高中数学优质课件精选人教版必修五第二课数列模块复习课2

类型三 数列求和
【典例3】(1)数列{an}中，an=
1 ， Sn=9，则
n=____.
n n 1
(2)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数 列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根. ①求{an}的通项公式. ②求数列{ }的前n项和.
an 2n
【解析】(1)an= 1 n 1 n， n 1 n
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
= (n≥2). n(3n 1)
当n=21时， ×(3×1+1)=2=a1，a1符合公式， 1
所以an= 2 3 n2 n. 22
【延伸探究】典例1(1)中的条件“Sn=2n-1”改为 “Sn=3n2-2n+1”，结果如何？ 【解析】当n=1时，a1=S1=3×12-2×1+1=2； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5， 显然当n=1时，不满足上式. 故数列的通项公式为an=
2，n 1， 6n 5，n 2.
【方法技巧】数列通项公式的求法
(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求
通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型
的题目.
(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，
求数列{an}的通项an可用公式an=
求解.
SS1n，nSn11，，n 2
①当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数
列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.
②当d=a1时， =a1+(2n-1)d=2nd，
因为a1>0，所a2以n d>0，所以bn=
显然bn≠0.
所以
1 (1n≥1)，
1 1 1， a2n d 2n
bn1 d 2n1 1 bn 1 1 2
a1 (1
qn
)
a1 anq
___1__q___ ____1__q___，q 1.
(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的
等比中项，且有G2=___或G=_____. ab ab
(4)等比数列的性质：
①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则____________； ②在等比数列{an}中，Sk，S2k-Sk，Sa3mk·-Sa2kn，=a…p·成aq等比 数列.(q≠-1)
第二课 数列
【网络体系】
【核心速填】 1.数列的通项与前n项和的关系 (1)Sn=a1+a2+…+an. (2)an= _S_1_，n 1，
_S_n___S_n_1_，n 2.
2.等差数列
(1)通项公式：an=a1+_(_n_-_1_)_d_， an=am+_______.
(n-m)d (2)前n项和公式：Sn=_n_(_a1_2__an_)_=_n_a_1 __n_(n_2_1_)_d_.
①定义式：_a_n+_1_-_a_n=d(d为常数)； ②等差中项：an+an+2=_2_a_n_+1_； ③通项公式：an=dn+b； ④前n项和：Sn=an2+bn.
3.等比数列
(1)通项公式：an=_a_1q_n_-_1 ，an=_a_mq_n_-_m . (2)前n项和公式：
Sn= _n_a_1，q 1，
1 2
②设数列{ a}n 的前n项和为Sn，
由①知 an
则Sn=
2n 3
22
2n
n 2， 2n1
4 5 23 24
n 2n
1
n2 2n1
，
两12 S式n 相233减 得244 ： 255
n 1 2n1
n 2， 2n2
1 2
Sn
3 4
(
1 23
1 24
1 2n1
)
n2 2n2
所 34以S14n(=122-1n1
(2)具体方法
在递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造
数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之
成为等差或等比数列.例如an=can-1+d(c≠0，c≠1)的 递推关系式，在递推关系式两端同时加上A，
an+A=can-1+d+A，即an+A=
令A=
，解出A，此时数c(列an{1 and+Ac A}是). 等比数列，可解.
【变式训练】已知数列{an}是各项均为正数的等差数
列，且lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn= 1 ，n=1，
2，3，…，求证数列{bn}为等比数列.
a 2n
【证明】因为lga1，lga2，lga4成等差数列， 所以2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4)，所以a22=a1·a4. 设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1(a1+3d)， 所以d2=a1·d，所以d(a1-d)=0， 所以d=0或d=a1.
)
n2 2n2
，
n4 2n1 .
【方法技巧】数列求和的常用方法 (1)公式法. (2)分组求和法. (3)倒序求和法. (4)错位相减法.
(5)裂项相消法.把数列的通项拆成两项之差，在求和 时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (6)并项求和法.一个数列的前n项和中，可两两结合求 解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采 用两项合并求解.
2.重视等差(比)数列的定义 等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与 前一项的差(比)，是同一常数.利用定义法证明等差 (比)数列时，要特别注意n的取值范围. 3.忽视等比数列项的符号 等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时 常因忽略这点而致误.
4.求等比数列的前n项和时注意分类讨论 在等比数列的公比不确定的情况下，求其前n项和时应 对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的
等差中项，且有_______. a+b=2A
(4)常用性质：
①若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则__________；
②在等差数列{an}中，Sk，S2k-Sk，_a_m_+_a_n=_a，p+…aq成等差
数列.
S3k-S2k
(5)等差数列的判断
an
即an= (n∈N*).
a1
n ( n 1)
22
方法二：an+1=2n·an=2n·2n-1an-1
=…=2n·2n-1·…·22·21a1
=21+2+…+n-1+na1n(=n1)
所以an=
n ( n 1)
22.
22.
②因为an+1=an+3n+2，所以an-an-1=3n-1(n≥2).
dA
c
【变式训练】若a1=1，Sn= n 2 an，则通项an=____. 3
【解析】由题设知，a1=1.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n
所以
3
2
an
n
1 3
a
n1，
所以
an a n1
n n
1， 1
an n 1，，a4 5，a3 4，a2 3.
an1 n 1 a3 3 a2 2 a1
以上n-1个式子的等号两端分别相乘，
得到 an n(n 1)，
又因为a1a1=12，所以an=n(n 1)，
a1=1也符合此式，所以a2n=
答案：
n(n 1) . 2
n(n 1)
2
类型二 等差数列、等比数列的判定
【典例2】(1)已知数列{an}，则有( ) A.若an2=4n，n∈N*，则{an}为等比数列 B.若an·an+2= ，n∈N*，则{an}为等比数列 C.若am·an=2m+an2n，1 m，n∈N*，则{an}为等比数列 D.若an·an+3=an+1·an+2，n∈N*，则{an}为等比数列
因为
= [b(2n1n+1b+n 3)a-n231n]1=3 1 ，an2n 3 21n［1 (an1 2an ) 3］
1 所2以n1数列{bn}是首项为
=0，公差为1的等差数
列.a1 3 3 3 Nhomakorabea22
【方法技巧】等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法：an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列；a n1
d 2n
此时数列{bn}是首项为b1= 1 ，公比为 1的等比数列.
2d
2
综上可知，数列{bn}是等比数列.
【补偿训练】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1， bn=an+1(n∈N*). (1)求证：{bn}是等比数列. (2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)因为an+1=2an+1，所以 an+1+1=2(an+1)，即bn+1=2bn.因为b1=a1+b1n=1 2≠0， 所以bn≠0.所以 =2，所以{bn}是等比数列. bn (2)由(1)知{bn}是首项b1=2，公比为2的等比数列， 所以bn=2×2n-1=2n，即an+1=2n，所以an=2n-1.
an·an+2= ，n∈N*，但{an}不是等比数列，故B错； 若an=0，a满2n1足an·an+3=an+1·an+2，n∈N*，但{an}不是
等比数列，故D错；若am·an=2m+n，m，n∈N*，则有
=2，则{an}是等比数列.
a n1 an
am an1 am an
2mn1 2mn
(2)①因为a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且n∈N*)， 所以a2=2a1+22+3=1，a3=2a2+23+3=13. ②对于任意n∈N*，
【解析】(1)当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1. 当n=1时，a1=S1=21-1=1，适合上式. 综上有an=2n-1. 答案：2n-1
(2)①方法一：因为an+1=2n·an，所以an1 2n， an
所以 a2 2，a3 22，a4 23，，an 2n1. 将上述a1n-1个a2式子累a3 乘，得an=1 21+2+3+…+(n-1)，
(3)累加或累乘法
形如an-an-1=f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项
公式；形如 =f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求 an
通项公式. an1
【拓展延伸】用待定系数法由递推公式求通项公式 (1)基本思路 把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等 比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项 公式.
(5)等比数列的判断： ①定义式：_a_n_1__q_(q为非零常数)；
an ②等比中项：an·an+2=___； ③通项公式：an=aqn(a，a 2nq1为非零常数)；
④前n项和：Sn=A-Aqn(A为非零常数，q≠0且q≠1).
【易错提醒】 1.关注an与Sn的关系式的应用 应 用用 ，即an=要SS注1n，意nSn分11，n，n=1和2 n解≥题2两时种，情应况注进意行分讨类论讨.论的应
所以Sn= ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n )
= -1=9， 所以n n1=99.
答案：99
(2)①方程x2-5x+6=0的两根为2，3，
由题意得a2=2，a4=3，设数列{an}的公差为d， 则a4-a2=2d，故d1= ，从而a1=3 ， 所以{an}的通项公式2 为an= n+21.
=q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列.
an
(2)中项公式法：2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数列；
=an·an+2(an≠0)⇔{an}是等比数列.
a2 n1
(3)通项公式法：an=kn+b(k，b是常数)⇔{an}是等差 数列；an=c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：Sn=An2+Bn(A，B为常数， n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn=Aqn-A(A，q为常数，且 A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列.
5.找规律，“数清”数列的项数 在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数 是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成 规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数.如果把 数列的项数弄错了，将会前功尽弃.
类型一 数列通项公式的求法 【典例1】(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则此数列 的通项公式为an=__________. (2)写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式. ①a1=1，an+1=2n·an(n≥1)； ②a1=2，an+1=an+3n+2.
(2)在数列{an}中，a1=-3，an=2an-1+2n+3(n≥2，且 n∈N*).
①求a2，a3的值.
②设bn=
(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列.
an 3
2n
【解析】(1)选C.若a1=-2，a2=4，a3=8，满足an2=4n，
n∈N*，但{an}不是等比数列，故A错；若an=0，满足