30.知识讲解_函数与方程_提高

度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 y f x 的近似零点，计算终止.这时函数 y f x
的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② f (a) 、 f (b) 的值比较容易计算且 f (a) f (b) <0 ．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程
如果函数 y f (x) 在一个区间 a，b 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
f a f b 0 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 x0 a，b ，使 f x0 0 ，
这个 x0 也就是方程 f (x) 0 的根.
要点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一 个；若不单调，则个数不确定．
类型二、函数零点的存在性定理
例 2．函数 f (x) ln x 2 的零点所在的大致区间是（ x
A．（1，2）
B．（2，3）
1 C． (1, ) 和（3，4）
e
【答案】 B
） D．（e，+∞）
【解析】 从已知的区间（a，b）中，求 f (a) 和 f (b) ，判断是否有 f (a) f (b) 0 ．
f (x) g(x) 的根，可以构造函数 F (x) f (x) g(x) ，函数 F (x) 的零点即为方程 f (x) g(x) 的根．
【经典例题】 类型一、求函数的零点 例 1. 求下列函数的零点.
(1) f (x) x2 2x 3 ；
(2) f x x4 1；
（3） f (x) x3 4x ．
根则函数有零点． （3）利用数形结合法
函数 F(x) f (x) g(x) 的零点就是方程 f (x) g(x) 的实数根，也就是函数 y f (x) 的图象与
y g(x) 的图象交点的横坐标．
要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设 x1、x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则 x1、x2 的分布范围与一元二次方程的 系数之间的关系是：
b2 4ac 0
①
x1
0,
x2
0
x1
x2
b a
0
；
x1 x2
c a
0
b2 4ac 0
②
x1
0,
x2
0
x1
x2
b a
0
；
x1 x2
c a
0
③
x1
0
x2
c aBiblioteka 0；④x1=0，x2＞0
c=0，且
b a
0
；x1＜0，x2=0
c=0，且
b a
0
．
要点三：二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进
C．函数 f（x）是奇函数
D．函数 f（x）是偶函数
【答案】A
【变式 2】 根据表格中的数据，可以判定方程 ex x 2 0 的一个根所在的最小区间为
．
x
-
1
ex
0
.37
0
1
2
3
1
2
7
2
.72 .39 0.09
x2
12
3
4
5
【答案】 1, 2
【 解 析 】 令 f (x) ex x 2 ， 由 表 格 中 数 据 知
函数与方程 【学习目标】 (1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点； (2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联 系； (3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点 近似解的常用方法. 【要点梳理】 要点一：函数的零点 1.函数的零点
活运用函数零点的存在性定理来分析解决问题． 举一反三： 【高清课程：函数与方程 377543 例 3】 【变式 1】若函数 f (x) x3 3x 1 , x [1,1] ，则下列判断正确的是（ ）
A．方程 f（x）=0 在区间[0，1]内一定有解
B．方程 f（x）=0 在区间[0，1]内一定无解
而得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数 y f x 定义在区间 D 上，求它在 D 上的一个零点 x0 的近似值 x，使它满足给定的精确度.
第一步：在 D 内取一个闭区间a0 ,b0 D ，使 f a0 与 f b0 异号，即 f a0 f b0 0 ，零点位
于区间a0 , b0 中.
第二步：取区间 a0 , b0 的中点，则此中点对应的坐标为
x0
a0
1 2
b0
a0
1 2
a0
b0
.
计算 f x0 和 f a0 ，并判断：
①如果 f x0 0 ，则 x0 就是 f x 的零点，计算终止；
②如果 f a0 f x0 0 ，则零点位于区间a0 , x0 中，令 a1 a0 , b1 x0 ；
【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解 方程的题目可相互转化.
【变式 2】已知函数 f (x) loga x x b(a 0,且a 1) ，当 2 a 3 b 4 时，函数 f (x) 的零点
x0 (n, n 1), n N * ,则 n
函数的零点 两个零点 一个二重零点 无零点
（3）二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理
（1）一般地，如果函数 y f (x) 在实数 处的值等于零，即 f ( ) 0 ，则 a 叫做这个函数的零点.
要点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数 y f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标；
③函数 y f (x) 的零点就是方程 f (x) 0 的实数根．
∵ f (1) 2 0 ， f (2) ln 2 1 0 ，∴在（1，2）内 f (x) 无零点，A 错；
5
又 f (3) ln 3 2 0 ，∴ f (2) f (3) 0 ， 3
∴ f (x) 在（2，3）内有一个零点．
【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否
x3 6x x 6 x x2 1 6 x 1 x x 1 x 1 6 x 1 x 1 x2 x 6 x 1 x 2 x 3 0
由 x 1 x 2 x 3 0 知 x1 3, x2 1, x3 2.
所以函数 f (x) 6x2 7x 3 的零点为 1 , 3 ；函数 f (x) x3 7x 6 的零点为-3，1，2. 32
(3)令 f (x) 0 ，即 x3 4x 0 ，
x(x2 4) 0, 即 x x 2 x 2 0 ，得 x1 0, x2 2, x3 2, ，故函数的零点是-2，0，2．
【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求
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出方程的根，从而得到函数的零点. 举一反三：
满足 f (a) f (b) 0 ，还要看函数 f (x) 的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间， 即可得到答案．
利用函数零点的存在性定理判定函数的零点（或方程的实根）所在的大致区间，有时比用数形结合（即
作出两函数 y=ln x 与 y 2 的图象，再确定两图象交点的横坐标所在的大致区间）更简捷，因此要善于灵 x
要点诠释： 讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③
2
对称轴与区间的相对位置．当 k=0 时，也就是一元二次方程根的零分布． （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有
一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧． 设一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为 x1，x2，且 x1≤x2．
【变式 1】求函数：(1) f (x) 6x2 7x 3 ；(2) f (x) x3 7x 6 的零点.
【答案】（1） 1 , 3 ；（2）-3，1，2． 32
【解析】(1)
令
f (x) 6x2
7x 3 0 ，即 3x 12x 3 0 ，得 x1
1 3
,
x2
3 2
．
(2)方程 x3 7x 6 0 可化为
f (1) =0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7,39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0, 由 于
f (a) f (b) 0 ．
③若函数 f (x) 在区间a,b 上的图象不是连续不断的曲线， f (x) 在 a,b 内也可能是有零点，例如函 数 f (x) 1 1在2, 2 上就是这样的．
x
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程 f (x) 0 ，方程 f (x) 0 无实根则函数无零点，方程 f (x) 0 有实
归纳：方程 f (x) 0 有实数根 函数 y f (x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y f (x) 有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数 y ax2 bx c 的零点个数，方程 ax2 bx c 0 的实根个数见下表.
判别式
0 0 0
方程的根 两个不相等的实根 两个相等的实根 无实根
②若函数 f (x) 在区间 a,b 上有 f (a) f (b) 0 ， f (x) 在 (a,b) 内也可能有零点，例如 f (x) x2 在
1
1,1 上 ， f (x) x2 2x 3 在 区 间 2, 4 上 就 是 这 样 的 ． 故 f (x) 在 a,b 内 有 零 点 ， 不 一 定 有
0
①当
x1＜x2＜k
时，有
f
(k
)
0
；
b
k
2a
0
②当 k＜x1＜x2 时，有 f (k) 0 ；
b
k
2a
③当 x1＜k＜x2 时， f (k) 0 ；
0
f
(k1
)
0
④当
x1，x2∈（k1，k2）时，有
f
(k2
)
k1
0 b 2a
k2
；
⑤当 x1、x2 有且仅有一个在（k1，k2）时，有 f (k1) f (k2 ) 0 ．
③如果 f a0 f x0 0 ，则零点位于区间 x0 , b0 中，令 a1 x0 , b1 b0
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第三步：取区间 a1, b1 的中点，则此中点对应的坐标为
x1
a1
1 2
b1
a1
1 2
a1
b1
.
计算 f x1 和 f a1 ，并判断：
①如果 f x1 0 ，则 x1 就是 f x 的零点，计算终止；
②如果 f a1 f x1 0 ，则零点位于区间a1, x1 中，令 a2 a1, b2 x1 ；
③如果 f a1 f x1 0 ，则零点位于区间 x1, b1 中，令 a2 x1, b2 b1 ；
……
继续实施上述步骤，直到区间 an , bn ，函数的零点总位于区间 an , bn 上，当 an 和 bn 按照给定的精确
．
【答案】2
.
【解析】用数形结合法 loga x x b
作出 y log2 x 及 y log3 x 的图象，
作出 y x 3 及 y x 4 的图象
由图象可知，当 a在(2, 3) 内变动， b在(3, 4) 内变动时，显然对数函数图象与直线 y x b 的公共点
皆在区间 (2, 3) 内，即函数 f (x) 的零点 x0 (2, 3) ，故 n 2 ．
【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2． 【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.
(1) 由 f (x) (x 1)(x 3) ，令 f x 0 ，得 x1 1, x2 3 ，故函数零点是-3，1；
(2)由 f x x4 1 x2 1 x 1 x 1 ，令 f x 0 得 x=1，-1，故函数的零点是-1，1；