DF D E ==- ，有180DF D E ⋅=≠
，
则DF 与1D E 不垂直，故A 错误；
B ：1(4,0,4)AD =- ，(0,4,2),(2,4,0)DF DE ==
，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z
，
则420240
n DF y z n DE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，得2,2x z ==，所以(2,1,2)=-
n ，得10n AD ⋅= ，所以
1//AD 平面DEF ，故B 正确；C ：11(4,0,4),(4,4,4)BC BD =-=-- ，由B 选项可知平面DEF 的法向量(2,1,2)=-
n ，设平面11BC D 的法向量分别为1111(,,)n x y z
，
1111111114404440
n BC x z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令11x =，得111,0z y ==，所以1(1,0,1)n =
，得1//n n 不成立，所以平面11BC D 与平面DEF 相交，故C 正确；
D ：由(4,4,0)DB = ，平面DEF 的法向量(2,1,2)=-
n ，
则点B 到平面DEF 的距离为4
3DB n d n
⋅== ，故D 正确.
故选：BCD.
10．
已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记2n a
n n b a =⋅，则{}n b 的前n 项和可以是（）
A ．n
B ．2n
C ．122
n +-D ．1(n 1)22
n +-+【正确答案】BD
设出等差数列的公差，再由已知列式求得公差，得到数列{}n a 的通项公式，进一步得到{}n b 的通项公式，然后利用等差数列的前n 项和公式及错位相减法求{}n b 的前n 项和，则答案可求．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，
得2
428a a a =，即2(13)(1)(17)d d d +=++，整理得20d d -=，即0d =或1d =．
1n a ∴=或11(1)n a n n =+⨯-=．
当1n a =时，·22n a
n n b a ==，
当n a n =时，·2·2n a n
n n b a n ==．
若2n b =，则{}n b 的前n 项和为2n ；
若2n
n b n = ，设{}n b 的前n 项和为n S ，
则1231222322n
n S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，
∴234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，∴231
12(12)22222
212
n n
n n n S n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-，则1
(1)22n n S n +=-+．
故选：BD
11．双曲线C ：22
21(0)9
x y a a -=>的左右焦点分别是1F ，2F ，左右顶点分别是A ，B ，两渐近线分别
是1l ，2l ，M 在双曲线C 上，其中O 是坐标原点，则下列说法正确的是（
）
A ．焦点2F 到渐近线1l 的距离是3
B ．若1OM OF =，则12F MF △的面积是9
C ．直线1MF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，则122
9k k a ⋅=
D ．过右顶点B 作2l 的平行线交1l 于P 点，若OBP 的面积为3，则双曲线的离心率为54
【正确答案】ABD
【分析】根据点到直线的距离公式即可判断A ，根据勾股定理结合双曲线的定义，即可利用面积公式求解B ，利用反例即可说明C ，根据面积公式即可求解D.【详解】因为焦点(),0c 到渐近线30x ay +=
3b ==，故A 正确；
1OM OF =时，则12MF MF ⊥，故1290F MF ∠=︒，
由勾股定理得12F F PF PF =2
2
2
12
＋得2224|||||2||||121c PF PF PF PF =
-+（|），则2212442||||c a PF PF =+，所以2
12||||2PF PF b =，
由三角形的面积公式可得122121
||||92
PF F PF PF S b ==
= ，故B 正确；当1290F MF ∠=︒时，121k k ×
=-，当M 在右顶点时，120k k ⋅=，故12k k ⋅不是定值，故C 错误；过右顶点B 作2l 的平行线交1l ：b y x a =于P 点，则,22a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故3,22a P ⎛⎫
⎪⎝⎭，则OBP 的面积为13322S a =⨯⨯=，解得4a =，则双曲线的离心率为5
4
，故D 正确，故选：ABD.12．设函数()ln x
f x x
=
，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（）
A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减
B ．不等关系33e e ππππ<<<成立
C ．若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，则1
a ≥D ．若函数()()2
h x g x mx =-有两个极值点，则实数()
0,1m ∈【正确答案】AC
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()2
2s x g x ax =-在()
0,∞+
上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2x
m x
+=
在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =
的定义域为()0,∞+，则()2
1ln x
f x x -'=.由()0f x ¢>，可得0<<x e ，由()0f x ¢>，可得>x e .
所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln x
f x x
=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>，所以，()()4f f π>，即ln ln 44π
π
>
，又
ln 41ln 213ln 22
043236
--=-=>，所以，
ln ln 41
43
π
π
>
>，整理可得3e ππ>，B 选项错误；对于C 选项，若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，
可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()22
22ln s x g x ax x x ax =-=-，
则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，
即1ln x
a x +≥
对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()1ln x t x x +=
，其中0x >，()2ln x
t x x
'=-.当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；
当1x >时，()0t x '
<，此时函数()t x 单调递减.
所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；
对于D 选项，()()22
ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，
由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x
m x
+=
，则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点，当1x e
>时，()0t x >，如下图所示：
当021m <<时，即当1
02
m <<
时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，D 选项错误.
故选：AC.
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数
()y g x =的图象的交点问题.
三、填空题
13．已知数列{}n a 满足114
a =-，11
1n n
a a +=-(n 为正整数)，则2019a =______．【正确答案】
45
/0.8【分析】根据递推公式依次计算各项，可知数列{}n a 是以3为周期的周期数列；根据周期数列特点可求得结果.【详解】因为111n n
a a +=-，21
1
1145a a =-
=+=，321141155a a =-
=-=，43151
1144
a a =-=-=-，
所以{}n a 是周期为3的数列，
因为20193673=⨯，所以2019345
a a ==，故45
14．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(4,0)P ，则||||+=AF BF ________.【正确答案】6
【分析】要求||||AF BF +，需要求出A B x x +，设直线l 的斜率为k ，根据条件表示出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得004ky x =+，又由点差法可得02ky =，从而可求出0x ，即02A B x x x =+也可知道，从而可求出||||
AF BF +【详解】由题意得(1,0)F ，设线段AB 的中点为()00,M x y ，则01122A B AF BF x x x +=+++=+，设直线l 的斜率为k ，
则线段AB 的垂直平分线方程为()001
y y x x k
-=--，令0y =，得00x ky x =+，即004ky x =+，
又2244A A B B
y x y x ⎧=⎨=⎩，作差得
4
A B A B A B
y y x x y y -=-+整理得02ky =，所以02x =，∴||6AF BF +=．故答案为6．
本题考查直线与抛物线相交的弦的垂直平分线问题，关键在于点差法以及弦长公式的运用，考查学生的计算能力，是基础题
15．
已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2
21n n n a a S =-，则2020S =___________.
【分析】求出数列首项，对代数式变形()()2
1121n n n n n S S S S S ---=--求出2
=n S n 即可得解.
【详解】数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2
21n n n a a S =-，
211121a a S =-所以11a =，
当2n ≥时，由2
21n n n a a S =-得()()2
1121n n n n n S S S S S ---=--，
2211n n S S --=，所以2=n S n ，数列{}n a
的各项均为正数，=n S ，
所以2020S =
16．已知函数(
)221ln ,,11a x x x e f x x e ⎧
+≥⎪⎪=⎨⎪≤-
⎪⎩
(e
为自然对数的底数)，若()f x 有三个零点，则实数a 的取
值范围为______.【正确答案】
221e e
a ≤<【分析】设()ln g x x x =，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数(
)2
21ln ,11x x x e h x x e ⎧
≥⎪⎪=⎨⎪≤-
⎪⎩
的
图象，结合图象，即可求解.
【详解】设()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，当
211
x e e
<<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1
x e
>时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 在1=x e
时，取得最小值1
e -，
令(
)2
21ln ,1
1x x x e h x x e ⎧
≥⎪⎪=⎨⎪≤-⎪⎩
，其图象如图所示，且2212h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
要使得函数()f x 有三个零点，则满足212a e e -<-≤-，即221
a e e
≤<，
故函数()f x 有三个零点，实数a 的取值范围为
221
a e e
≤<.
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.四、解答题
17．已知函数()ln f x x =.
(1)若()f x 在x t =处的切线l 过原点，求切线l 的方程；(2)令()()f x g x x =
，求()g x 在21,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.【正确答案】（1）1y x e =
（2）最大值1
e
，最小值e -【分析】（1）求函数()f x 的导数，()k f t '=，点斜式写出切线方程即可（2）利用导数判断函数的单调性，确定极值，即可求出函数的最大值,最小值.【详解】(1)设切线的方程为y kx
=1
()f x x '=
，则1()k f t t
'==x t =，则()ln f t t
=切线方程为1ln ()
y t x t t
-=-1
ln 1
y x t t
=+-ln 10t -=则t e
=∴切线l 的方程为1y x e
=.(2)2
1ln ()x
g x x -'=
，当1
x e e
<<时，()0g x '>；2e x e <<时，()0g x '<，所以最大值1(e)g e
=
∵1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，2
21()g e e =，且2
2e e -<
所以最小值1g e e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.
18．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足2
21n n a S -=，1
1
n n n b a a +=
⋅，
数列{}n b 的前n 项和为n T .
（1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和n T .
（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】(1)21n a n =-,21
n n
T n =+;(2)存在正整数2,12m n ==,使得1T ,m T ,n T 成等比数列.【分析】(1)将等差数列求和公式代入2
21n n a S -=,化简后可得21n a n =-,再将其带入1
1n n n b a a +=⋅,利用
裂项相消法可求得n T ;
(2)根据等比中项的性质建立等式,化简后即可求得m 的范围,再结合题意,m n 均为正整数,进而可得解.
【详解】(1){}n a 是各项均不为0的等差数列,
121221(21)()(21)222
n n n
n n a a a n a S ---+-⋅=∴=
=,
21n a n ∴=-,
111111
()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +∴=
==⋅-⋅-+-+,
123n n
T b b b b ∴=++++ 11111111(1)2335572121
n n =⋅-+-+-++--+ 11(1)221n =⋅-+21
n
n =
+;(2)若存在正整数,m n (1)m n <<,使得1T ,m T ,n T 成等比数列,
则2
1m n T T T =⋅,即21(
)21321
m n
m n =⋅++,化简得:2
230241
m n m m =>-++,
解得:11m <<又1m >且*m N ∈,所以2m =,12n =,
故存在正整数2,12m n ==,使得1T ,m T ,n T 成等比数列.
本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质,考查了学生综合分析问题和实际应用的能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，
,//AD AB DC AB ⊥，1,2,PA AD DC AB E ====为棱PB 上一点.
（1）确定点E 的位置，使得直线//CE 平面PAD ；
（2）若二面角E AC P --，求直线AE 与平面ABCD 所成角的余弦值.
【正确答案】（1）E 为PB 的中点；（2.【分析】（1）直线//CE 平面PAD 时，平面DCE 与平面PAD 的交线与CE 平行，注意到DC 与平面PAB 平行，1
2
DC AB =
，因此E 是PB 中点，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP
分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，
由空间向量法求二面角确定E 点位置，再由线面角的余弦．【详解】解：（1）E 为PB 的中点.
取PA 的中点F ，连EF ､FD ，E 为PB 的中点，即1
//,2EF AB EF AB =，
又1
//,2
CD AB CD AB =，
则四边形CDFE 为平行四边形，故//CE DF ，
DF PAD CE PAD ⊂⊄平面，平面，故//CE 面PAD .
（2）以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP
分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，
如图所示，则()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0A P B C .
设(),,E x y z ，则()(),,1,0,2,1PE x y z PB =-=-
.
E 在棱PB 上，可设PE PB λ=
(01λ<<).
故()(),,10,2,1x y z λ-=-，解得0
21x y z λλ=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩，即()0,2,1E λλ-.
设平面PAC 的法向量为()111,,u x y z =
，()()0,0,1,1,1,0AP AC == ，·0·0u AP u AC ⎧=⎨=⎩
，即1110
0z x y =⎧⎨+=⎩，取11x =，则()1,1,0u =- .设平面EAC 的法向量()222,,v x y z = ，()()0,2,1,1,1,0AE AC λλ=-=
，·0·0v AE v AC ⎧=⎨=⎩
，即()22222100y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，取21x =，则21,1,1v λλ⎛⎫
=- ⎪-⎝⎭ .
二面角E AC P --的正弦值为
6
3
33，
3
cos ,u v <> ()2
21,1,01,1,
13322111u v
u v
λλλλ→→→
→⎛⎫
-⋅-⋅ ⎪-⎝
⎭
=⎛⎫
⋅⨯++ ⎪
-⎝⎭
2
11λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
.又01λ<<，解得12λ=，即10,1,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭E ，10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ .
z 轴⊥平面ABCD ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =
，设AE 与平面ABCD 所成角为α，则
12sin m AE
m AE
α⋅=⋅ 故AE 与平面ABCD
.方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
20．为了深入贯彻党的十九大和精神，坚持以为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．消费金额（千元）
[)
3,5[)
5,7[)
7,9[)
9,11[)
11,13[]
13,15人数
30
50
60
20
30
10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为[)9,11和[)11,13的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[)11,13的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布()2,N μσ，μ，2σ分别为报名前200名学员消费的平均数x 以及方差2s （同一区间的花费用区间
的中点值替代）．
（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为[)
5.2,13.6的概率（保留一位小数）；
（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为[)
5.2,13.6的人数为η，求η的分布列及方差．
1.4
≈；若随机变量ξ服从正态分布()2,
Nμσ，则()0.6827
Pμσξμσ
-<<+=，()
220.9545
Pμσξμσ
-<<+=，()
330.9973
Pμσξμσ
-<<+=．
【正确答案】(1)分布列见解析，()
9
5
E X=
(2)（ⅰ）0.8；（ⅱ）分布列见解析，()1625
η=
D
【分析】（1）根据分层抽样分别求出消费金额为[)
9,11和[)
11,13抽取的人数，求出随机变量的可能取值，分别求出相应概率，进而求得分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）求出μ，σ的值，结合正态分布求出概率；
（ⅱ）由（ⅰ）求出二项分布的分布列及方差.
【详解】（1）解：由题意得，抽中的5人中消费金额为[)
9,11的人数为
252
5⨯=，
消费金额为[)
11,13的人数为
353
5⨯=，
设消费金额为[)
11,13的人数为X，则1,2,3
X=，
所以()
21
23
3
5
C C3
1
C10
P X===，()12233
5
C C3
2
C5
P X===，()03233
5
C C1
3
C10
P X===，
X的分布列为
X123
P
3
10
3
5
1
10
则()
3319
123
105105
E X=⨯+⨯+⨯=；
（2）解：（ⅰ）由题意得
40.1560.2580.3100.1120.15140.058
x
μ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
()()()()()
22222
2480.15680.251080.11280.151480.058
σ=-⨯+-
⨯+-⨯+-⨯+-⨯=所以
2.8
σ==≈，
所以()()5.213.68 2.882 2.80.47720.34130.8P P εε≤<≈-≤<+⨯=+≈；（ⅱ）由题意及（ⅰ）得44,5B η⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以()0
4
4
4110C 55625P η⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()3
1441161C 55625P η⎛⎫⎛⎫===
⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()222
4
41962C 55625P η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
3441256
3C 55625
P η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()40
44
412564C 55625P η⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，η的分布列为η
01234P
1625
16625
96625
256625
256625
()()4116
145525
D np p η=-=⨯⨯=．
21．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=过点(2,1)A --，且2a b =．
(1)求椭圆C 的方程：
(2)过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求证：
||=||PB BQ ．
【正确答案】(1)22
1
82
x y +=(2)证明见解析
【分析】（1）将A 点坐标代入椭圆方程，联立2a b =即可求得a 与b （2）作图分析可知，要证
PB BQ =即证0P Q y y +=，以直线l 的斜率k 为参数表示出P y 与Q y ，结合韦达定理化简即可证明
【详解】（1）由椭圆过点()2,1A --,得2241
1a b
+=.又2a b
=22
41
14b b ∴
+=解得22b =2248
a b ∴==
∴椭圆C 的方程为22182
x y +=（2
）
当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意.设直线():4l y k x =+,
由()22
4,48y k x x y ⎧=+⎨+=⎩
得()2222
41326480k x k x k +++-=.由Δ0>,得11
22
k -
<<.设()()1122,,,M x y N x y ,
则2212122232648
,4141
k k x x x x k k --+==++.
又 直线AM :()111
122
y y x x ++=
++令4x =-,得()
11211
2
P y y x -+=
-+将()114y k x =+代入,得
()()
112142
P k x y x -++=
+.
同理()()
222142
Q k x y x -++=
+()121
2442122P Q x x y y k x x ⎛⎫
++∴+=-++ ++⎝⎭
()()()()
1212122616
2122x x x x k x x +++=-+⋅++()()()()()22
221226486321641412122k k k k k x x -⨯-++++=-+⋅++()()()()222212128161926416210
4122k k k k k x x --++=-+⋅=+++PB BQ
∴=22．已知函数()e x f x ax =-．
(1)若a ＝1，求函数()f x 的单调区间及()f x 在x ＝1处的切线方程；
(2)设函数22()2()g x f x x a =--，若0x ≥时，()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【正确答案】(1)()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+；切线方程为()e 1y x =-.
(2)2ln 2⎡⎤-⎣⎦
【分析】（1）将a ＝1代入函数中，求出函数的导数，判断导数的正负，可得函数的单调区间；根据导数的几何意义求得切线方程；
（2）化简()g x ，利用导数求出()()min 022g x g a ''==-，分类讨论，分别求出()min g x ，令()min 0g x ≥求解即可.
【详解】（1）当1a =时，()()e ,e 1
x x f x x f x '=-=-由()e 10x f x '=->，有0x >，
由()e 10x f x '=-<有0x <，
所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
所以()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+；
又()1e 1f =-，所以切点为()1,e 1-，
切线斜率()1e 1k f '==-，
所以切线方程()()()e 1e 11y x --=--，
即切线方程为()e 1y x =-.
（2）()()222222e 2x g x f x x a ax x a =--=---，
()2e 22x g x x a '=--，
设()()2e 22x x g x x a ϕ'==--，
则()2e 2
x x ϕ'=-∵0x ≥，∴()2e 20x x ϕ'=-≥，
()g x '在[)0,∞+上单调递增，
()()()min 02221g x g a a ''==-=-，
①当10a -≥，即1a ≤时，
()()min 210g x a '=-≥，
()g x 在[)0,∞+上单调递增，
则()n 2mi 20g x a =-≥，
∴a ≤≤，
故1a ≤≤．
②当10a -<，即1a >时，
()()min 210g x a '=-<，
00x ∃>，()0002e 220x g x x a =--='，
即00e x a x =-，
当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 上单调递减，
当0x x >时，()0g x '>，()g x 在()0,x +∞上单调递增，
则()()()
0200min 2e x g x g x x a ==-+()()
000022e e e 2e 0x x x x =-=-≥，∴0
e 2x ≤，∴00ln 2x <≤．
由00e x a x =-，
令函数()e x h x x =-，且0ln 2x <≤，
()e 10x h x ='-≥，
()e x h x x =-在(]0,ln 2上单调递增，()12ln 2h x <-≤，
∵()00e 0ln 2x a x x =-<≤，
∴12ln 2a <≤-．
综上，实数a 的取值范围是：ln 2⎡⎤-⎣⎦．
导数题常作为压轴题出现，常见的考法：
①利用导数研究含参函数的单调性（或求单调区间），
②求极值或最值
③求切线方程
④通过切线方程求原函数的解析式
⑤不等式恒（能）成立问题，求参数的取值范围
⑥证明不等式
⑦已知函数的零点个数求参数的取值范围
解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决.。