2020-2021学年江苏省扬州市江都区五校九年级(上)期中数学试卷含解析

2020-2021学年江苏省扬州市江都区五校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，摸一次，摸到黑球的概率为（）
A. B. C. D.
2. 数据，，，，的方差是（）
A. B. C. D.
3. 若＝，则关于的一元二次方程＝有一根是（）
A. B. C. D.无法判断
4. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（）
A.人
B.人
C.人
D.人
5. 半径为的中，弦，弦所对的圆周角的度数为（）
A. B.或 C.或 D.或
6. 如图，是的切线，为切点，的延长线交于点，连接，若＝，＝，则等于（）
A. B. C. D.
7. 一元钱硬币的直径为，则用它能全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过
A. B. C. D.
8. 如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且＝，设扇形、、弓形的面积为、、，则它们之间的关系是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 方程的解是________．
10. 设，是方程的两个实数根，则的值为________．
11. 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按、面试按计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩分，面试成绩分，那么孔明的总成绩是________分．12. 已知的半径为，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是________．
13. 圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为________．
14. 圆内接四边形中，，则________．
15. 数据，，，的众数与平均数相同，那么这组数据的中位数是________．
16. 在一个不透明的袋子中装有红，绿，蓝种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，其中红球个，绿球个．任意摸出个球恰好为同色球的概率是________．
17. 如图，一块长宽不等的矩形木板，连接对角线后被分成个区域，分别涂上红、黄、蓝、绿四色，木板中
间装有指针，指针转动停止后，下面两个结论：
（1）指针指向红、蓝区域的概率与指向黄、绿区域的概率相等；
（2）指针指向红、黄区域的概率与指向蓝、绿区域的概率相等．
其中说法正确的是________．
18. 如图，在半圆中为直径，弦，，弧的长度为
________．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19. 解下列方程：
；
．
20. 化简并求值，其中满足．
21. 某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的名选手的决赛成绩如图所示．
根据图示填写下表；
结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
22. 如图，在矩形中，＝，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，交的延长线于点，设
＝．
（1）求线段的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
23. 为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）：
（1）报名参加课外活动小组的学生共有________人，将条形图补充完整；
（2）扇形图中＝________，＝________；
（3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．
24. 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？25. 已知等边内接于，为的直径交线段于点，，交的延长线于点
．
（1）求证：是的切线；
（2）若等边的边长为，求的长．
26. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，请在网格图中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为________；
（2）连接，，则的半径为________（结果保留根号），扇形的圆心角度数为________；
（3）若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为________（结果保留根号）．
27. 已知关于的方程．
求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．
当等腰三角形的边长，另两边的长，恰好是这个方程的两根时，求的周长．
28. 如图，以点为圆心的圆，交轴于，两点（在的左侧），交轴于，两点（在的下方），
，将绕点旋转，得到．
求，两点的坐标；
请在图中画出线段，，并判断四边形的形状（不必证明），求出点的坐标；
动直线从与重合的位置开始绕点顺时针旋转，到与重合时停止，设直线与交点为，点为的中点，过点作于，连接，．请问在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出
的度数；若变化，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.
【答案】
C
【考点】
概率公式
【解答】
解：∵一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，
∴摸一次，摸到黑球的概率为：．
故选．
2.
【答案】
D
【考点】
方差
【解答】
解：数据的平均数，
所以数据的方差．
故选．
3.
【答案】
A
【考点】
一元二次方程的定义解一元二次方程-因式分解法
一元二次方程的解
【解答】
∵＝，
∴＝①
把①代入一元二次方程＝中，得：＝，
＝，
＝，
＝，
∴＝，．
4.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的应用
【解答】
设每轮传染中平均一个人传染了人，则
＝，
解得＝，＝（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
故选：．
5.
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
垂径定理
【解答】
解：如图，作直径，则，
∵，弦，
∴，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角的度数为：或．故选．
6.
【答案】
B
【考点】
切线的性质
【解答】
连接．
∵是的切线，为切点，
∴，
在直角中，＝＝，
则＝＝，
∴＝＝．
7.
【答案】
A
【考点】
特殊角的三角函数值
正多边形和圆
【解答】
解：如图，
∵圆内接半径为，则，
∴，则.
∴能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过.
故选.
8.
【答案】
B
【考点】
扇形面积的计算
【解答】
作交与点，
∵＝，
∴＝，则＝．
∴；
．
在三角形中，＝，
∴，，，
∴，，
，
∴．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9.
【答案】
或
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解答】
解：∵，即，
∴，则或，
解得：或，
故答案为：或．
10.
【答案】
【考点】
根与系数的关系
【解答】
解：∵，是方程的两个实数根，∴，，
则原式．
故答案为：
11.
【答案】
【考点】
加权平均数
【解答】
解：∵笔试按、面试按，
∴总成绩是＝分，
故答案为：．
12.
【答案】
相切或相交
【考点】
直线与圆的位置关系
【解答】
解：当垂直于直线时，即圆心到直线的距离，与直线相切；
当不垂直于直线时，即圆心到直线的距离，与直线相交．
故直线与的位置关系是相切或相交．
故答案为：相切或相交．
13.
【答案】
【考点】
圆锥的计算
【解答】
根据圆锥的侧面积公式：＝＝，
14.
【答案】
【考点】
圆内接四边形的性质
【解答】
解：设为，则为，为，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
则，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：．
15.
【答案】
【考点】
中位数
算术平均数
众数
【解答】
解：数据，，，的众数与平均数相同，可知众数为，则平均数也为，，求得．
将这组数据从小到大重新排列后为：，，，；
最中间的那两个数的平均数即中位数是．
故填．
16. 【答案】
【考点】
列表法与树状图法
【解答】
解：列表如下：
红红红绿绿绿绿绿蓝蓝
红
红、红红、红红、绿红、绿红、绿红、绿红、绿红、蓝红、蓝红
红、红红、红红、绿红、绿红、绿红、绿红、绿红、蓝红、蓝红
红、红红、红红、绿红、绿红、绿红、绿红、绿红、蓝红、蓝绿
绿、红绿、红绿、红绿、绿绿、绿绿、绿绿、绿绿、蓝绿、蓝绿
绿、红绿、红绿、红绿、绿绿、绿绿、绿绿、绿绿、蓝绿、蓝绿
绿、红绿、红绿、红绿、绿绿、绿绿、绿绿、绿绿、蓝绿、蓝绿
绿、红绿、红绿、红绿、绿绿、绿绿、绿绿、绿绿、蓝绿、蓝绿
绿、红绿、红绿、红绿、绿绿、绿绿、绿绿、绿绿、蓝绿、蓝蓝
蓝、红蓝、红蓝、红蓝、绿蓝、绿蓝、绿蓝、绿蓝、绿蓝、蓝蓝
蓝、红蓝、红蓝、红蓝、绿蓝、绿蓝、绿蓝、绿蓝、绿蓝、蓝
由表格可知，共有种等可能结果，其中任意摸出个球恰好为同色球的有种可能结果，∴，
故答案为：．
17.
【答案】
（1）．
【考点】
几何概率
【解答】
解：∵红和蓝颜色与黄和绿颜色的面积相等，
∴指针指向红、蓝区域的概率与指向黄、绿区域的概率相等；
18.
【答案】
【考点】
弧长的计算
勾股定理
圆心角、弧、弦的关系
圆内接四边形的性质
【解答】
解：过点作于，连接、、，如图所示．∵，，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
在中，，
．
在中，．
在中，，
∴弧的长度为．
故答案为．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19.
【答案】
解：，
，
或，
所以，；
，
，所以，．
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
解一元二次方程-公式法
【解答】
解：，
，
或，
所以，；
，
，
所以，．
20.
【答案】
解：原式，
由，即，得到或（舍去），
则时，原式．
【考点】
分式的化简求值
【解答】
解：原式，
由，即，得到或（舍去），
则时，原式．
21.
【答案】
,,
初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
∵，
．∴，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
【考点】
众数
中位数
算术平均数
条形统计图
【解答】
解：填表：初中平均数为：
（分），
众数（分）；
高中五名选手的成绩是：，，，，，
故高中部中位数（分）．
故答案为：
初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
∵，
．∴，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
22.
【答案】
∵在矩形中，＝，＝，
∴＝＝，
∴，
∴＝＝；
∵，
∴＝，
∴＝，
∴图中阴影部分的面积为：
．
【考点】
矩形的性质
扇形面积的计算
含30度角的直角三角形
勾股定理
【解答】
∵在矩形中，＝，＝，
∴＝＝，∴，
∴＝＝；
∵，
∴＝，
∴＝，
∴图中阴影部分的面积为：
．
23.
【答案】
,
树状图分析如下：
∵共有种情况，恰好选中甲、乙的有种，
∴（选中甲、乙）．
【考点】
条形统计图
列表法与树状图法
扇形统计图
【解答】
∵根据两种统计图知地方戏曲的有人，占，
∴报名参加课外活动小组的学生共有＝人，参加民族乐器的有＝人，
统计图为：
∵＝，
∴＝，
＝，
故答案为：，；
树状图分析如下：
∵共有种情况，恰好选中甲、乙的有种，
∴（选中甲、乙）．
24.
【答案】
,
由题意得：，
化简得：，即，
解得：，，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，销售量越高，
∴.
答：每件商品降价元，商场日盈利可达元．
【考点】
一元二次方程的应用
【解答】
解：降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，盈利的金额为（元）. 故答案为：.
由题意得：，
化简得：，即，
解得：，，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，销售量越高，
∴.
答：每件商品降价元，商场日盈利可达元．25.
【答案】
（1）证明：∵等边内接于，
∴，即是的外心，又是的内心，∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵是等边三角形，∴，
连接，如图所示：
则，
∴，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴．
【考点】
切线的判定与性质
等边三角形的判定方法
【解答】
（1）证明：∵等边内接于，
∴，即是的外心，又是的内心，∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵是等边三角形，∴，
连接，如图所示：
则，
∴，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，，，∵，
∴，即，
解得：，
∴．
26.
【答案】
点坐标为；
,
设圆锥的底面半径是，
则，
∴．
即该圆锥的底面半径为．【考点】
圆锥的计算
坐标与图形性质
确定圆的条件
【解答】
点坐标为；
半径为，
∵＝＝，＝＝，＝＝，∴，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝．
∴扇形的圆心角度数为；
设圆锥的底面半径是，
则，
∴．
即该圆锥的底面半径为．
27.
【答案】
证明：∵，
∴方程总有实根；
解：∵两实数根互为相反数，
∴，
解得：；
解：①当时，则，即，
∴，方程可化为，
∴，而，
∴不适合题意舍去；
②当，则，
∴，方程化为，解得，，
∴，
，
当时，同理得，
∴，
综上所述，的周长为．
【考点】
三角形三边关系
根与系数的关系
根的判别式
解一元二次方程-因式分解法
等腰三角形的判定与性质
【解答】
证明：∵，
∴方程总有实根；
解：∵两实数根互为相反数，
∴，
解得：；
解：①当时，则，即，
∴，方程可化为，
∴，而，
∴不适合题意舍去；
②当，则，
∴，方程化为，解得，，∴，
，
当时，同理得，
∴，
综上所述，的周长为．
28.
【答案】
解：连接，如图所示．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵点坐标为，
∴．
∴．
∴．
∴，．
连接，延长交于点，连接、．如图所示，线段、即为所求．
四边形是矩形．
理由如下：
∵由绕点旋转所得，
∴四边形是平行四边形．
∵是的直径，
∴．
∴平行四边形是矩形．
过点作，垂足为，如图所示．
在和中，
∵，，，∴．
∴，．
∴．
∴点的坐标为．
在旋转过程中的大小不变．
∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点是的中点，
∴．
∴点，，，在以点为圆心，为半径的圆上，如图所示．∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴在旋转过程中的大小不变，始终等于．
【考点】
圆的综合题
【解答】
解：连接，如图所示．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵点坐标为，
∴．
∴．
∴．
∴，．
连接，延长交于点，连接、．如图所示，线段、即为所求．
四边形是矩形．
理由如下：
∵由绕点旋转所得，
∴四边形是平行四边形．
∵是的直径，
∴．
∴平行四边形是矩形．
过点作，垂足为，如图所示．
在和中，
∵，，，∴．
∴，．
∴．
∴点的坐标为．
11
在旋转过程中的大小不变．
∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点是的中点，
∴．
∴点，，，在以点为圆心，为半径的圆上，如图所示．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴在旋转过程中的大小不变，始终等于．
12。