2020学年高中数学课时分层作业5数列(含解析)苏教版必修5(2021-2022学年)

课时分层作业(五) 数列
(建议用时：60分钟)
[基础达标练］
一、选择题
1．若数列{a n}满足aｎ＝2n，则数列{ａn}是( ）
Ａ.递增数列 B．递减数列
C．常数列D．摆动数列
A [ａn＋１-aｎ＝2n＋１－2n＝2n>0，∴a n+1＞a n,即｛ａn}是递增数列．]
2.数列－错误!未定义书签。

,３，－3错误!未定义书签。

，9,…的一个通项公式是（)
A.ａn＝(－１）n错误!未定义书签。

(n∈Ｎ＊)
B.ａn=(－1）n错误!(ｎ∈N*)
C.ａn＝(－1)n＋１错误!未定义书签。

（n∈N＊）
Ｄ.a n＝（-1）n+1错误!未定义书签。

（n∈N*）
Ｂ［把前四项统一形式为-错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

,－错误!未定义书签。

,＼r（81),可知它的一个通项公式为aｎ＝（-１）n错误!未定义书签。

.]
3.已知数列－1,错误!，-错误!未定义书签。

，…，(-1)ｎ错误!未定义书签。

，…，则它的第５项为（)
A.＼f(1,５)ﻩＢ.-错误!未定义书签。

C。

错误! D.-错误!未定义书签。

D［易知,数列的通项公式为a n=(-1)n·＼f(1,n2）,当n=5时,该项为（-1）5·＼f(１,52）=－1
.]
25
4.已知数列的通项公式为a n=错误!则a2a3等于( )
A．2０ﻩ B.28
C．0 Ｄ.１２
A [a2=２×2－2=2,a３=3×3＋1=10，∴a2a3＝２×１0=２0。

］
5.数列{ａn}中,a n=２n2-3,则12５是这个数列的第几项( )
A.４
B.8
Ｃ．7D．１2
Ｂ［令2ｎ2-3=1２5得n＝8或n=－8(舍）,故1２5是第8项.]
二、填空题
6．数列{a n｝的通项公式aｎ＝错误!未定义书签。

，则错误!未定义书签。

－３是此数列的第＿_____＿_项．
9[令错误!=错误!未定义书签。

-３，
即＼r（n+１)-错误!＝错误!－3,∴ｎ=9.]
7．已知数列｛a n｝，ａｎ=a n＋m（a<0,n∈N＊),满足a1＝2,a2＝4,则a3＝_＿___＿__。

2［错误!∴a2－a=2,
∴a＝2或－１，又a<０，∴a=－1。

又ａ＋m=2,∴m=3,∴aｎ=(-１)n+３，
∴a３＝(－1）3+3＝2.]
8.如图①是第七届国际数学教育大会（简称ICMＥ-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA１=A1A2=Ａ2A3＝…＝A7Ａ８＝１,如果把图②中的直角三角形继续作下去，记ＯA１,OA2,…，OA n，…的长度构成数列{a n｝，则此数列的通项公式为ａn＝___＿_＿_＿。

① ②
错误![因为OA1=1，OＡ2=错误!,OA3=错误!未定义书签。

,…,
OA n=错误!未定义书签。

，…,
所以a1=1,a2=错误!未定义书签。

,a3=错误!,…,a n＝错误!.]
三、解答题
９．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
（1）错误!,错误!未定义书签。

，错误!未定义书签。

,错误!,…；
（2）１,3,6，1０，15，…；
(3)7,７7，７77，….
[解] (1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4，即错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

,４11，错误!,…,于是它们的分母依次相差３，因而有a n ＝错误!未定义书签。

（2）注意６＝2×3,10＝2×5，15=3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即错误!未定义书签。

，错误!,错误!,错误!，错误!未定义书签。

，…,因而有a n =错误!.
（3）把各项除以７，得1，11,11１，…，再乘以9，得9,99,999,…，因而有ａn ＝错误!未定义书签。

(10n －1）.
10.在数列{ａn ｝中,ａ1＝２，a 17=66，通项公式是关于ｎ的一次函数.
(1）求数列{a n ｝的通项公式；
(２)求a 2 019；
（3)2 0１9是否为数列{ａn }中的项？
[解］ (１）设a ｎ＝ｋｎ+b (ｋ≠０),则有
错误!解得k =4,b ＝-2，∴a n =４n -2.
（2)a 2 019＝４×2 019-２＝8 074.
（3)由4n －２=2 0１９得n ＝５05.25∉N ＊
,
故2 019不是数列{a n ｝中的项．
[能力提升练］
1．已知数列｛a n ｝的通项公式ａn =log （n +1）(n ＋2)，则它的前3０项之积为( )
A ．错误! ﻩ
B ．5
C ．６ ﻩ
D 。

错误!
B [ａ1·ａ２·a 3·…·ａ3０＝ｌog 23×ｌｏg 3４×l ｏg 45×…×log 3１32=错误!未定义书签。

×错误!×…×错误!=错误!未定义书签。

＝lo ｇ２32=lo ｇ２２5=５.] ２．已知数列{a n }中,ａn =n ２－k ｎ(ｎ∈N *），且｛a n ｝单调递增，则k 的取值范围是（ )
A.（-∞,2] ﻩＢ.(－∞,3)
C ．（-∞,２)
Ｄ.(-∞，3] B [ａn ＋1-a n =(n +1)2－k (n +１)－n 2+kn =2ｎ+1－k ，又{a n ｝单调递增，故应有ａn +1-a n 〉0，即２ｎ+
１－k >0恒成立，分离变量得ｋ<２n ＋1，故只需k <3即可.]
ﻬ3.已知数列{a ｎ｝的通项公式ａｎ＝1９－2n ,则使ａn 〉0成立的最大正整数n 的值为_＿______. ９ [由a n ＝１9－2n 〉0,得n 〈错误!.
∵n ∈N *
，∴n ≤９。

]
4.根据图中的５个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图中有_____＿__个点．
ｎ2－n+１[观察图形可知，第ｎ个图有n个分支,每个分支上有(n-1)个点(不含中心点),再加中心上1个点,则有n(n-1)＋1=n２－n＋1个点.］
5．如果连续自然数数列ａ1,a2，…，a n，…满足lg2＋lg1＋＼ｆ(1,ａ１）＋lｇ错误!未定义书签。

+…＋ｌg错误!＝lｇｎ，那么这个数列最多有几项?并求数列的前n项和Sｎ.
[解]由已知得:
2·错误!·错误!未定义书签。

·…·错误!未定义书签。

＝ｎ,
即2·错误!·错误!·错误!·…·错误!=ｎ.
∵a1,a2，…，ａn，…为连续自然数，
∴上式可化简为2·错误!＝n，即2·错误!未定义书签。

＝n,
∴2n＋2a1=na1，即（ｎ-２)(a1-2）=４.
若要n最大，且n∈N＋，则只能有错误!
∴错误!
∴该数列最多有６项,首项为3，
∴S６＝3＋4+5＋６+7＋8=33。

ﻬ。