高一数学上学期11月月考试题含解析试题 2

卜人入州八九几市潮王学校宣化一中二零二零—二零二壹高一数学上学期11月月考
试题〔含解析〕
第一卷〔选择题〕
一、选择题
1.在不等式210x y +->表示的平面区域内的点是〔〕 A.(1,1)- B.(0,1)
C.(1,0)
D.(2,0)-
【答案】B 【解析】 试题分析：
()12110,02110,12010,22010+⨯--+⨯-+⨯-=-+⨯-<，∴可知点
0,1在不等式210x y +->表示的平面区域内．故B 正确．
考点：不等式表示平面区域．
2.设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c
，假设π
a 3,
b A 3
===，那么B =〔〕 A.
π5π66
或 B.
π
6
C.
5π6
D.2π3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据正弦定理求解即可得到所求结果．
【详解】由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，
∴
sin 12sin 32
b A
B a
=
==． 又b a <，
∴B 为锐角， ∴6
B π
=
．
应选B ．
【点睛】在两边和其中一边的对角解三角形时，需要进展解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边〔角〕对大角〔边〕〞进展求解，属于根底题． 3.等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，那么数列{}n a 前10项的和10S =〔〕
A.1022
B.1023
C.2046
D.2047
【答案】C 【解析】
设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2=6，a 4+a 5=48，∴a 1〔1+q 〕=6，3
1a q 〔1+q 〕=48，联立解得a 1=q=2．那
么数列{a n }前10项的和为S 10=
(
)1022121
--=2046，应选C ．
4.在
ABC 中，假设2a =，b =c =A 的度数为〔〕
． A.30 B.45︒
C.60︒
D.75︒
【答案】A 【解析】 【分析】
根据余弦定理可求得cos A ，进而得到
A 的度数.
【详解】由余弦定理得：
222cos 2b c a A bc +-===，
()0,180
A ∈，30A ∴=.
应选：A.
【点睛】此题考察余弦定理解三角形的知识，属于根底题.
5.在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设()222
22a c ac b +-=，那么sin B =
〔〕．
A.
14
B.
12
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等式可求得cos B ，根据同角三角函数关系可求得结果.
【详解】由()2
2
2
2
2a
c ac b
+-=得：()
2
22
2
a
c b
ac +-=，2221
cos 24
a c
b B a
c +-∴==，
()
0,B π∈，sin 0B ∴>，sin 4
B ∴==
应选：C
【点睛】此题考察余弦定理解三角形、同角三角函数值的求解的问题，属于根底题. 6.0m >，0n >，21m n +=，那么12
m n
+的最小值为〔〕
．
A.4
B.
C.8
D.16
【答案】C 【解析】 【分析】
根据
()12122m n m n m n ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，配凑出符合根本不等式的形式，利用根本不等式可求得最小值.
【详解】
()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭〔当且仅当4n m m n =
，即2n m =时取等号〕，
12
m n
∴
+的最小值为8. 应选：C.
【点睛】此题考察利用根本不等式求解和的最小值的问题，关键是可以灵敏利用“1〞，配凑出符合根本不等式形式的式子，属于常考题型. 7.在等比数列{}n a 中，182n a a +=，3281n a a -=，且前n 项和121n S =，那么此数列的项数n 等
于〔〕 A.4 B.5
C.6
D.7
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质得出181n a a =，结合182n a a +=，得出1a 和n a 的值，并设等比数列{}n a 的公比
为q ，由11211n n
a a q
S q
-=
=-，求出q 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出n 的值.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得：13281n n a a a a -==，
又182n
a a +=，1a ∴和n a 是方程282810x x -+=的两根，解方程得1x =或者81x =.
假设等比数列
{}n a 递增，那么11a =，81n a =，
121n S =，
118112111n a a q q
q q
--==--
解得3q =，18113n -∴=⨯，解得5n =； 假设等比数列
{}n a 递减，那么181a =，1n a =，
121n S =，
18112111n a a q q q q --==--，解得13q =，118113n -⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭
，解得5n =. 那么此数列的项数n 等于5 应选：B.
【点睛】此题考察等比数列项数的计算，涉及等比数列性质和等比数列前n 项和的计算，解题的关键就是求出等比数列的公比，考察运算求解才能，属于中等题.
8.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，那么目的函数23z x y =+的最大值是〔〕．
A.10
B.9
C.8
D.7
【答案】B 【解析】 【分析】
由约束条件可得可行域，将问题转化为
233
z
y x =-+在y 轴截距最大值的求解，通过直线平移可确定截
距取最大值的点，将点坐标代入目的函数可求得结果.
【详解】由约束条件可得可行域如以下列图阴影局部所示：
将目的函数化为233z y x =-+，那么z 最大时，233
z
y x =-+在y 轴截距最大，
平移
2
3
y x =-可知当直线过A 时，截距最大，
由25020
x y x y +-=⎧⎨--=⎩得：()3,1A ，max 23319z ∴=⨯+⨯=. 应选：B.
【点睛】此题考察线性规划中的最值问题的求解，关键是可以将问题转化为直线在y 轴截距最值的求解问
题，属于常考题型. 9.设等比数列
{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >，假设232S a >，那么q 的取值范围是〔〕
． A.
()
11,00,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B.()1,00,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C.11,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭
D.1,12⎛⎫-
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】 【分析】 根据2
32S a >和10a >可得到关于q 的不等式，结合0q ≠可解得结果.
【详解】由2
32S a >得：21112a a q a q +>，又10a >，2210q q ∴--<，解得：1
12
q -
<<. 又q 为等比数列公比，0q
∴≠，q ∴的取值范围为()1,00,12⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
.
应选：B.
【点睛】此题考察等比数列根本量的求解问题，易错点是忽略等比数列公比不能为零的问题，造成区间求解错误.
10.“珠算之父〞程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米〞问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，假设有先生能算法，也教算得到天明〞〔【注】三升九：3.9升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.〕用你所学的数学知识求得中间两节的容积为〔〕 A.1.9升 B.2.1升
C.2.2升
D.2.3升
【答案】B 【解析】 【分析】
设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，根据题意得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，即可计算出中间两节盛米的容积4
5a a +升.
【详解】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米， 设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，
由题意得31951132
3 3.9
2
{9854
(9)(5)3
22
S a d S S a d a d ⨯=+=⨯⨯-=+-+=，解得1 1.4,0.1a d ==-，
所以，中间两节盛米的容积为45111(3)(4)27 2.80.7 2.1a a a d a d a d +=+++=+=-=〔升〕，
应选：B.
【点睛】此题考察等差数列的应用，解题的关键就是将问题转化为等差数列的问题，并建立首项和公差的方程组求解，考察方程思想的应用，属于中等题. 11.以下函数中，最小值为2的函数是
A.
y =
B.21
x y x
+=
C.
)(0y x x x =<<
D.
2y =
【答案】D 【解析】
令2t
=≥，所以
1y t t =+
，那么21'10y t =->，所以函数1
y t t
=+当2t =时取到最小值
5
2
，不符合； 21
x y x
+=
的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，21'1y x =-．当10x -≤
<或者01x <≤时，'0y ≤，
此时21x y x +=单调递减；当1x >或者1x <-时，'0y >，此时21
x y x +=单调递增．所以
21
x y x
+=在定义域上没有最小值，不符合；
22)(2y x x x x ==-+=--+
，因为0x <<
，所以当x =
时，函数)y x x =取到最大值2，不符合；
2
y =
=1t =≥，所以
1y t t =+
，那么21
'10y t
=-≥，所以函数
1
y t t
=+
当1t =时取到最小值2，符合，应选D ． 12.111112233499100++++=⨯⨯⨯⨯〔〕
． A.99100- B.99100 C.10099
-
D.
100
99
【答案】B 【解析】 【分析】
采用裂项相消法可直接求得结果. 【详解】原式1111111199
112233499100100100
=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-=
. 应选：B.
【点睛】此题考察裂项相消法求和的问题，属于根底题. 二、填空题 13.写出数列12-
，43
，94-，165，…的一个通项公式______．
【答案】()2
11
n
n n -⋅+
【解析】 【分析】
根据分子和分母的数字特征，以及摆动数列的特点可总结得到通项公式. 【详解】分子为1,4,9,16,⋅⋅⋅，即2
22221
,2,3,4,,n ⋅⋅⋅.
分母为2,3,4,5,⋅⋅⋅，即11,21,31,41,,1n ++++⋅⋅⋅+.
又数列为摆动数列，首项为负，可得一个通项公式为：()2
11
n
n n -⋅+.
故答案为：()2
11
n
n n -⋅+.
【点睛】此题考察根据数列的项写出通项公式的问题，关键是可以准确观察出数列中的项的各个构成局部的变化规律. 14.2x >，那么4
2
x x +-的最小值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】 将所求代数式变形为()44
2222
x x x x +
=-++--，然后利用根本不等式可求出所求代数式的最小值. 【详解】442242622x x x x +
=-++≥+=--，当且仅当42,42
x x x -==-时等号成立. 故答案为：6.
【点晴】此题考察根本不等式求和的最小值，根本不等式需要满足一正、二定、三相等，也就是说，利用根本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号可以成立.为了确保每个数是正数，根据题意2x >，先减2再加上2，也就配成立根本不等式的形式，利用根本不等式求出最小值后，要验证等号是否成立. 15.假设0a
>，0b >，321a b +=，那么ab 的最大值是______.
【答案】
124
【解析】 【分析】
利用根本不等式的性质即可得出. 【详解】0a
>，0b >，321a b +=，
∴132a b =+≥1
6a =
，14
b =时取等号， ∴1
24
ab ≤
， ∴ab 的最大值是
124
， 故答案为
124
. 【点睛】此题考察根本不等式求最值，解题时要注意根本不等式求最值的条件：一正二定三相等．
16.ABC ∆中，假设4sin 2cos 4A B +=，
1sin cos 2B A +=
C ∠=______． 【答案】
6
π
【解析】 【分析】
将
1sin cos 22
B A +=化为
4cos 2sin A B +=，两等式平方作和可求得sin C ，得到
6
C π
=
或者
56π
；当56
C π=时，可验证出等式不成立，故6C π=.
【详解】由
1sin cos 22
B A +=
得：4cos 2sin A B +=.
将4cos 2sin A B +=4sin 2cos 4A B +=分别平方作和得：
222216cos 16cos sin 4sin 16sin 16sin cos 4cos A A B B A A B B
+++++()()2016cos sin sin cos 2016sin 28A B A B A B =++=++=，()1
sin 2
A B ∴+=
又
A B C π++=()1sin sin 2
C A B ∴=+=
6C π∴=或者56π
当56
C π
=
时，
6
A B π
+=
，2cos 2B <<，04sin 2A <<，
4sin 2cos 4A B ∴+<，不合题意，6
C π
∴=
.
故答案为：
6
π.
【点睛】此题考察利用三角恒等变换知识求解角的问题，易错点是根据正弦值求角时，忽略条件的限制，造成增根的出现. 三、解答题 17.在等差数列
{}n a 中，12321a a a ++=，123231a a a =．
〔1〕求该数列中2a 的值； 〔2〕求该数列的通项公式n a ． 【答案】〔1〕27a =；〔2〕41n a n =-或者415n a n =-+.
【解析】 【分析】
〔1〕根据等差数列下标和性质可得12323a a a a ++=，进而求得结果；
〔2〕设公差为d ，那么()()123222a a a a d a a d =-+，构造出方程求得d ，由等差数列通项公式可
求得结果.
【详解】〔1〕由等差数列性质得：1232321a a a a ++==，27a =∴；
〔2〕设等差数列公差为d ，
()()()()()2123222777749231a a a a d a a d d d d ∴=-+=-+=-=，
解得：4d
=±，()22n a a n d ∴=+-，即41n a n =-或者415n a n =-+
【点睛】此题考察等差数列中的项、通项公式的求解问题，涉及到等差数列下标和性质的应用；属于等差数列局部根底知识的应用问题. 18.ABC ∆的内角
,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin 2sin sin B A C =．
〔1〕假设ABC ∆为等腰三角形，求顶角C 的余弦值；
〔2〕假设ABC ∆是以B 为直角顶点的三角形，且||BC =，求ABC ∆的面积．
【答案】〔1〕
7
8
；〔2〕1.
【解析】
试题分析:〔1〕由正弦定理将角转化为边的关系：2
2b ac =，
再由等腰三角形条件得a b =，解得2b c =，2a c =，最后根据余弦定理求顶角C 的余弦值；〔2〕由正弦定理将角转化为边的关系：22b ac =，再
由直角三角形条件得2
22a c b +=，解得c a ==.
试题解析:〔1〕由题设及正弦定理得：22b ac =，
又a
b =，可得2b
c =，2a c =，
由余弦定理可得：222728
a b c cosC ab +-==.
〔2〕由〔1〕知，22b ac =，
∵90
B =，∴222a c b +=，
∴2
22a c ac +=，得c a ==，
所以ABC ∆的面积为1. 19.关于x 的不等式()2
220ax
a x -++<．
()1当1a =-时，解不等式； ()2当a R ∈时，解不等式．
【答案】〔1〕{x |x ＜﹣2或者x ＞1}；〔2〕见解析 【解析】 【分析】
〔1〕a ＝﹣1时，不等式化为﹣x 2
﹣x +2＜0，求解即可；
〔2〕不等式化为〔ax ﹣2〕〔x ﹣1〕＜0，讨论a ＝0、a ＞0和a ＜0时，求出对应的解集． 【详解】〔1〕当a ＝﹣1时，此不等式为﹣x 2
﹣x +2＜0， 可化为x 2
+x ﹣2＞0，
化简得〔x +2〕〔x ﹣1〕＞0， 解得即{x |x ＜﹣2或者x ＞1}；
〔2〕不等式ax 2
﹣〔a +2〕x +2＜0化为〔ax ﹣2〕〔x ﹣1〕＜0， 当a ＝0时，x ＞1；
当a ＞0时，不等式化为〔x 2
a
-
〕〔x ﹣1〕＜0， 假设2a ＜1，即a ＞2，解不等式得2
a ＜x ＜1；
假设2
a =1，即a ＝2，解不等式得x ∈∅；
假设2a ＞1，即0＜a ＜2，解不等式得1＜x 2a
＜；
当a ＜0时，不等式〔x 2a -〕〔x ﹣1〕＞0，解得x 2
a
＜
或者x ＞1；
综上所述：当a ＝0，不等式的解集为{x |x ＞1}； 当a ＜0时，不等式的解集为{x |x 2
a
＜
或者x ＞1}；
当0＜a ＜2时，不等式的解集为{x |1＜x 2a
＜}；
当a ＝2时，不等式的解集为∅； 当a ＞2时，不等式的解集为{x |
2
a
＜x ＜1}． 【点睛】此题考察了含参数的不等式的解法与应用问题，也考察了分类讨论思想，解题时应对参数进展讨论，是综合性题目． 20.数列
{}n a 中，11a =，前n 项和2
3
n n n S a +=
． 〔1〕求2a ，3a ，及
{}n a 的通项公式；
〔2〕求1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ，并证明：12n T ≤<． 【答案】〔1〕2
3a =，36a =，()12
n n n a +=
；〔2〕2
21n T n =-+；证明详见解析.
【解析】
【分析】
〔1〕分别代入2n =和3n =可求得23,a a ；利用2n ≥时，1n n n a S S -=-，采用累乘法可求得n a ，
验证1n =时，满足所求的通项公式，从而得到结果；
〔2〕由〔1〕得
1
n
a ，采用裂项相消法求得n T ，根据
{}n T 为单调递增数列可确定1n T T ≥，由
2
01
n >+可求得2n
T <，从而证得结论.
【详解】〔1〕当2n =时，212224
13
S a a a a =+=+=，23a ∴=，
当3n =时，323335
43
S S a a a =+=+=，36a ∴=，
当2n ≥时，112133n
n n n n n n a S S a a --++=-=
-，即
1
11n n a n a n -+=-， 122n n a n
a n --∴
=-，2313n n a n a n ---=-，…，2131
a a =， ()1111312312n n n a n n n a n n n ++-∴
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又11a =，()12
n n n a +∴=. 当1n =时，1
1a =满足()12
n n n a +=
，()()*12n n n a n N +∴=∈； 〔2〕由〔1〕知：
()121
1211n a n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++⎝⎭
， 111111221212223111n T n n n n ⎛⎫⎛
⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭
， {}n T ∴为单调递增的数列，11n T T ∴≥=，又
2
01
n >+，2n T ∴<，12n T ∴≤<. 【点睛】此题考察数列中的项和通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，涉及到n a 与n S 关系的应用、累乘法求解数列的通项公式等知识，属于常考题型. 21.在ABC ∆中，内角
A ，
B ，
C 的对边长分别为a ，b ，c ，222a c b -=，且
sin cos 3cos sin A C A C =．
〔1〕求b ；
〔2〕假设6a =，求ABC ∆的面积．
【答案】〔1〕4；〔2〕
【解析】 【分析】
〔1〕由正弦定理和余弦定理进展角化边可得到22222a c b -=，结合等式可构造关于b 的方程，解方程
求得结果；
〔2〕利用等式求得c ，利用余弦定理求得cos C ，进而得到sin C ，由三角形面积公式可求得结果.
【详解】〔1〕由正弦定理和余弦定理可得：222222322a b c b c a a c ab bc
+-+-⋅=⋅
，
22222a c b ∴-=，又222a c b -=，24b b ∴=，解得：4b =；
〔2〕
6a =，4b =，2368c ∴-=，解得：c =
2223616281cos 22642a b c C ab +-+-∴===⨯⨯，()0,C π∈，sin 2C ∴=
，
11
sin 6422ABC S ab C ∆∴=
=⨯⨯= 【点睛】此题考察解三角形知识的应用，涉及到利用正弦定理和余弦定理进展边角关系的互化、三角形面积公式的应用等知识，关键是可以通过角化边得到关于边之间的等量关系，进而构造方程求得边长. 22.在等比数列
{}n a 中，214a =
，361
512
a a ⋅=．设221
22log 2log 2n n n a a b +=⋅，n T 为数列{}n b 的前
n 项和．
〔1〕求n a 和n T ；
〔2〕假设对任意的n *∈N ，不等式()
21n
n
T n λ<--恒成立，务实数λ的取值范围．
【答案】〔1〕12n
n a ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，21
n
n
T n =
+；〔2〕(),0-∞. 【解析】
【分析】
〔1〕设等比数列公比为q ，由2536
2a a a q ⋅=可构造方程求得q ，由等比数列通项公式求得n a ；整理可
得()()
1
2121n b n n =
-+，采用裂项相消法可求得n T ；
〔2〕分别在n 为偶数和n 为奇数两种情况下，采用别离变量的方法，将问题转化为λ与不等式右侧关于n 的式子的最值的比较，通过求解最小值可得到λ的取值范围. 【详解】〔1〕设等比数列
{}n a 公比为q ，42553622211
16512
a a a q a q a q q ∴⋅=⋅==
=
， 5132q ∴=，解得：12q =，2
22111422n n
n n a a q --⎛⎫
⎛⎫
∴==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
. 11111111112335212122121
n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪
-+++⎝⎭⎝⎭； 〔2〕①当n 为偶数时，2n T n λ<-，即()()22122
23n n n n n T n n
λ-+-<
==--， 2
23n n
--随n 增大而增大，2n ∴=时，min 2230n n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，0λ∴<；
②当n 为奇数时，2n T n λ<+，即()()2212225n n n n n T n n
λ+++<
==+
+ 22559n n +
+≥=〔当且仅当22n n =，即1n =时取等号〕
，9λ∴<. 综上所述：实数λ的取值范围为
(),0-∞.
【点睛】此题考察等比数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n 项和，数列中的恒成立问题的求解等知识，求解恒成立问题的关键是可以通过别离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的大小关系的问题.。