茅箭区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

茅箭区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）
A．30 B．50 C．75 D．150
2．复数z=（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（）
A．﹣i B．﹣﹣i C．+i D．﹣+i
3．已知函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x（m∈R）存在两个极值点x1，x2，直线l经过点A（x1，x12），B
（x2，x22），记圆（x+1）2+y2=上的点到直线l的最短距离为g（m），则g（m）的取值范围是（）
A．[0，2] B．[0，3] C．[0，）D．[0，）
4．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b ﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）
A．B．C．D．
5．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
6．已知α∈（0，π），且sinα+cosα=，则tanα=（）
A．B．C． D．
单调递增的函数是（）
7．下列函数中，既是偶函数又在(0,)
A ．3y x =
B ． 21y x =-+
C ．||1y x =+
D ．2x y -=
8． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12
x π=-
B ．12
x π=
C ．6
x π
=-
D ．6
x π
=
9． 常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底
数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x
）
{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）
A ．h （）
B ．h （）
C ．h （）
D ．h （）
10．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6
B ．3
C ．
3
8
D ．
3
4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
11．函数f （x ）=
的定义域为（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
B ．（﹣2，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
D ．（1，2）
12．“方程
+
=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．
A ．必要不充分
B ．充要
C ．充分不必要
D ．不充分不必要
二、填空题
13．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）
14．函数f （x ）=
的定义域是 ．
15．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是 ．
16．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线x
C y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．
17．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.
18．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为 ．
三、解答题
19．设函数f （x ）=x+ax 2+blnx ，曲线y=f （x ）过P （1，0），且在P 点处的切线斜率为2 （1）求a ，b 的值；
（2）设函数g （x ）=f （x ）﹣2x+2，求g （x ）在其定义域上的最值．
20．如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙相交于点C 、D ，AC=4，∠BOD=∠A ，OB 与⊙O 相交于点． （1）求BD 长；
（2）当CE ⊥OD 时，求证：AO=AD ．
21．已知函数f （x ）=x ﹣1+
（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求a 的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
22．若函数f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横
坐标依次构成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求ω及m的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．
23．化简：
（1）．
（2）+．
24．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4。

（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n。

茅箭区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：该几何体是四棱锥，
其底面面积S=5×6=30，
高h=5，
则其体积V=S×h=30×5=50．
故选B．
2．【答案】C
【解析】解：∵z==，
∴=．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x3+mx2+（2m+3）x的导数为f′（x）=x2+2mx+2m+3，
由题意可得，判别式△＞0，即有4m2﹣4（2m+3）＞0，
解得m＞3或m＜﹣1，
又x1+x2=﹣2m，x1x2=2m+3，
直线l经过点A（x1，x12），B（x2，x22），
即有斜率k==x1+x2=﹣2m，
则有直线AB：y﹣x12=﹣2m（x﹣x1），
即为2mx+y﹣2mx1﹣x12=0，
圆（x+1）2+y2=的圆心为（﹣1，0），半径r为．
则g（m）=d﹣r=﹣，
由于f′（x1）=x12+2mx1+2m+3=0，
则g（m）=﹣，
又m＞3或m＜﹣1，即有m2＞1．
则g（m）＜﹣=，
则有0≤g（m）＜．
故选C．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．
4．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
5．【答案】A
【解析】解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
故选A．
6．【答案】D
【解析】解：将sin α+cos α=①两边平方得：（sin α+cos α）2
=1+2sin αcos α=
，即2sin αcos α=﹣＜0，
∵0＜α＜π，∴＜α＜π，
∴sin α﹣cos α＞0，
∴（sin α﹣cos α）2
=1﹣2sin αcos α=
，即sin α﹣cos α=②，
联立①②解得：sin α=，cos α=﹣，
则tan α=﹣． 故选：D ．
7． 【答案】C 【解析】
试题分析：函数3y x =为奇函数，不合题意；函数21y x =-+是偶函数，但是在区间()0,+∞上单调递减，不合题意；函数2x y -=为非奇非偶函数。

故选C 。

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。

8． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z π
π
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 9． 【答案】B
【解析】解：（h （x ））′=x x
[x ′lnx+x （lnx ）′]
=x x （lnx+1），
令h （x ）′＞0，解得：x ＞，令h （x ）′＜0，解得：0＜x ＜，
∴h （x ）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
∴h （）最小， 故选：B ．
【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．
10．【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82 的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2， 设P （a ，﹣2），B （m ，），则
=（﹣a ，4），
=（m ，
﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
11．【答案】D
【解析】解：由题意得：，
解得：1＜x ＜2， 故选：D ．
12．【答案】C
【解析】解：若方程
+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m ＜5且m ≠1，此时﹣3＜m ＜5成立，即充分性成立，
当m=1时，满足﹣3＜m ＜5，但此时方程+
=1即为x 2+y 2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要
性不成立．
故“方程+
=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的充分不必要条件．
故选：C ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．
二、填空题
13．【答案】 （1，+∞）
【解析】解：∵命题p ：∃x ∈R ，x 2
+2x+a ≤0，
当命题p 是假命题时，
命题￢p ：∀x ∈R ，x 2
+2x+a ＞0是真命题；
即△=4﹣4a ＜0， ∴a ＞1；
∴实数a 的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．14．【答案】{x|x＞2且x≠3}．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
15．【答案】（﹣1，0）．
【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5）
△ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化，
将直线AC绕A点旋转，可得
当C点与C1（2，5）重合或与C2（2，3）重合时，△ABC是直角三角形，
当点C位于B、C1之间，或在C1C2的延长线上时，△ABC是钝角三角形，
当点C位于C1、C2之间时，△ABC是锐角三角形，
而点C在其它的位置不能构成三角形
综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k＜0
即k的取值范围是（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
16．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，
再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

17．【答案】()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=
【解析】
试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,
4P x x ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入
()0,1-得02x =±，则()()2,1,2
,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2
212
x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()22
12x y ++=．1
考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 18．【答案】 8 ．
【解析】解：∵抛物线y 2
=8x=2px ，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=x+ax2+blnx的导数f′（x）=1+2a+（x＞0），
由题意可得f（1）=1+a=0，f′（1）=1+2a+b=2，
得；
（2）证明：f（x）=x﹣x2+3lnx，g（x）=f（x）﹣2x+2=3lnx﹣x2﹣x+2（x＞0），g′（x）=﹣2x﹣1=﹣，
可得g（x）max=g（1）=﹣1﹣1+2=0，无最小值．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．
∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…
（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．
（Ⅱ）f′（x）=1﹣，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；
∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+sin2
ωx﹣
=ωx+（1﹣cos2ωx）﹣=2ωx﹣2ωx=sin（2ωx﹣），
依题意得函数f（x）的周期为π且ω＞0，
∴2ω=，
∴ω=1，则m=±1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣），∴，
∴．
又∵x∈[0，2π]，
∴．
∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和为．
【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．
23．【答案】
【解析】解 （1）原式==
==
=
==﹣1．
（2）∵tan （﹣α）=﹣tan α，sin （﹣α）=cos α，cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣sin α，
tan （π+α）=tan α，
∴原式=
+
=
+
=
=﹣
=﹣1．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
24．【答案】
【解析】（1）由a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4得 a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，解得﹣≤d ≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n }的通项公式为a n =13﹣3n 。

（2）∵b n ==
，
∴T n =b 1+b 2+…+b n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）
=。