二次函数存在性问题的讨论

专题一二次函数中的图形构建及存在性问题讨论
一、二次函数中有关面积的存在性问题
1.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
(1）求抛物线方程；
(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
2.矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O(0，0)、B(0，3)、D(－2，0)，直线AB交x轴于点A(1，0)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；
(3)过点E作x轴的平行线EF交AB于点F．将直线AB沿轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H．请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，
使得S
△PAG ＝
3
4
S
△PEH
．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题
1.如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，
－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线)1
x
a
=x
y与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），
)(
+
3
(-
过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.
(1)求a的值及直线AC的函数关系式；
(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x 轴于点N.
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.
三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题
1.如图, 已知抛物线c bx x y ++=22
1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.
(1）求抛物线的解析式；
(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE
的面积最大时，求点D 的坐标；
(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P
的坐标，若不存在，说明理由.
2.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在
两坐标轴上，且点(02)A ，
，点(10)C -，，如图所示：抛物线22y ax ax =+-经过点B ．
（1）求点B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边
的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
四、二次函数中构建四边形的存在性问题
（一）二次函数中构建梯形的存在性问题
1.如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-2
1，0)、 B (2，0)两点，
且与y 轴交于点C ；
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边
形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点 为顶点的四边形
是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

(二）二次函数中构建平行四边形的存在性问题
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。

2.平面直角坐标系中，已知抛物线经过A)0,4
,0(-，C)0,2(三点．
(-，B)4
（1）秋抛物线方程；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线x
=上的动点，判断有几个位置
y-
能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
3.已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
2y ax bx c =++0a ≠(10)A ，(20)B ，(02)C -，x m =2m >x D x m =2m >E E E D B 、、A O C 、、E m F ABEF m ABEF
4.如图，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．
(1）线段的长为 ，点的坐标为 ；
(2）求△的面积；
(3）求过，，三点的抛物线的解析式；
(4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
OABC CB OA 90OAB ∠=O A x OB AC M 4OA AB ==2OA CB =OB C OCM O A C E F A O F E F
5.已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。

点B 的坐标为(1，0),OC=30B ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：
(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。

是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。