2020年山东省青岛市第二十三中学高三数学理联考试卷含解析

2020年山东省青岛市第二十三中学高三数学理联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线y=m分别与曲线y=2x+3，交于A，B，则的最小值为
A.
3 B． 2 C.
D．
参考答案：
B
2. 如果执行右图的程序框图，输入n=6，m=4．那么输出的p等于
A．720 B．360
C．240 D．120
参考答案：
B
因此选B。

3. 定义两个实数间的一种新运算“*”：.对任意实数，给出如下结论：
①；②；③；
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
D
①项正确，
，
同理；同样可验证②项正确；③项正确，因为，
并且，所以。

4. 已知复数满足，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】A ∵复数z满足（3+4i）z=25，
∴z= 故答案为：A．
【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出．
5. 将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，再向右平移个单位，
所得函数图像的一个对称中心为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍，解析式变为：
，再向右平移个单位，解析式变为，刚好是图像的一个对称中心，故选D．
6. 命题“对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≤0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≥0B．对任意x∈R，都有x2﹣2x+4≤0
C．存在x0∈R，使得x02﹣2x0+4＞0 D．存在x0∈R，使x02﹣2x0+4≤0
参考答案：
C
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得：存在x0∈R，使得x02﹣2x0+4＞0，故选：C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
7. （5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】：向量在几何中的应用；相等向量与相反向量．
【专题】：计算题．
【分析】：根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值
解：由题意，∵，
∴，即，
∴，即
故选A．
【点评】：本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．
8. 甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法为（）
A. 72
B. 36
C. 52
D. 24
参考答案：
B
9. 设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为
的内心，若，则该椭圆的离心率是（▲ ）。

B．C．A．
D．
参考答案：
C
略
10. 已知集合，，
若，则实数的取值范围是（）
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线的准线方程为_____________
参考答案：
x=－1
12. 把函数的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω+φ=__________.
参考答案：
略
13. 已知数列的前项和为，，且点在直线上（1）求k的值；
（2）求证是等比数列；
（3）记为数列的前n项和，求的值.
参考答案：
（3），.
14. ，为复数的共轭复数，则___________．
参考答案：
试题分析：因为，所以，，
.
考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算.
15. 已知正四面体ABCD的棱长为2，E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为．
参考答案：
π
【考点】L3：棱锥的结构特征．
【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是
四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．
【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示
可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
∵正四面体ABCD的棱长为2，
∴正方体的棱长为，
可得外接球半径R满足2R=，解得R=
E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，
截面圆的面积达最小值，
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，
可得截面圆的半径为r==，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=π．
故答案为：π．
16. 坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线上有3个不同的点到曲线的距离等于2，则.
参考答案：
略
17. 已知函数，若，则实数取值范围是
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。

参考答案：
解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，
因此即
①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

MQ为线段OP的垂直平分线，
又
因此M在轴上，此时，记M的坐标为
为分析的变化范围，设为上任意点
由
（即）得，
故的轨迹方程为
②
综合①和②得，点M轨迹E的方程为
（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：
；
当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。

再过H作垂直于的直线，交
因此，（抛物线的性质）。

（该等号仅当重合（或H与D 重合）时取得）。

当时，则
综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为
（3）由图3知，直线的斜率不可能为零。

设
故的方程得：
因判别式
所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。

又由E2和的方程可知，若与E2有交点，
则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。

因此，直线的取值范围是
19. （2017?莆田一模）已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．
（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，
21+a≥2
【解答】解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．
∴当x≤2时，f（x）＞2，6﹣2x＞2，解得x＜2；
当2＜x＜4时，f（x）＞2得2＞2，无解；
当x≥4时，f（x）＞2得2x﹣6＞2，解得＞4．
所以不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．
（2））∵|x﹣4|+|x﹣2|≥2，∴M=2，
∵2x+a≥M的解集包含[0，1]，
∴20+a≥2，21+a≥2，∴a≥1．
故a的取值范围为：[1，+∞）
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于中档题．
20. 设S n为数列{a n}的前n项和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中项为3a2．
（1）求a2；
（2）若{a n}是等比数列，求a n．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】（1）利用已知条件建立方程组，求解健康得答案；
（2）设数列{a n}的公比为q，由a2=2，可得首项与公比，即可求得数列{a n}的通项公式．
【解答】解：（1）由已知得：，
解得a2=2；
（2）设数列{a n}的公比为q，由a2=2，可得．
又S3=7，可知+2+2q=7，∴2q2﹣5q+2=0，解得，q2=2．
①若，∴a1=4，
则．
②若q2=2，∴a1=1，
则．
21. 设函数。

（1）当k>0时，判断上的单调性；
（2）讨论的极值点。

参考答案：
解：
（Ⅰ）当时，在恒成立，
所以在上单调递增.
（Ⅱ）函数的定义域是.
令，得，所以
当时，在没有根，没有极值点；
当时，在有唯一根，
因为在上，在上，
所以是唯一的极小值点.
略
22.
已知数列满足,且对一切,有,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求证：.
参考答案：
解析:(Ⅰ)由①得②②-①得
,∵, ∴.
由,得,两式相减,得
.
∵,∴.当时易
得,,,∴.
从而是等差数列,其首项为,公差,故. (Ⅱ).。