人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题专项训练学能测试试题

人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 易错题专项训练学能测试试题
一、立体几何多选题
1．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．AM 与D
B ''10 B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B
C
D ''''-的截面面积为92
C ．四面体A C B
D ''的内切球的表面积为
3
π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使
MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||
AM D B AM D B AM D B ''
⋅''<>=
''为
AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，
22215
43
x y =
++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，
10
cos ,10||||58
AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=
==''⨯，故正确.
B ：若N 为C
C '的中点，连接MN ，则有//MN A
D '，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''=
===32
2
， ∴梯形的面积为132932222
S =
⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴118
848323
V =-⨯⨯⨯=
，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323
S π
=⨯⨯⨯⨯=，
∴若其内切圆半径为r ，则有1
8833
3r ⨯⋅=
，即33
r =，所以内切球的表面积为2443
r π
π=
.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且
MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，
构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22
A M C '-
，若(,,0)P x y ，则232
(,,0),(0,22,2),(,,2)22
AM AC AP x y '=-
=-=-，
∴15
cos ||||512
AM
AC MAC AM AC '⋅'∠=
=='⨯，
2222cos ||||
43
AP AC y PAC AP AC x y '
⋅+'∠=
='++⨯，即
222215
5
43
y x y +=
++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若
||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）
A ．点E 的轨迹是一个圆
B ．点F 的轨迹是一个圆
C ．EF 的最小值为21-
D ．A
E 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为21530
+
【答案】ACD 【分析】
对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =
+=，得1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；
选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =
+=，即221|25A E +=，所以1||1A E =，即点E 为在面
1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；
对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以
AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；
对于C:在平面1111D C B A 内，
1A 到直线11B D 的距离为2,d =当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =；故C 正
确； 对于D:
建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D
因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-
设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1
·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩
不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：
22|
||sin |cos ,|||||5315
n AE n AE n AE πθα⎛
⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4
π
θ=时，sin α221530
1515
=
， 故D 正确 故选：CD 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
3．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、
CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平
面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）
A ．AEF 是正三角形
B ．平面AEF ⊥平面CGH
C ．直线CG 与平面AEF 2
D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83
【答案】AC 【分析】
取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点
O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求
出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】
取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ， 在图1中，
A 、
B 、
C 、
D 是正方形EFGH 各边的中点，则
11
22
CH GH EH DH ===，
O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，
平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH 平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，
OH ∴⊥平面ABCD ，
在图1中，设正方形EFGH 的边长为()220a a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ， 在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，
O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=，
所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，
以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、
(),,G a a a 、()0,0,H a .
对于A 选项，由空间中两点间的距离公式可得2AE AF EF a ===，
所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；
对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，
()0,,AF a a =，
由111100
m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪
⎨
⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-，
设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-，
由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--，
()2
2111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；
对于C 选项，6
cos ,23
CG m CG m a CG m
⋅<>=
=
=⨯⋅， 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 6θ=，23cos 1sin θθ=-=，
所以，sin tan 2cos θ
θθ
=
=，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体
1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，
因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，
11211111
113326
A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，
因此，多面体ABCD EFGH -的体积为1110
44463
ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h
l
θ=
（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.
4．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点
C ．1AA 与平面ABC
D 所成角大于45 D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为63
【答案】AC 【分析】
对A ，分别计算()
2
1++AA AB AD 和2
AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接
1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算
10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算
11
,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角
公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】
对A ，由题意，111
11cos602
⋅=⋅=⋅=⨯⨯=
AA AB AA AD AD AB ，所以
()
2
222
1
11112221113262
++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯
=AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，
AC AB AD =+，所以()
2
2
2
2
21113=+=+⋅+=++=AC AB AD
AB AB AD AD ，
所以()()2
2
1
26++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1
A O ，
1
111111
222
=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10
⋅=O AB A ，又因为21111111111110
222222224⎛⎫
⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭
O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，
所以()()2
2
11
=2,=3=
+-=+AD A B A AB AC AB AD D ，
()()2
2
1
1
1
1
1
⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB
AB AD BD ，1116
cos ,23
⋅<>=
=
=⋅B AC D BD BD AC AC
，故D 不正确；对C ，112==AC BD ，在
1A AC 中，111,2,3===A A AC AC ，所以2
2
2
11+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 21∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.
5．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成
SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．存在点E 和某一翻折位置，使得S
B SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBC
C ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°
D ．存在点
E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】
依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则
//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，
计算得到2
cos 3
α=
，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到5
tan θ=
，故D 正确，得到答案. 【详解】
当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面
ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，
这与已知矛盾，故B 错误；
如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，
取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，
1CE BF ==，125DG =
，12cos 5OG α=
，故只需满足12
sin 5
SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：
2
2
2
1213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OM
AB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，
取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，
设OAG OAM θ∠=∠=，8
4
ππθ<<，则22
DAG π
θ∠=-，
tan tan 22DG OG
AG πθθ=
=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5
tan 5
θ=，验证满
足，故D 正确； 故选：ACD .
【点睛】
本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.
6．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）
A ．//OF 平面BCE
B ．BF ⊥平面ADF
C ．点A 到平面CDFE 的距离为
217
D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】
由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；
B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以
AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.
C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 的距离为
21
7
，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D
错误. 【详解】
解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，
OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.
线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，
矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平
面
ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =， 所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.
1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，
BF =2CF ==，
DF ===
2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高
2==，
1
222
CDF S =⨯=
△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC
平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为BF = 11
1122
DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，
设点A 到平面CDFE 的距离为h ，
11
33ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，1113232
h ⨯=⨯，
所以h =
，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，1
2
MO =
，所以MO ⊥平面CDFE ，
所以2
1512ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭
所以M 是三棱锥C BEF -外接球的球心，其半径
5
， 三棱锥C BEF -外接球的体积为3
344
55533V r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】
综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.
7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2
EF =
.则下列结论正确的是（ ）
A ．三棱锥A BEF -的体积为定值
B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小
C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为
12
D ．当
E 与1D 重合时，异面直线AE 与B
F 所成的角为π4
【答案】AC 【分析】
对选项分别作图，研究计算可得.
【详解】
选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，
11122
12224
BEF S EF BB ∆∴=
⋅=⨯⨯=
连接AO 交BD 于点O
由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,
所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即2
2
AO =
11221
3312
A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯=
A BEF V -∴是定值.
选项B:
连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ， 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，
AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AA
A EF
B ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，
在直角三角形1AA M 中，12
tan MAA ∠=为定值. 选项C:
如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221
cos 45222
FT EF =⨯=⨯= 12HG FT ∴==
选项D:
当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B ===+=22
AR = 由余弦定理得13
cos 6
AD R ∠= 故选：AC 【点睛】
本题考查空间几何体性质问题.
求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
8．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )
A ．DP 的最小值为
35
B ．DP 的最小值为5
C ．1AP PC +的最小值为6
D ．1AP PC +的最小值为
170
5
【答案】AD 【分析】
DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.
【详解】
求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2
A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为3
55
h =
，连接111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为
所求的最小值，易知11
1
2
2,2,cos 10
AA AC AAC '
'
==∠=-， 所以217042222()105
AC '=+-⨯⨯⨯-
=. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用旋转求解线段最小值问题.
求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
9．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）
A ．11A C ⊥平面11B
B D D B ．1BD ⊥平面1ACB
C ．1B
D 与底面11BCC B 所成角的正切值是2
D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条 【答案】ABD 【分析】
由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ． 【详解】
对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥， 由于四边形1111D C B A 为正方形，则11
11AC B D ⊥， 1
111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；
对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，
因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，
1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ， 1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，
1AC
B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确；
对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112
tan 2
C D C BD BC ∠=
=，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，
()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，
设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA m DA m DA m
y z ⋅<>=
=
=
⋅++， 1122
111cos ,2
21CB m z
CB m CB m
y z ⋅+<>=
=
=⋅⋅++， 整理可得2222
3
41
y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-+或12z =--，
由已知可得3z ≤，所以，12z =-+，可得22y =±， 因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．
10．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，
下面结论中正确结论的有（ ）
A ．11A D C P ⊥；
B ．当1A P PD +取最小值时，23
λ=
；
C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫
∠∈
⎪⎝
⎭
； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π． 【答案】ABD 【分析】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D. 【详解】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，
()()
10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，
则可解得()1,1,P λλλ--， 对A ，
()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，
()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则
11A D C P ⊥，故A 正确；
对B ，()
()()()
()2
22
2
2
21111111A P PD λλλλλλ+=
--+-+--+-+2
2
2223422333λλλ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭
则当2
3
λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确； 对C ，
()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，
则22
2321
cos 1321
321PA PC
APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅， 01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2
111
123212
λλ-≤-<-+，
即11cos 22APC -≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦
，故C 错误； 对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为
O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，所以222122R R ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得34R =， 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为
94
π，所以D 正确. 故选：ABD.
【点睛】
关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.。