【精准解析】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三6月复课线下考查数学(文)试题

哈师大附中2017级高三复课线下考查卷文科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集U =R ，集合(){}
|lg 6A x y x ==-，{}
|21x
B x =>，则图中阴影部分表示的集
合是（ ）
A. ()2,3
B. (]1,0-
C. [)0,6
D. (],0-∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数定义域和指数函数单调性得到集合,A B ，阴影部分表示的集合是U
B A ，计算得
到答案.
【详解】(){}{}
|lg 66A x y x x x ==-=<，{}{
}
210x
B x x x ==>，
阴影部分表示的集合是(]()(]U
,0,6,0B A =-∞-∞=-∞.
故选：D.
【点睛】本题考查了函数定义域，解不等式，集合的交集，补集运算，韦恩图，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2. 复数24
1i i i z i
-++=-，则z =( )
A. 1
B.
22
C.
12
D.
14
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的乘方法则和除法法则将复数z 化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求得z .
【详解】
()()()24111111
1111222
i i i i i i i z i i i i i +-++--+-===-==----+，因此，
z ==. 故选：B.
【点睛】本题考查复数的模长的计算，同时也考查了复数的乘方法则与除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
3. 已知向量()2,a m =-，()1,2b =-，()1,5c m =+，若a b ⊥，则a 与b c +的夹角为( ) A.
4
π
B.
3
π C.
23
π D.
34
π 【答案】D 【解析】 【分析】
先由a b ⊥得21(2)0m -⨯+-⨯=，求出m 的值，从而可得向量c 的坐标，再利用向量的夹角公式即可求得结果.
【详解】解：因为a b ⊥，()2,a m =-，()1,2b =-， 所以21(2)0m -⨯+-⨯=，解得1m =-， 所以()2,1a =--，()0,5c = 所以 (1,3)b c +=，
设a 与b c +的夹角为θ，则
()cos 2(2)a b c a b c
θ⋅+==
=
=-+-，
因为[0,]θπ∈，所以34
πθ=， 故选：D
【点睛】此题考查向量的坐标运算，数量积，向量的夹角等知识，属于基础题.
4. 某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a 元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个2a 元.某人在购买
该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率( )
A.
15
B.
710
C.
45
D.
910
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可知，求出三年使用期内更换的易损零件数小20个的频率即可
【详解】解：由频数分布直方图可知，机器在三年使用期内更换的易损零件数小于20的频率为
61624247
10010
+++=，
所以购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率约为7
10
. 故选：B
【点睛】此题考查频数分布直方图，考查频率与概率的关系，属于基础题.
5. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，若()
*
12n n S a n N +=-∈，则2020a =( )
A. 20192
B. 20202
C. 20212
D. 20222
【答案】B 【解析】 【分析】
当2n ≥时，由(
)*
12n n S a n N
+=-∈得1
2n n S
a -=-，两式相减，可得12n n a a +=，所以数
列{}n a 是以2为公比的等比数列，从而可求出结果.
【详解】解：当1n =时，122S a =-，得211242a a a =+== 当2n ≥时，由(
)*
12n n S a n N
+=-∈得1
2n n S
a -=-，
所以11n n n n S S a a -+-=-，即1n n n a a a +=-，12n n a a += 所以数列{}n a 是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以2n
n a =， 所以2020
20202a =，
故选：B
【点睛】此题考查由数列的递推式求通项公式，等比数列的通项公式，属于基础题. 6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的m ，n 分别为32，24，则输出的m 值是( )
A. 0
B. 4
C. 8
D. 12
【答案】C 【解析】 【分析】
运行程序框图，先执行循环体后判断，直至当0r =时，退出循环结构，输出m 值.
【详解】输入的m ，n 分别为32，24，进入循环体，因为32除以24余数为8，所以8r =，
24,8m n ==，因为0r =不成立，再进入循环体，因为24除以8余数为0，
所以0r =，8,0m n ==，因为0r =成立，退出循环体，输出8m =. 故选：C
【点睛】本题考查了程序框图的输出问题，考查了数学运算能力.
7. 设33log 4log 2a =-，ln 2b =，1
lg 24100c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A .
a b c <<
B. b c a <<
C. c a b <<
D.
b a
c <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意结合指数函数、对数函数的性质比较,,a b c 的大小即可. 【详解】由题意可知：
3ln 2
2ln 21ln l g 3
o a ==
<<， 所以a b <，
1lg 22
10
1c ==>
据此可得：a b c <<. 故选：A.
【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的性质.属于较易题.
8. 已知正方形ABCD
，以A 为顶点在BAD ∠内部作射线AP ，射线AP 与正方形ABCD 的边交于点M ，则2AM <的概率为( )
B.
12
D.
23
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知判定射线AP 与AB 或AD 所成的角都在30以内，然后利用角度型几何概型的计算即得. 【详解】如图所示，以A 为圆心，以2为半径作圆，交,BC CD 边与,E F , 由于正方形ABCD
2,30AE AF BAE DAF ==∴∠=∠=︒，
当射线AP 在∠BAE 和∠DAF 内时，射线AP 与正方形ABCD 的边交于点M ，且2AM <， 其概率为2302
903
⨯︒=︒, 故选:D.
【点睛】本题考查与角度有关的几何概型，属易错题，关键在于分辨几何概型是长度，还是面积，还是角度的比.
9. 函数()
222sin x
x y x e x
=-在[]22-,
的图像大致为（ ） A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
本题首先可以通过sin 0x ≠排除C 项，然后通过判断函数()
222sin x
x y x e x
=-是奇函数排除
B 项，最后通过(
)1f -<
D 项，即可得出结果.
【详解】令()()
222sin x
x f x y x e x
==-，
因为sin 0x ≠，所以0x ≠，排除C ，
因为()()()()()()()2
22222sin sin x x
x x f x x e x e f x x x ---=--=--=--， 所以函数()
222sin x x y x e x
=-是奇函数，排除B ，
因为()2
1sin1
e f --=
，21e ，2sin1sin 452
，
所以(
)1f -<=D ，
故选：A.
【点睛】本题考查函数图像的判断，可通过取特殊值、函数的奇偶性、函数的定义域等方式来判断，考查推理能力，是中档题.
10. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 为上底面1111D C B A 的中心，P 为正方形
11B C CB 内部的点，且//OP 平面1A BD ，则OP 的最小值为( )
A .
2
【答案】B 【解析】 【分析】
先确定点P 在线段1B C 上，再根据点到直线的垂线段最短，即可得答案； 【详解】如图所示，在正方体中，连结111,B D CD ，
11//B D BD ，11B D ⊄面1A BD ，BD ⊂面1A BD ， ∴11//B D 面1A BD ，同理1//B C 面1A BD ，
又1111B D B C B ⋂=，111,B D B C 都在面11B CD 内，
∴面1A
BD //面11B CD .
//OP 平面1A BD ，∴点P 在线段1B C 上，
在正三角形11B CD ，O 到1B C 的最短距离为三角形11B CD 中，底1B C 高的一半，
∴OP 的最小值为136(2)224
⋅=，
故选：B.
【点睛】本题考查面面平行性质、点到直线距离，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意将空间问题转化为平面问题进行求解.
11. 已知函数()sin f x x a x =-，对任意的()12,,x x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式
()()
1212
f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. 12
a <
B. 12
a ≤
C. 12
a >
D. 12
a ≥
【答案】B 【解析】 【分析】
对不等式进行化简，转化为
()
11122212
sin sin 0x ax a x x ax a x x x ----->-恒成立，构造函数
()sin g x x ax a x =--，则()g x 在R 上为增函数，然后转化为()0g x '≥恒成立问题，从而
将恒成立问题转变成求1cos x +的最大值，即可求出a 的取值范围． 【详解】
()()
1212
f x f x a x x ->-且()sin f x x a x =-，
()()11221112221212
sin sin sin sin 0x a x x a x x ax a x x ax a x a x x x x --------∴-=>-- ，
设()sin g x x ax a x =--，
则
()()1212
0g x g x x x ->-，又对任意的()12,,x x ∈-∞+∞，且12x x ≠都成立，
所以()g x 在R 上为增函数， 即()1cos 0g x a a x '=--≥恒成立， 整理得()1cos 1x a +≤， 当1cos 0x +=时，不等式成立， 当1cos 0x +>时，1
1cos a x
≤
+恒成立，
又11
1cos 2
x ≥+，
所以1
2
a ≤.
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立求参数取值范围问题.属于较难题.
12. 已知1F 、2F 是椭圆22
143
x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径
作圆N ，直线ON 与圆
N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( ) A. B. 4 C. 3 D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量的数量积运算可得()()
2
2
121QF QF QO
QF ⋅=-，利用||QO QN NO =+，进一步
利用椭圆的定义可转化为22a c -，进而得解. 【详解】连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，
()()()()
2
2
12121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-,
()2
2122222
232
2PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭
故答案为：3.
【点睛】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13. 已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>对任意x ∈R 都有()6f x f x π⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭
，则12f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
______. 【答案】0 【解析】 【分析】 在()6f x f x π⎛⎫
-=-
⎪⎝⎭
中取12x π=，即可求得答案.
【详解】因为对任意x ∈R 都有()6f x f x π⎛⎫-=-
⎪⎝⎭，所以61212f f πππ⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即
1212f f ππ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以012f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 故答案为：0.
【点睛】本题考查三角函数的性质，函数的的对称性和函数值的求法，关键利用赋值法求解，难度一般.
14. 已知双曲线()
22
2210,0x y a b a b
-=>>的
渐近线与圆()2
244x y +-=相切，则双曲线的
离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】
由已知可得圆心到双曲线的渐近线的距离为2，可得到,a b 的关系，从而可求出双曲线的离心率.
【详解】解：双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，
圆()2
244x y +-=的圆心为0,4（），半径为2，
因为双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆()2
244x y +-=相切，
2=，即
42a
c
=，得2c a =， 所以2c
e a
=
=， 故答案为：2
【点睛】此题考查圆的标准方程，双曲线的渐近线及其离心率，点到直线的距离公式，属于基础题.
15. 三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，且1AA ⊥平面ABC ，M 为AC 的中点，N 为棱1AA 上的点，且1CN BC ⊥，若点A 、B 、M 、N 在同一球面上，则该球的表面积为______. 【答案】5π 【解析】
【分析】
如图，先利用垂直关系确定N 为1AA 的中点，找到球心的位置，利用已知条件求出半径，代入球的表面积公式即可. 【详解】连接1,BM C M ，
AB AC =，BM AC ∴⊥,
1AA ⊥平面ABC ，1AA BM ⊥，
又1
AA AC A =，
所以BM ⊥面11ACC A ，
即BM ⊥CN ，又1CN BC ⊥，1BM BC B =，
则CN ⊥面1BMC ，
CN ⊥11,C M ACN CC M ∴∠=∠，M 为AC 的中点，
111tan tan ,2CM AN
CC M ACN CC AC
∠=
==∠= 1
12
AN AC ∴=
=，N 也为1AA 的中点， 取AB 的中点为O ,AN 的中点为E ,设球心为O ', 连接,,,,OO O A O N O E AM BM ''''⊥，
所以O 为Rt ABM 的外接圆圆心，OO '⊥平面ABC ，
AA '⊥平面ABC ，所以OO AA ''∥，即O '在平面11AA B B 内 O A O N R ''==，则,,O E AN O O AB AE AB ''⊥⊥⊥,
所以四边形AOO E '为矩形，
11
22OO AE AN '==
=,又1AO =, 215
144
R =+=，
球的表面积为245S R ππ==. 故答案为：5π.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理，以及四点共球求球的表面积问题.属于较难题.
16. 等差数列{}n a 中15141024a a a a ++=+，且513a a =，则5a =______；若集合
{}*
1
2
2n
n n N a a a λ∈<++
+∣
中有2个元素，则实数λ的取值范围是______.
【答案】 (1). 12 (2). 9
(2,)4
【解析】 【分析】
空1：根据等差数列的通项公式，结合已知，得到关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组，最后根据等差数列的通项公式进行求解即可；
空2：常变量分离，根据等差数列的前n 项和公式，构造新数列，利用新数列的单调性结合已知进行求解即可.
【详解】空1：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为15141024a a a a ++=+，且513a a =，
所以有：111111
14139244
432a a d a d a d a a d a d ++++=++=⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，
因此51444212a a d =+=+⨯=； 空2：由（1）知：112211
(1)4(1)2322
n na n n d n n n n n a a a =+-⋅=+-⋅=++++
由122n
n a a a λ<++
⇒+1
22n
n
a a a λ++
+<，设21
2322n
n n
n
a a a n n
b ++
++==
，
22211
1(1)3(1)34
222n n n n n n n n n n b b n ++++++--+-=
=+-， 显然当1n =时，21b b >，
当2,n n N *
≥∈时，110n n n n b b b b ++<⇒-<，因此从第2项起，数列是递减数列，
12345972,,,244b b b b ====，所以数列{}n b 的最大项为25
2b =，
因为{
}*122n
n n N a a a λ∈<+++∣
中有2个元素，
所以不等式 12()2n
n
a a a λ++
+<
*只有两个不同正整数根，
而数列{}n b 的最大项为25
2
b =，因此2n =一定是不等式()*的解， 因此一定有：924
λ<<. 故答案为：9(2,)4
【点睛】本题考查了等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数列单调性的应用，考查了数学运算能力.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，组合体由棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -和四棱锥S ABCD -组成，SD ⊥平面ABCD ，2SD =，E 是1DD 中点，F 是SB 中点.
（1）求证：//SB 平面11EA C ； （2）求证：11AC EF ⊥；
（3）求S 到平面11EA C 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6. 【解析】 【分析】
（1）连结1DB ，连结11D B 交11A C 于O ，可证//SB EO ，进而利用线面平行的判定定理证得
//SB 平面11EA C ；
（2）利用线面垂直的判定定理证得11A C ⊥面11SD B B ，进而根据线面垂直的定义证得
11AC EF ⊥；
（3）利用等体积法求S 到平面11EA C .
【详解】（1）连结1DB ，连结11D B 交11A C 于O ，连接EO 则11D O OB =，∵1D E ED =，∴1//EO DB ，
又1//SD BB ，1SD BB =，因此四边形1SDB B 是平行四边形， ∴1//SB DB ，故//SB EO ，
又SB ⊄面11EA C ，EO ⊂面11EA C ，因此//SB 平面11EA C .
（2）四边形1111D C B A 是正方形，∴11
11AC B D ⊥， 又1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，∴111AC SD ⊥， 又1111SD D B D ⋂=， ∴11A C ⊥面11SD B B ，
又EF ⊂面11SD B B ，因此，11AC EF ⊥. （3）设S 到平面11EA C 的距离d ，
1111A SEC S EA C V V --=，即111123322223232d ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，
S 到平面11EA C 的距离6.
【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定与证明，体积法求点到平面的距离，属基础题.
18. 某市为了解中学教师学习强国的情况，调查了高中、初中各5所学校，根据教师学习强国人数的统计数据（单位：人），画出如下茎叶图（其中一个数字被污损）.并从学习强国的教师中随机抽取了4人，统计了其学习强国的周平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并绘制了如下对照表： 表（i ）
表（ii ） 年龄
20 30 40 50 周平均学校强国时间 2.5
3
4
4.5
（1）若所调查的5所初中与5所高中学习强国的平均人数相同，求茎叶图中被污损的数字a ； （2）根据表（ii ）中提供的数据，用最小二乘法求出周平均学习强国时间y 关于年龄x 的回归直线方程y bx a =+，并根据求出的回归方程，预测年龄为52岁的教师周平均学习强国的时间.
参考公式：()()()
1
1
2
2
21
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---⋅=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-.
【答案】（1）8；（2）0.07 1.05y x =+，4.69小时. 【解析】 【分析】
（1）设被污损的数字为a ，根据平均数相同列出方程即可求解；
(2)求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为52岁的教师周平均学习强国的时间. 【详解】（1）设被污损的数字为a ， 则
88899091928383879099
55
a +++++++++=，
解得8a =.
（2）由表中数据，计算得20304050
354x +++=
=， 2.534 4.5 3.54
y +++=
=， 4
1
4
2
21
2
525435 3.5
40.0754043405
i i
i i i x y x y
b x x
==-⨯⨯=
=-=
-⨯-∑∑， 3.50.0735 1.05a y bx =-=-⨯=， ∴周平均学校强国时间y 关于年龄x 回归直线方程0.07 1.05y x =+； 当52x =时， 4.69y =，
即预测年龄为52岁的教师周均学习强国的时间为4.69小时.
【点睛】本题主要考查了茎叶图，利用茎叶图求平均值的应用，线性回归方程的求法，考查计算能力，属于中档题.
19. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2
cos()cos ac A C B b -+=，且函数()()()sin 0f x P x A P ωω=->、的部分图象如图所示：
（1）求C ∠的大小；
（2）若sin sin B C <，点D 为线段AB 上的点，且2CD =，求ACD △面积的最大值. 【答案】（1）12
π
或
7
12
π；（2）23+. 【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理、三角形内角和定理和2
cos()cos ac A C B b -+=， 求出4
B π
=
或
34
π，再根据图象确定函数解析式，从而求出6A π
=，进一步确定C ∠；
（2）由sin sin B C <确定出B C <，进一步确定角的弧度数，在ACD △中，用余弦定理和基本不等式确定4(23)b AD ⋅≤，则ACD △面积的最大值可求. 【详解】解：（1）因为(),cos cos A B C B A C π++==-+， 由
sin sin sin a b c
A B C ==，所以22
sin sin sin ac A C b B
= 由已知，2sin sin cos()cos()2sin sin sin A C
A C A C A C B
--+==，
因为在三角形中一定有sin 0B >，
所以2
sin B =4B π=或34
π， 由图象可知，2P =，
,2362
T T πππ
π⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 22T π
ω==，()2sin(2)f x x A =-过,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
sin 213A π⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，∵(0,)A π∈，∴22,333A πππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，
∴2
3
2
A ππ-=，即6
A π
=
，
当4
B π
=时，712C π=
；当34
B π=时，12
C π
=. ∴12
C π
=
或
7
12
π. （2）因为sin sin B C <，由正弦定理，所以b c <， 根据三角形中大边对大角定理，所以B C <， ∴4
B π
=
，712C π=
，6
A π=， 在ACD △中，由余弦定理得，
2223
22(23)2
b AD b AD b AD =+-⋅⋅
≥-⋅， ∴4(23)b AD ⋅≤+，
当且仅当84362b AD ==+=+，等号成立，
11
sin 23264
ACD S b AD b AD π=⋅⋅=⋅≤+△，
因此，ACD △面积的最大值23+.
【点睛】考查三角函数的性质、三角恒等变形、正余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用，中档题.
20. 已知动圆M 经过点()0,2N ，且被x 轴截得的弦长为4，记圆心M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的标准方程；
（2）过x 轴下方一点()P m n ,向曲线C 作切线，切点记作()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 、
OP 的斜率乘积为-2，求点P 到x 轴的距离.
【答案】（1）2
4x y =；（2）4. 【解析】 【分析】
（1）设(),M x y ，由垂径定理化简即可；
（2）设切点为2
00,4x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，可得切线方程将P 代入得200240x mx n -+=，利用作差结合韦达
定理可得2
AB m
k =
，OP n k m =，根据题意求出n 进而可得结果.
【详解】（1）设(),M x y ，圆心到直线的距离为y ，
()2
22222y x y +=+-，
化简可得，曲线C 的标准方程：2
4x y =；
（2）设由点P 向曲线C 作切线，切点为2
00,4x x ⎛⎫
⎪⎝⎭，
由24x y =得2x y '
=，则切线()2
000142x y x x x -=-，
将()P m n ,代入，得2
00240x mx n -+=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，21212
416024m n x x m x x n ⎧∆=->⎪
+=⎨⎪=⎩，
2114x y =，2
224x y =，作差得，1242
AB x x m k +=
=，又OP n
k m =，
22
OP AB n m
k k m =
⋅=-解得4n =-. 因此，P 到x 轴距离为4=n .
【点睛】本题主要考查了直接法求轨迹方程，抛物线中切线的求法以及韦达定理的应用，属于中档题.
21. 已知函数()1
x
x f x e e =+
，其导函数为()'f x ，函数()()()'2
f x f x
g x +=，对任意x ∈R ，不等式()1g x ax ≥+恒成立.
（1）求实数a 的值；
（2）若02m e <<，求证：()()2
1ln x g x m x x >+.
【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）先得到()x
g x e =，由不等式()1g x ax ≥+恒成立，构造函数()1x
h x e ax =--分0a ≤，
0a >，再利用导数论证()min 0h x ≥即可.
（2）由（1）得，当0x >时，1x e x >+，易得()22
1x
x e x
x >+，将证()21ln x x e m x x >+，
0x >，转化为证明()2
ln 0x m x x >>，然后分(]0,1x ∈，()1,x ∈+∞，令()2
ln x F x x
=，利用导数结合02m e <<证明即可.
【详解】（1）()'x
x
f x e e -=-，()x
g x e =，
()1x h x e ax =--，()'x h x e a =-，
（i ）0a ≤，()'0h x >，()h x 在(),-∞+∞递增，又()1
110h a e
-=-+<，与题意不符，舍去.
（ii ）0a >，()'0ln h x x a >⇒>；()'0ln h x x a <⇒<，()h x 在(),ln a -∞递减，在
()ln ,a +∞递增，
()()min ln ln 1h x h a a a a ==--，
由已知得10x e ax --≥恒成立， 所以需()min 0h x ≥， 所以需ln 10--≥a a a ①
设()ln 1r a a a a =--，()ln r a a '=-，()001r a a '>⇒<<，()01r a a '<⇒>，
()r a 在()0,1递增，在()1,+∞递减，所以()()max 10r a r ==，即ln 10a a a --≤②
由①②得实数a 的值1. 综上1a =.
（2）由（1）得，当0x >时，10x e x -->，即1x e x >+，()22
1x x e x x >+，
欲证：()21ln x
x e m x x >+，0x >，即证：()()2
11ln x
x m x x +>+，
即证：()2
ln 0x m x x >>.
①当(]0,1x ∈时，20ln x m x >>，
②当()1,x ∈+∞时，令()2
ln x F x x
=，则()2
2ln 'ln x x F x x -=，()'0F x x >⇒>()
'01F x x <⇒<<
()
F x 在(递减，在
)+∞递增，所以1x >时，()2F x F
e ≥=，
由已知02m e <<，故()m F x <，即当()1,x ∈+∞时，2
ln x m x <，所以()1,x ∈+∞时，
2ln x m x >，
综上，0x >时，2ln x m x >恒成立，故()()2
11ln x
x m x x +>+，
()21ln x x e m x x >+成立.
【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立，导数与不等式证明问题，还考查了分类讨论和转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. （二）选考题：共10分. 选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α=+⎧⎨
=⎩
（t 为参数，α为直线l 倾斜
角），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
222
1sin ρθ
=
+.
（1）写出直线l 和曲线1
C 普通方程；
（2）若点()1,0P ，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，且PA PB PA PB ⋅=-，求
tan α.
【答案】（1）l ：1x =或()tan 1y x α=⋅-，2
2:12
x C y +=；（2）
【解析】 【分析】 （1）当2
π
α=
时，直线l 的方程为：1x =，当2
π
α≠
时，联立消去t 即可得到答案；由
222x y ρ=+，sin ,cos x y ρθρθ==直接将极坐标方程化为直角坐标方程. （2）设在直线上A ，B 两点的参数分别为12,t t . 将直线l 的方程1cos sin x t y t α
α=+⎧⎨=⎩
代入
2222x y +=，得到12t t +，12t t ⋅的表达式，然后利用直线上参数的几何意义，由可得
1212PA PB PA t t B t t P =⋅==+-⋅
【详解】解：（1）当2
π
α=
时，直线l 的方程为：1x =，
当2
π
α≠
时，直线l 的方程为：()tan 1y x α=⋅-；
2222222
22sin 221sin x y y ρρρθθ
=
⇒+=⇒++=+，
即：2
212
x y +=.
（2）设在直线上A ，B 两点的参数分别为12,t t . 将直线l
的
方程1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩代入22
22x y +=得：
()2
2
1sin 2cos 10t
t αα++-=，
2480b ac ∆=-=>，1222cos 1sin t t α
α
+=-
+，12
211sin t t α⋅=-+， 所以12,t t 符号相反，则12PA PB t t -=+
PA PB PA PB ⋅=-得1212
222cos 11sin 1sin t t t t ααα
+=-
=⋅=-++， 所以，1
cos tan 2
αα=±
⇒=. 【点睛】本题考查直线的参数方化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程与椭圆联立韦达定理和直线上参数的几何意义的应用，属于中档题,
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数()2
23x x x f =-+.
（1）若2a b +=，求()()f a f b +的最小值； （2）若2x a -<，求证：()()()
42f x f a a -<+. 【答案】（1）4；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）计算得到()()62f a f b ab +=-，消元后利用二次函数的性质可求其最小值. （2）代入计算利用绝对值三角不等式计算得到证明.
【详解】（1）2
2
2
()()2()6()2262f a f b a b a b a b ab ab +=+-++=+-+=-， 因为2a b +=，故()2
()()622246f a f b a a a a +=--=-+，
当1a =时，()()f a f b +有最小值4.
（2）()()()()2f x f a x a x a -=-+-()222244x a a x a a ≤-+-≤-++， 因为2x a -<，故24448x a a a -++<+， 所以()()()
42f x f a a -<+.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、绝对值三角不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力.。