人教版2023高中数学定积分知识点汇总

(每日一练)人教版2023高中数学定积分知识点汇总
单选题
1、由直线x =12，x =2，曲线y =1x 及x 轴所围图形的面积是（ ）
A ．2ln2
B ．12ln2
C ．154
D ．174
答案：A
解析：
直线x =12，x =2，曲线y =1x 及x 轴所围图形的面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再求定积分即可.
如图，
由直线x =12，x =2，曲线y =1x
及x 轴所围图形的面积： S =∫1x
dx 2
12 =lnx|12
2
=ln2−ln 12
=2ln2.
故选：A
小提示：
本题考查了利用定积分求封闭图形的面积，做题时应认真分析.
2、已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过抛物线焦点且垂直于y轴的直线与抛物线围成的图形面积为6，则p的值为（）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
解析：
由定积分的几何意义有∫(p
2−x2
2p
)
p
−p
d x=6，结合微分基本定理求参数p即可.
由题设，{x2=2py,
y=p
2
⇒x=±p，
∴S=∫(p
2−x2
2p
)
p
−p d x=(p
2
x−x3
6p
)|
−p
p
=2
3
p2=6⇒p=3，
故选：C.
3、∫[√1−(x −1)2−x]d x 2
=（ ）
A ．π4−1
B ．π4
−2 C ．π2−1D ．π2−2 答案：D
解析：
根据定积分的几何意义求∫√1−(x −1)2d x 2
0，由微积分基本定理求∫x d x 2
0，即可求解.
∫[√1−(x −
1)2−x]d x 20=∫√1−(x −1)2d x 20−∫x d x 2
0，
由y =√1−(x −1)2可得：(x −1)2+y 2=1 (y ≥0)表示以(1,0)为圆心，半径等于1 的上半圆，所以∫√1−(x −1)2d x 2
0的值为该圆面积的一半，
所以∫√1−(x −1)2d x 20=π×12×12=π2，
∫x d x 20=12x 2|02=12×22−0=2， 所以∫[√1−(x −1)2−x]d x 2
0=π2−2，
故选：D.
填空题
4、∫[√1−(x −1)2−x]10
dx =___________. 答案：π4−12
解析：
根据定积分的几何意义及性质计算即可.
∫[√1−(x −1)2−x]dx 10=∫√1−(x −1)210dx −∫10xdx ，根据定积分的几何意义可知，∫√1−(x −1)210dx 表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，
所以∫√1−(x −1)210dx =14⋅π⋅12=π4， 而∫xdx 10=(12x 2+c)|01=12，
所以∫[√1−(x −1)2−x]dx 10=π4−12． 所以答案是：π4−12. 5、直线y =12(x +1)与曲线y =√x 及x 轴围成的图形面积为___________．
答案：13 解析：
画出图形，求出交点坐标，结合图形利用定积分求解即可
解：由{y =12(x +1)y =√x
，得{x =1y =1 ，所以两图形相切于点B(1,1)， 由y =12
(x +1)=0，得x =−1， 所以直线y =12(x +1)与x 轴交于点A(−1,0)，
因为S △ABC =12
×1×2=1， 曲线y =√x 及x 轴围成的图形面积为S 1=∫√xdx =23
x 32|01=23 1
0， 所以所求图形的面积为S =S △ABC −S 1=1−23=13，
所以答案是：13。