广东省广州市越秀区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题(word版 含答案)

广东省广州市越秀区2020-2021学年八年级下学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A B C D
2( ) A ．5x ≥-
B ．5x ≤-
C ．5x <-
D ．5x >-
3．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使四边形ABCD 是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A ．AD =BC
B ．AB =CD
C ．A
D ∥BC D ．∠A =∠C
4．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．12
y x =-
B ．y =－2x －2
C ．y =2（x －2）
D ．2y x
=
5．已知直线 y=-3x+4 过点 A （-1，y 1）和点（-3，y 2），则 y 1 和 y 2 的大小关系是（ ） A ．y 1>y 2
B ．y 1<y 2
C ．y 1=y 2
D ．不能确定
6．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A ．三内角之比为1：2：3 B ．三内角之比为3：4：5 C ．三边之比为3：4：5 D ．三边之比为5：12：13
7．下列运算正确的是（ ）
A ．2a a a +=
B ．23622a a a ⋅=
C 3=
D ．(
)
2
326ab
a b -=
8
x 的取值范围为（ ） A ．
1
32x ≤≤ B ．
1
32
x <≤ C ．
1
32
x ≤< D ．
1
32
x <<
9．如图，在22⨯的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为（ ）
A
B
C
D ．
32
10．已知直线1l ：y kx b =+与直线2l ：1y x m 2=-
+都经过68C ,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，直线1l 交y 轴于点()B 0,4，交x 轴于点A ，直线2l 交y 轴于点D ，P 为y 轴上任意一点，连接PA 、
PC ，有以下说法：①方程组y kx b 1
y x m 2=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解为6x 5
8y 5⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
；②BCD 为直角三角形；③ABD
S
3=；④当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()0,1.其中正确的说法个数有
( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题 11
．计算：_______ 12．若点(),3P a 在第二象限，且到原点的距离是5，则a =________． 13．函数2y x =的图像与6y kx =-如图所示，则k=__________．
14．如图，为测量池塘边上两点A ，B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，取OA ，OB 的中点D ，E ，测出DE=12米，那么A ，B 间的距离是（_____）
15．一次函数13y ax =+与21y kx =-的图象如图所示，则不等式31ax kx +>-的解集是_________________．
16．如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是___米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是____秒．
三、解答题 17．计算：
（1
（2）(33+-18．已知一次函数y kx b =+，它的图像经过(1
)3-，，(46)，两点． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若点(3)a ，
在这个函数图像上，求a 的值． 19．如图所示，已知AD 是ABC 的中线，DE ∥AB ，且DE =AB ，连结AE ，EC ．求证：四边形ADCE 是平行四边形．
20．已知x y ．试求代数式
x y
y x
+的值． 21．八年级1班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE ，测得如下数据：
①测得BD 的长度为8米：(注：BD ⊥CE)
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． （1）求风筝的高度CE ．
（2）若松松同学想风筝沿CD 方向下降9米，则他应该往回收线多少米?
22．如图，已知直线y=1
2
x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知点C是线段AB上的一点，当S△AOC= 1
2
S△AOB时，求直线OC的解析式．
23．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动.设运动的时间为t（秒）
（1）若四边形ABQP为平行四边形,求运动时间t．
（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？
25．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
参考答案
1．C
【分析】
根据最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式，由此判断各选项可得出答案．
【详解】
解：A
B
C不是最简二次根式，符合题意；
D是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查最简二次根式的知识，属于基础题，注意掌握二次根式的满足的两个条件．2．A
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得：x+5≥0，再解即可．
【详解】
由题意得：x+5≥0，
解得：x≥-5，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．3．A
【分析】
根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】
解：A、当AB∥CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD 为平行四边形；
B、AB∥CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；
C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．4．A
【分析】
分别根据正比例函数及一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、该函数是正比例函数，故本选项正确．
B、该函数是一次函数，故本选项错误．
C、该函数是一次函数，故本选项错误．
D、该函数不是正比例函数，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解答此题的关键．
5．B
【分析】
y是x的一次函数，且-3＜0，y随x的增大而减小，据此判断即可．
【详解】
∵y是x的一次函数，且-3＜0，y随x的增大而减小，且-1＞-3
∴y1＜y2
故选：B
【点睛】
本题考查的是一次函数增减性，掌握一次函数的性质是关键． 6．B 【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】
解：A ． 若三内角之比为1：2：3，则最大的内角为180°×3
123
++=90°，是直角三角形，
故本选项不符合题意；
B ． 三内角之比为3：4：5，则最大的内角为180°×5
345
++=75°，不是直角三角形，故本
选项符合题意；
C ． 三边之比为3：4：5，设这三条边为3x 、4x 、5x ，因为（3x ）2+（4x ）2=（5x ）2，所以能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D ． 三边之比为5：12：13，设这三条边为5x 、12x 、13x ，因为（5x ）2+（12x ）2=（13x ）
2
，所以能够成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选B ． 【点睛】
此题考查的是直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理是解决此题的关键． 7．D 【分析】
根据整式的运算法则和二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】
解：A 、原式=2a ，故A 错误； B 、原式=2a 5，故B 错误；
C 、原式，故C 错误；
D 、()
2
3
26ab a b -=，故D 正确；
故选：D ． 【点睛】
本题考查学生计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 8．C 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】
则2x -1≥0且3-x ＞0， 解得：
1
32
x ≤<， 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 9．C 【分析】
先用间接法求出△ABC 的面积，然后求出AC 的长度，根据面积公式即可求出AC 边上的高. 【详解】
解：根据题意，得：
1113
2211212422222
ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=--=，
∵AC == 又1
2
ABC S AC h ∆=
•，
∴AC 边上的高：
3
22
5ABC
S h AC
∆⨯
=
==；
故选：C. 【点睛】
本题考查了勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出AC 的长度，以及间接法
求出△ABC 的面积.
10．D
【分析】
根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为1-，可知两直线互相平行；求得BD 和AO 的长，根据三角形面积计算公式，即可得到ABD 的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()0,1．
【详解】 解：直线1l ：y kx b =+与直线2l ：1y x m 2=-+都经过68C ,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴方程组12y kx b y x m =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解为6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故①正确；
把()B 0,4，68C ,55⎛⎫- ⎪⎝
⎭代入直线1l ：y kx b =+，可得 48655b k b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得{
k 2b 4==， ∴直线1l ：y 2x 4=+， 又直线2l ：1y x m 2
=-+， ∴直线1l 与直线2l 互相垂直，即BCD 90∠=，
BCD ∴为直角三角形，
故②正确； 把68C ,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
代入直线2l ：1y x m 2=-+，可得m 1=， 1y x 12
=-+中，令x 0=，则y 1=， ()D 0,1∴，
BD 413∴=-=，
在直线1l ：y 2x 4=+中，令y 0=，则x 2=-，
()A 2,0∴-，
AO 2∴=，
ABD 1S 3232
∴=⨯⨯=， 故③正确；
点A 关于y 轴对称的点为
， 设过点C ，的直线为y ax n =+，则
028655a n a n =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得121a n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 1y x 12
∴=-+， 令x 0=，则y 1=，
∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()0,1，
故④正确．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11
．-【分析】
先化简式子中的二次根式，再合并同类二次根式即可．
解：原式
=-
故答案为：-
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算，在二次根式的运算题中关键是要先化简二次根式，再合并同类二次根式，掌握以上要点是解题的关键．
12．-4
【分析】
根据点(),3P a 到原点的距离是5，即可列出关于a 的方程，求出a 值，再根据(),3P a 在第二象限，a ＜0，取符合题意的a 值即可．
【详解】
∵点(),3P a 到原点的距离是5
∴22235a +=
解得a=±
4 又∵(),3P a 在第二象限
∴a ＜0
∴a=-4
故答案为：-4
【点睛】
本题考查了坐标到原点的距离求法，以及直角坐标系中不同象限内点的坐标特点． 13．1
【分析】
首先根据一次函数y=2x 与y=6-kx 图象的交点纵坐标为4，代入一次函数y=2x 求得交点坐标为（2，4），然后代入y=6-kx 求得k 值即可．
∵一次函数y=2x 与y=6-kx 图象的交点纵坐标为2，
∴4=2x ，
解得：x=2，
∴交点坐标为（2，4），
代入y=6-kx ，6-2k=4，解得k=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了两条直线平行或相交问题，解题的关键是交点坐标适合y=2x 与y=6-kx 两个解析式．
14．24米
【分析】
利用三角形中位线定理可得到AB=2DE ，可求得答案．
【详解】
∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，
∴DE 为△OAB 的中位线，
∴AB=2DE=24米，
故答案为24米
【点睛】
本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
15．x<1.
【分析】
根据函数图象解答即可.
【详解】
由图象知：一次函数13y ax =+与21y kx =-的图象交于点（1，2），
∴31ax kx +>-即12y y >时x<1，
故答案为：x<1.
【点睛】
此题考查一次函数的图象，一次函数图象交点与不等式的解集的关系，正确理解不等式与一次函数的关系是解题的关键.
16．80 12
【分析】
作AD ON ⊥于D ，求出AD 的长即可解决问题，如图以A 为圆心50m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，求出BC 的长，利用时间=
路程速度
计算即可． 【详解】
解：作AD ON ⊥于D ， 30MON ∠=︒，160AO =m ，
1802
AD OA ∴==m ， 即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离80m ．
如图以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，
AD BC ⊥，
12
BD CD BC ∴==，
在Rt △ABD 中，60BD ==m ，
120BC ∴=m ，
重型运输卡车的速度为36千米/时10=米/秒，
∴重型运输卡车经过BC 的时间1201012=÷=（秒)，
故卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅
助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（1）2
；（2）2- 【分析】
（1）先化简二次根式，然后再进行加减运算即可；
（2）先利用平方差公式和二次根式的除法进行计算，最后算减法即可.
【详解】
（1-==
（2）(339832+-=--=-
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式和二次根式的运算法则是解题的关键. 18．(1) 36y x =-;(2)3a =.
【分析】
(1) 利用待定系数法容易求出一次函数的解析式； (2) 将点(3)a ，
代入一次函数解析式，容易求出a 的值． 【详解】
解:(1).将(1
)3-，，(46)，两点分别代入一次函数y kx b =+可得： 346k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得36k b =⎧⎨=-⎩
. 36y x ∴=-.
(2). 将点(3)a ，
代入一次函数解析式. 363a -=,
故3a =.
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，以及利用一次函数解析式求点的坐标，灵活掌握待定系数法列方程以及解方程是解题关键.
19．见解析
【分析】
证明四边形ABDE 是平行四边形，得出AE =BD ，AE ∥BC ，由已知得出BD =CD ，得出AE =CD ，
即可得出四边形ADCE 是平行四边形．
【详解】
解：证明：∵DE ∥AB ，且DE =AB ，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
∴AE =BD ，AE ∥BC ，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD =CD ，
∴AE =CD ，
∴四边形ADCE 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质；证明四边形ABDE 是平行四边形得出AE =BD 是解决问题的关键．
20．14
【分析】
先计算出x y +、xy 的值，再代入原式222()2x y x y xy xy xy
++-==计算可得． 【详解】
解：2x =+2y =
224x y ∴+=-=，(2(21xy =⨯=， 则原式22
x y xy
+= 2()2x y xy xy
+-= 24211
-⨯= 14=．
【点睛】
本题主要考查分母有理化与分式的加减运算，解题的关键是掌握分式加减运算法则、完全平方公式与平方差公式及二次根式的运算法则．
21．（1）风筝的高度CE 为16.6米；（2）往回收线7米．
【分析】
（1）在Rt BDC ∆中应用勾股定理求得CD ，然后利用CE=CD+1.6求解即可；
（2）根据题意得到示意图，且根据第（1）问求得DF ，然后在Rt BDF ∆中使用勾股定理即可求得BF ，最终利用BC-BF 即可求解．
【详解】
（1）在Rt BDC ∆中，根据勾股定理得：
15CD ==（米）
∴CE=CD+1.6=15+1.6=16.6（米）
∴CE=16.6（米）
（2）根据题意得到下图：
∵CD=15
∴FD=CD-9=15-9=6（米）
∴在Rt BDF ∆中，由勾股定理得：10BF =
==
∴BC-BF=17-10=7（米）
∴应该往回收线7m ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，其中第（2）问一定要注意收线时，人的位置不动，要和梯子滑落问题做好区分．
22．（1）点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)；（2）y=-1
2
x
【分析】
（1）分别令y=0, x=0, 代入一次函数式，即可求出A、B点的坐标；
（2）先由OA和OB的长求出△AOB的面积，设C点坐标为（m,n），△AOC和△AOB等
底不同高，由S△AOC= 1
2
S△AOB列式，求出C点的纵坐标n，把n代入一次函数式求出
m, 从而得出C点坐标，设直线OC的解析式为y=kx ，根据C点坐标用待定系数法求出k, 即可确定直线OC的函数解析式.
【详解】
（1）解：∵直线y= 1
2
x+2，
∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4
∵直线y= 1
2
x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)
（2）解：由(1)知，点A的坐标为(-4，0)，点B的坐标为(0，2)，∴OA=4，OB=2，
∴S△AOB= 42
2
⨯
=4
S△AOC= 1
2
S△AOB，
∴S△AOC=2
设点C的坐标为(m，n)
∴4
2
n
⨯
=2，得n=1，
∵点C在线段AB上，
∴1= 1
2
m+2，得m=-2
∴点C的坐标为(-2，1)
设直线OC的解析式为y=kx
-2k=1，得k=- 1
2
，
即直线OC的函数解析式为y=-1
2
x
【点睛】
此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及三角形的面积公式.
23．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2）
6
【分析】
（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，
x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（）2，解得
推出BG=BN÷cos30°即可解决问题.
【详解】
解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x ，x ，
在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，
∴1=x 2+（）2，
解得
∴
∴BG=BN÷cos30°．
【点睛】
本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质． 24．（1）t ＝2；（2）74t =或83
t = 【详解】
解：（1）∵四边形ABQP 为平行四边形,
∴AP =BQ ,
又102,AP AD PD t =-=- 8,BQ BC CQ t =-=-
1028,t t ∴-=-
2.t ∴=
（2）①如图，过P 作PE BC ⊥于,E 则,,PD CE CD PE ==
2,,DP t CQ t ==
,EQ t ∴=
2226,PQ t ∴=+
当BP 为底边时，QB =QP ，
有：222(8)6t t -=+ ，
解得 7.4
t = ②BQ 为底边时，有PB =PQ ，又,PE BQ ⊥
,EB EQ ∴=
82t t ∴-=，
解得 83
t =
， 综上，74t =或83t =时，符合题意. 【点睛】
本题主要考查四边形综合题，注意梯形的性质、平行四边形的性质及勾股定理得应用．在解（2）时，分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
25．（1）AH =AB ；（2）成立，理由见解析；（3）6
【分析】
（1）先证明ABM ADN ∆≅∆，可得AM AN =，BAM DAN ∠=∠，再证明
ABM AHM ∆≅∆即可；
（2）延长CB 至E ，使BE DN =，证明AEM ANM ∆≅∆，能得到AH AB =； （3）分别沿AM 、AN 翻折AMH ∆和ANH ∆，得到ABM ∆和AND ∆，然后分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCE ，设AH x =，则2MC x =-，3NC x =-，
在Rt MCN △中，由勾股定理，解得x ．
【详解】
解：（1）如图①，AH AB =．理由如下：
四边形ABCD 是正方形，
90B BAD D ∴∠=∠=∠=︒，AB AD =，
在ABM ∆和ADN ∆中，
AB AD B D BM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABM ADN SAS ∴∆≅∆，
AM AN ∴=，BAM DAN ∠=∠，
AMN ∴∆是等腰三角形，
又AH MN ⊥，
90AHM ∴∠=︒，HAM HAN ∠=∠，
45MAN ∠=︒，
14522.52
HAM ∴∠=⨯︒=︒，45BAM DAN ∠+∠=︒， 22.5BAM HAM ∴∠=︒=∠，
在ABM ∆和AHM ∆中，
90BAM HAM B AHM AM AM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()ABM AHM AAS ∴∆≅∆，
AH AB ∴=；
故答案为：AH AB =；
（2）数量关系成立．如图②，延长CB 至E ，使BE DN =．
∵四边形ABCD 是正方形，
AB AD ∴=，90D ABE ∠=∠=︒，
在Rt AEB 和Rt AND 中，
AB AD ABE ADN BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴Rt AEB ≌Rt AND （SAS ），
AE AN ∴=，EAB NAD ∠=∠，
45DAN BAM ∠+∠=︒，
45EAB BAM ∴∠+∠=︒，
90EAN ∴∠=︒，
45EAM NAM ∴∠=∠=︒，
在AEM ∆和ANM ∆中，
AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AEM ANM SAS ∴∆≅∆．
AEM ANM S S ∆∆∴=，EM MN =， AB 、AH 是AEM ∆和ANM ∆对应边上的高，
AB AH ∴=．
（3）如图③分别沿AM 、AN 翻折AMH ∆和ANH ∆，得到ABM ∆和AND ∆， 2BM ∴=，3DN =，90B D BAD ∠=∠=∠=︒．
分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，
由（2）可知，AH AB BC CD AD ====．
设AH x =，则2MC x =-，3NC x =-，
在Rt MCN △中，由勾股定理，得222MN MC NC =+，
2225(2)(3)x x ∴=-+-，
解得16x =，21x =-．（不符合题意，舍去），
6AH ∴=．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键．。