固定于P(m,n)×HP(1)的光滑对合
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维普资讯
第２卷 第３ ０ 期
石 家庄铁 道 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
ｖ１ ０ Ｎ． ０ ２ ｏ ． ３
２ ７ 月 ＪＵ ＮＬ Ｆ Ｈ Ｉ Ｈ Ａ Ｇ Ａ Ｗ Ｙ ＮＴ ＵＥ（ＡＵ Ｌ Ｃ ＮＥ Ｓ ．０７ ０ 年９ ＯＲＡ ＩＡ ＵＮ Ｉ Ａ ＳＴＴ ＮＴＲ Ｉ Ｃ ） ｅ ２ ０ Ｏ Ｓ ＪＺ ＲＬ Ｉ Ｉ Ａ ＳＥ ｐ ０
２ 主 要定 理 的证 明
２ １ 引理 与命题 ． ｓ ｑ是 Ｓｅｎｏ 方 。Ｓ ： （ Ａ） “（ Ａ） ２ ０ ｔｅｒｄ平 ｑ ， 一 ， （Ｖ≥ ）表 示一 个 同态 。 ￣３Ｎ ［ ］ 以下 引理 。 ｃ ３有 引理 １ ∈ （ （ ）Ｚ ）为生 成元 ， ｄｍ（ ）＝ Ｓ ）＝Ｓ ）＝ ｑ （ ）＝ ， ： １ ，２ 若 ｉ ４，ｑ（ ｑ（ Ｓ 。 ０ 则
） 上 同调类 生成元 。 是 本文 主要得 到 以下结论 ： 定理 ： （ ， 是 一 个 在 ｒ 闭 光 滑 流 形 上 的 不 平 凡 光 滑 对 合 ， 合 的 不 动 点 集 是 Ｐ（ 凡 Ｘ 设 ） 维 对 ｍ，）
Ｈ （ ） ｍ ＝８ ； Ｐ １， ｋｎ＞ｍ。 为奇数且其 ２幂展开式中不含 ２ 则 （ ， 协边于 ０ 凡 ， ） 。
）＝ 。
收稿 日期 ：０ ７ ０ ０ ２０ — ５—８
作者简介 ： 向红 李普资讯
第 ３期
李 向红 等 ： 固定 于 Ｐ（ ｎ ｍ，）×Ｈ １ Ｐ（ ）的光 滑对 合
６ ７
引理 ２： ０ ∈１ （ （ ） ２ ， 于 Ｆ ＝Ｐ（ ， ）×ｌ １ 上 的 ｋ维法 丛 ． 一 Ｐ（ ｎ 设 ｃ － １， ） 对 １ ４ ｉｎ ｎ ｉ ） Ｐ（ ， ７ ｍ， ）×Ｈ １ ， Ｐ（ ）
和 ∞（ ）代替 ， 得上 同调类 作用 于 Ｍｎ 所 和 同调类所 得 到 的结 果 。
（ ） ｏ 流形 Ｐ ｍ，） Ｐ ｍ，） ２Ｄｌ ｄ （ １ 。 （ １ 是通过把 Ｓ Ｐ １ 的元素（ ｚ 与 （ ，） ７ ， ７ ， ＸＣ （， ７ ） ， ） 一 ； 等同而得到的 ｍ＋ 凡 ２
丛 的 Ｓｉｅ． ｉ ｅ 全 类是 ∞（ ｔｆ１ ｔ ｙ ｅ Ｗｈ ｎ 叼）＝ （ １＋ｃ １＋ｃ＋ｄ ‘１＋口 。 ）（ ）（ ） Ｐ（ ｎ ｍ，）×ＨＰ １ （ ）的切 丛 的 Ｓｅｅ Ｗｈｔｅ ｔｆ１ ｉ ｙ全类 是 ∞（ ） ＝ （ ｉ ｎ ． ｒ １＋ｃ （ ） １＋ｃ＋ｄ （ ） １＋口 。 ） 命题 ： 法丛 叼 的 Ｓｉｅ— ｉ ｅ ｔｆｌ ｔ ｙ全类 ∞（７ ｅ Ｗｈ ｎ ． ， ）＝（ １＋ｃ １＋ｃ ）（ ）（ ＋ｄ ‘１＋口 中 ｔ ￡不 可能都 是奇 数 。 ） 与 证 明 ： 反证 法 ， 用 如果 ｔ ￡都 是奇 数 ， 与
‘
Ｓｅ ｌ ｈｔ ｙ ｔｆ — ｉ ｅ 全类 ∞ 叼 ｉｅＷ ｎ （ ）＝ （ １＋ｃ （ ） １＋ｃ ）（ ＋ｄ ‘１＋ａ ， ｔ 为非负整数。证明过程同文献［ ］ ） ｌ、 ，Ｌ ３。 令 叼 一 Ｐ ｍ，）× Ｐ １ 代表过 Ｐ ｍ， ） Ｐ １ （ ｎ Ｈ （） （ ｎ ×Ｈ （ ）在 上的 ｋ 维法丛， ｋ＝ｒ ｍ＋ ｎ＋ ） 一（ ２ ４ 则法
维流形 。
令 一Ｐ ｍ，） （ 凡 代表过 Ｐ ｍ，） （ 凡 在 上的法丛 ， 据文献［ ］ ２： 当Ｐ ｍ，ｒ ）ｍ ＝８，ｔ ，ｔ ， ≥０ （ ２ ＋１ ， ｔ ＋１８ ＋７ ｔ ８ 为整数 ， ≥０ ｒ 为整数时 ， （／ ∞７ ）＝（ ＋ｃ （ ＋ｃ ） １ ） １ ＋ｄ ‘ 是法丛 的 Ｓ ｅ １ ｉｅ 全类 ， 与 ｔ ｔｆ ． ｔ ｙ ｉ ｅＷｈ ｎ ｚ 都是非 负整数 。而文 中 ｍ ＝８ ， ｋ 凡为奇 数 ， ∞ ）＝ （ 故 （ １＋ ｃ （ ｃ＋ｄ ‘ Ｐ（ 凡 的切 丛 的 Ｓｉｅ— ｉ ｅ ） １＋ ） 是 ｍ， ） ｔｆ Ｗｈｔ ｙ类 ， 中 ｃ∈Ｈ Ｐ（ １ ；２ ｅｌ ｎ 其 （ ｍ，）ｚ ）及 ｄ∈ （ ｍ，） ７ ， Ｐ（ １ ； ７ ，
存 非 整 ￡得 ４ 示 类 ∞．＝ 在 负数 使 第 性 为 ） （ 个 ｉ （ ， ７
由引理 １与引理 ２可 得引 理 ３ 。 引理 ３ 设 ０ ∈ １ （ Ｐ（ ） Ｚ ） ｃ∈Ｈ （ ｍ， ） Ｚ ） ｄ∈ （ ｍ， ） Ｚ ）为生 成元 ， ： ｃ － Ｈ １ ，２ ， １ ４ Ｐ（ ｎ ， ２ ， Ｐ（ ｎ ， ２ 则法 丛 ． ， ７ 的
数 射影 空 间．
关键 词 ： 合 ； 对 协边 ； 不动 点集 ； ｏ Ｄｌ ｄ流形
中图分类 号 ： １９２ 文 献标识 码 ： 文 章编 号 ：６４—３０ ２０ ）３ ０ ６ ４ ０ ８． Ａ １７ ００ （０７ ０ ０６ ０
１ 预 备 知 识
设 （ ， 是一个在 凡 ） 维闭光滑流形上的光滑对合 ， 其不动点集 凡一ｋ 维连通分支为 一， 令 代表 在 上的 ｋ 维法丛 。 本文是在模 ２加群 ｚ 上讨论 的， ２ 所用的符号同文献［ ］ １。 （） １ 根据 文献 ［ ］ 以下著 名结 果 。 １有 预备定理（ ｔ ｇ ｏｎ ｗｋ 公式 ） Ｓ ｎ— ｓｉ ｓｉ ｏ Ｋ ｏ 设 数至多是 凡， 则
…
一 ） ｚ 上的 几 ， 是 个未知量的对称多项式 ， 该多项式的维
） ］：∑ ［
一 １ Ｙ ｎ （＋ ）
ｌ 一
一 ］
（） １
式（ ） １ 是把涉及到的 几 个未知量的初等对称多项式 （ ， （ ） ） Ｙ 和 （） ｚ 分别用示性类 （ ， （ Ｍ） ）
固定于 Ｐ ｍ， （ ）× （ ） ＨＰ １ 的光滑对 合
李 向红 国现 华 吕桂 稳 ， ，
（． １石家庄铁道学院 数理系 ， 河北 石家庄 ０ ０４ ；． 台学院 数学系 ， ５０３２邢 河北 邢 台 ０４０ ） ５０ １
摘要 ： （ ， 设 ）是 一个在 ｒ 闭光滑 流形 上 的不 平凡 光 滑对 合 ， 雏 当不 动 点集 是 Ｐ ｍ，）Ｘ （ 凡 Ｈ １ Ｐ（ ）且 ｍ 与 凡满足一 定条件 时 （ ， 协 边 于零 ， 中 Ｐ（ 凡 ） 其 ｍ，）是 Ｄ ｌ ｏｄ流形 ， （ ）是 四元 １
第２卷 第３ ０ 期
石 家庄铁 道 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
ｖ１ ０ Ｎ． ０ ２ ｏ ． ３
２ ７ 月 ＪＵ ＮＬ Ｆ Ｈ Ｉ Ｈ Ａ Ｇ Ａ Ｗ Ｙ ＮＴ ＵＥ（ＡＵ Ｌ Ｃ ＮＥ Ｓ ．０７ ０ 年９ ＯＲＡ ＩＡ ＵＮ Ｉ Ａ ＳＴＴ ＮＴＲ Ｉ Ｃ ） ｅ ２ ０ Ｏ Ｓ ＪＺ ＲＬ Ｉ Ｉ Ａ ＳＥ ｐ ０
２ 主 要定 理 的证 明
２ １ 引理 与命题 ． ｓ ｑ是 Ｓｅｎｏ 方 。Ｓ ： （ Ａ） “（ Ａ） ２ ０ ｔｅｒｄ平 ｑ ， 一 ， （Ｖ≥ ）表 示一 个 同态 。 ￣３Ｎ ［ ］ 以下 引理 。 ｃ ３有 引理 １ ∈ （ （ ）Ｚ ）为生 成元 ， ｄｍ（ ）＝ Ｓ ）＝Ｓ ）＝ ｑ （ ）＝ ， ： １ ，２ 若 ｉ ４，ｑ（ ｑ（ Ｓ 。 ０ 则
） 上 同调类 生成元 。 是 本文 主要得 到 以下结论 ： 定理 ： （ ， 是 一 个 在 ｒ 闭 光 滑 流 形 上 的 不 平 凡 光 滑 对 合 ， 合 的 不 动 点 集 是 Ｐ（ 凡 Ｘ 设 ） 维 对 ｍ，）
Ｈ （ ） ｍ ＝８ ； Ｐ １， ｋｎ＞ｍ。 为奇数且其 ２幂展开式中不含 ２ 则 （ ， 协边于 ０ 凡 ， ） 。
）＝ 。
收稿 日期 ：０ ７ ０ ０ ２０ — ５—８
作者简介 ： 向红 李普资讯
第 ３期
李 向红 等 ： 固定 于 Ｐ（ ｎ ｍ，）×Ｈ １ Ｐ（ ）的光 滑对 合
６ ７
引理 ２： ０ ∈１ （ （ ） ２ ， 于 Ｆ ＝Ｐ（ ， ）×ｌ １ 上 的 ｋ维法 丛 ． 一 Ｐ（ ｎ 设 ｃ － １， ） 对 １ ４ ｉｎ ｎ ｉ ） Ｐ（ ， ７ ｍ， ）×Ｈ １ ， Ｐ（ ）
和 ∞（ ）代替 ， 得上 同调类 作用 于 Ｍｎ 所 和 同调类所 得 到 的结 果 。
（ ） ｏ 流形 Ｐ ｍ，） Ｐ ｍ，） ２Ｄｌ ｄ （ １ 。 （ １ 是通过把 Ｓ Ｐ １ 的元素（ ｚ 与 （ ，） ７ ， ７ ， ＸＣ （， ７ ） ， ） 一 ； 等同而得到的 ｍ＋ 凡 ２
丛 的 Ｓｉｅ． ｉ ｅ 全 类是 ∞（ ｔｆ１ ｔ ｙ ｅ Ｗｈ ｎ 叼）＝ （ １＋ｃ １＋ｃ＋ｄ ‘１＋口 。 ）（ ）（ ） Ｐ（ ｎ ｍ，）×ＨＰ １ （ ）的切 丛 的 Ｓｅｅ Ｗｈｔｅ ｔｆ１ ｉ ｙ全类 是 ∞（ ） ＝ （ ｉ ｎ ． ｒ １＋ｃ （ ） １＋ｃ＋ｄ （ ） １＋口 。 ） 命题 ： 法丛 叼 的 Ｓｉｅ— ｉ ｅ ｔｆｌ ｔ ｙ全类 ∞（７ ｅ Ｗｈ ｎ ． ， ）＝（ １＋ｃ １＋ｃ ）（ ）（ ＋ｄ ‘１＋口 中 ｔ ￡不 可能都 是奇 数 。 ） 与 证 明 ： 反证 法 ， 用 如果 ｔ ￡都 是奇 数 ， 与
‘
Ｓｅ ｌ ｈｔ ｙ ｔｆ — ｉ ｅ 全类 ∞ 叼 ｉｅＷ ｎ （ ）＝ （ １＋ｃ （ ） １＋ｃ ）（ ＋ｄ ‘１＋ａ ， ｔ 为非负整数。证明过程同文献［ ］ ） ｌ、 ，Ｌ ３。 令 叼 一 Ｐ ｍ，）× Ｐ １ 代表过 Ｐ ｍ， ） Ｐ １ （ ｎ Ｈ （） （ ｎ ×Ｈ （ ）在 上的 ｋ 维法丛， ｋ＝ｒ ｍ＋ ｎ＋ ） 一（ ２ ４ 则法
维流形 。
令 一Ｐ ｍ，） （ 凡 代表过 Ｐ ｍ，） （ 凡 在 上的法丛 ， 据文献［ ］ ２： 当Ｐ ｍ，ｒ ）ｍ ＝８，ｔ ，ｔ ， ≥０ （ ２ ＋１ ， ｔ ＋１８ ＋７ ｔ ８ 为整数 ， ≥０ ｒ 为整数时 ， （／ ∞７ ）＝（ ＋ｃ （ ＋ｃ ） １ ） １ ＋ｄ ‘ 是法丛 的 Ｓ ｅ １ ｉｅ 全类 ， 与 ｔ ｔｆ ． ｔ ｙ ｉ ｅＷｈ ｎ ｚ 都是非 负整数 。而文 中 ｍ ＝８ ， ｋ 凡为奇 数 ， ∞ ）＝ （ 故 （ １＋ ｃ （ ｃ＋ｄ ‘ Ｐ（ 凡 的切 丛 的 Ｓｉｅ— ｉ ｅ ） １＋ ） 是 ｍ， ） ｔｆ Ｗｈｔ ｙ类 ， 中 ｃ∈Ｈ Ｐ（ １ ；２ ｅｌ ｎ 其 （ ｍ，）ｚ ）及 ｄ∈ （ ｍ，） ７ ， Ｐ（ １ ； ７ ，
存 非 整 ￡得 ４ 示 类 ∞．＝ 在 负数 使 第 性 为 ） （ 个 ｉ （ ， ７
由引理 １与引理 ２可 得引 理 ３ 。 引理 ３ 设 ０ ∈ １ （ Ｐ（ ） Ｚ ） ｃ∈Ｈ （ ｍ， ） Ｚ ） ｄ∈ （ ｍ， ） Ｚ ）为生 成元 ， ： ｃ － Ｈ １ ，２ ， １ ４ Ｐ（ ｎ ， ２ ， Ｐ（ ｎ ， ２ 则法 丛 ． ， ７ 的
数 射影 空 间．
关键 词 ： 合 ； 对 协边 ； 不动 点集 ； ｏ Ｄｌ ｄ流形
中图分类 号 ： １９２ 文 献标识 码 ： 文 章编 号 ：６４—３０ ２０ ）３ ０ ６ ４ ０ ８． Ａ １７ ００ （０７ ０ ０６ ０
１ 预 备 知 识
设 （ ， 是一个在 凡 ） 维闭光滑流形上的光滑对合 ， 其不动点集 凡一ｋ 维连通分支为 一， 令 代表 在 上的 ｋ 维法丛 。 本文是在模 ２加群 ｚ 上讨论 的， ２ 所用的符号同文献［ ］ １。 （） １ 根据 文献 ［ ］ 以下著 名结 果 。 １有 预备定理（ ｔ ｇ ｏｎ ｗｋ 公式 ） Ｓ ｎ— ｓｉ ｓｉ ｏ Ｋ ｏ 设 数至多是 凡， 则
…
一 ） ｚ 上的 几 ， 是 个未知量的对称多项式 ， 该多项式的维
） ］：∑ ［
一 １ Ｙ ｎ （＋ ）
ｌ 一
一 ］
（） １
式（ ） １ 是把涉及到的 几 个未知量的初等对称多项式 （ ， （ ） ） Ｙ 和 （） ｚ 分别用示性类 （ ， （ Ｍ） ）
固定于 Ｐ ｍ， （ ）× （ ） ＨＰ １ 的光滑对 合
李 向红 国现 华 吕桂 稳 ， ，
（． １石家庄铁道学院 数理系 ， 河北 石家庄 ０ ０４ ；． 台学院 数学系 ， ５０３２邢 河北 邢 台 ０４０ ） ５０ １
摘要 ： （ ， 设 ）是 一个在 ｒ 闭光滑 流形 上 的不 平凡 光 滑对 合 ， 雏 当不 动 点集 是 Ｐ ｍ，）Ｘ （ 凡 Ｈ １ Ｐ（ ）且 ｍ 与 凡满足一 定条件 时 （ ， 协 边 于零 ， 中 Ｐ（ 凡 ） 其 ｍ，）是 Ｄ ｌ ｏｄ流形 ， （ ）是 四元 １