高考总复习二轮理科数学精品课件 专题 解析几何 培优拓展 快准求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的方法

证明 联立
= + ,
2
2
+
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= 1,
得方程
(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,Δ=4a2b2(b2+a2k2-m2)>0,
-2 2
1 + 2 = 2 + 2 2 ,
由弦长公式得|AB|=
2
2
2
2
-
1 ·2 = 2 + 2 2 ,
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
解 (1)设 M(x1,y1),则由题意知 y1>0.由已知及椭圆的对称性知直线 AM 的倾斜
π
角为4.又
A(-2,0),所以直线 AM 的方程为 y=x+2.将 y=x+2
2
代入 4
(3+4)x +2×4×2x+4×2 -4×3=0,即 7x +16x+4=0,解得 x=-2 或
故所求双曲线的方程为 x
2
- 3 =1.
2
(2)由题意知 m≠± 3.双曲线右焦点为 F(2,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方
程为 y=m(x-2)=mx-2m,
联立
= -2,
2-
2
3
= 1,
消去 y,整理得(-3+m2)x2+2m·
(-2m)x+1×(-2m)2-1×(-3)=0,
结论应用
例1已知中心在原点,焦点在坐标轴上且关于原点对称的双曲线的渐近线
方程是 y=± 3x,且双曲线过点( 2, 3).
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线右焦点F且斜率为m的直线交双曲线于A,B两点,若|AB|=12,求
m的值.
解 (1)设双曲线的方程为 3x2-y2=λ(λ≠0),由双曲线过点( 2, 3),得 λ=3×2-3=3,
当 1+m =6-2m 时,解得 m=±
2
2
综上,所求的 m 值为± 7,±
15
.
3
15
.
3
例 2 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 E
3
3
过点(1, ),且离心率为 .F
2
2
为
椭圆E的右焦点,P为E上一点,PF垂直于x轴,圆F的半径为PF.
(1)求椭圆E和圆F的方程.
(2)若直线l:y=k(x- 3 )(k>0)与圆F交于A,B两点,与椭圆E交于C,D两点,其中
4 2 2 ( 2 + 2 2 - 2 )
2 + 2 2
.
1+
2

· 2 + 2 2
= 1 + 2 ·
结论 2:直线 y=kx+m
|AB|= 1 + 2 ·
2
与双曲线 2

2
− 2 =1(a>0,b>0)相交所得的弦长

4 2 2 ( 2 - 2 2 + 2 )
即(m2-3)x2-4m2x+4m2+3=0,Δ=4×(-3)(-3+m2-4m2)=36(1+m2)>0 恒成
立.|AB|= 1 + 2 ·
6(1+2 )
即 2 =12,所以
| -3|
4×3(3-2 +42 )
|3-2 |
1+m2=2|m2-3|.
=12,
当 1+m2=2m2-6 时,解得 m=± 7;
培优拓展
快准求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的方法
问题提出
直线与圆锥曲线的综合问题往往需要将直线的方程代入圆锥曲线的方程,
整理出关于x或y的一元二次方程,求判别式Δ>0,求直线与圆锥曲线相交的
弦长,但不少同学计算能力不强,花费不少时间得不出正确的关于x或y的一
元二次方程、判别式及弦长,为此,我们可以推出一般形式下直线与椭圆、
2
=
2
4(1+2 )
2
1+4
=1,
即 4+4k2=1+4k2,从而 4=1 矛盾.所以满足题
设条件的直线 l 不存在.
2

2

+2 2
=
例3已知椭圆E:
2

2
+ 3 =1
的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的
直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
A,C在第一象限,是否存在k,使|AC|=|BD|?若存在,求直线l的方程;若不存在,
说明理由.
解 (1)设椭圆 E
圆E
2
的方程为2
3
1
过点(1, ),从而得 2
2

+
+
3
2
2 =1(a>b>0),由

2 =1,解得
4
所以 F( 3,0),令 x=
1
则|PF|= =r,所以圆
2
1
y=±2,
曲线方程中 x2,y2 项下面的分母,譬如:对于焦点在
2
=1,在使用上述结论时,仍然把
4
2
y 轴上的椭圆方程 3
+
3 当作 a2,4 当作 b2.
3.对于解答题,弦长公式不能直接应用,应有过程步骤,若考生能够记住并写
出直线与椭圆联立整理后的方程式、判别式Δ的表达式及韦达定理表达式
后,就可用本定理的弦长公式,能极大地提高运算速度及运算的准确性.
2
=
3
2
2
,得
a
=4b
,又椭
2
a=2,b=1,从而所求椭圆 E 的方程为
2 2
+y =1.
4
3 2
3,得4+y =1,解得
e=
2
1- 2
F 的方程为(- 3) +y
2
1
= .
4
(2)不存在,理由如下:若|AC|=|BD|,设 C(x1,y1),D(x2,y2),如图所示,
由直线 l:y=k(x- 3)(k>0)与圆 F 交于 A,B 两点,且直线过圆心 F( 3,0),得
2
横坐标
2
2
12
xA=-2,x1=- ,y1= ,△AMN
7
7
2
的面积 S△AMN=2×
1 12
12
× ×
2
7
7
2
+ 3 =1,得
2
x=-7,即点
=
144
.
49
A的
(2)由题意 t>3,k>0,A(- ,0),直线 AM 的方程为 y=k(x+ )(k>0),即 y=kx+ k,
= + ,
|AB|=1,
则 1=|AB|=|AC|+|CB|=|BD|+|CB|=|CD|,即|CD|=1,
由
= - 3,
2
4
+ 2 = 1,
1 + 2 ·
得(4k +1)x -8 3k x+12k -4=0,所以|CD|= 1 +
2
2
1924 -4(42 +1)(122 -4)
2
1+4
联立 2 2
消去 y,得(3+tk2)x2+2t· k2x+t·
( k)2-3t=0,
+ = 1,

3
即(3+tk2)x2+2t k2x+t2k2-3t=0,Δ=4×3t(3+tk2-tk2)=36t>0,
故|AM|= 1 + 2 ·
4××3[3+2 -( )2 ]
2
3+
设直线 AN 的方程为
1
y=-(x+
2

由 2|AM|=|AN|,得
3+2
=
=
6 (1+2 )
2
3+
.
6 (1+2 )
),故同理可得|AN|=
,即(k3-2)t=3k(2k-1).
32 +
2
3 +
.
3
3k(2k-1)
当 k= 2时,(k3-2)t=3k(2k-1)不成立,所以 t=
双曲线相交的过程性结论,把结论当成公式运用,能达到既省时又准确的功
效.
2
结论 1:直线 y=kx+m 与椭圆 2

+
2
=1(a>b>0)相交所得的弦长|AB|=
2
1 + 2 ·
4 2 2 ( 2 + 2 2 - 2 )
,其中 b2+a2k2-m2>0.
2 + 2 2
3
-2
(2-k)(2 +1)
3
3
>3,即
k-2 > 0,
k-2 < 0,
3
即 3 <0.由此得 3
或 3
解得 2<k<2.
-2
-2 < 0,
-2 > 0,
3
所以 k 的取值范围是( 2,2).
k-2
k(2k-1)
-2
-1=
-2
>0,
本 课 结 束
| 2 - 2 2 |
,其中 b2-a2k2+m2>0.
结论2的证明与结论1的证明同理.
名师点析1.结论2中的一元二次方程、判别式、韦达定理只需将椭圆对应
的式子的b2换成-b2即可,因此,两个结论只需记住结论1中的一元二次方程
和判别式,记住|AB|= 1 +
2
·

.
二次项系数
2.在上述韦达定理、判别式 Δ、弦长|AB|的表达式中,a2,b2 表示的分别是