数学_2012年4月江西省八所重点中学高考数学模拟试卷(文科)(含答案)

2012年4月江西省八所重点中学高考数学模拟试卷（文科）
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z =
3+2i 2−3i
，则z 的实部与虚部的和为（ ）
A −1
B 1
C i
D −i
2. 设A ={x|y =ln(2−x)≤2}，集合B ={y|y =e x −1, x ∈R}，则A ∩B 为（ ） A (−1, +∞) B (−∞, 2) C (−1, 2) D [2−e 2, 2)
3. 底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为（ ）
A 2√3
B 3
C √3
D 4
4. “a =0”是“直线l 1：(a +1)x +a 2y −3=0与直线l 2:2x +ay −2a −1=0平行”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 5. 在直角坐标平面内，已知函数f(x)=log a (x +2)+3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则cos 2θ+sin2θ的值等于( ) A −1
2 B 1
2 C 7
10 D −7
10
6. 设函数f(x)={(1
3)x −8(x <0)
√x(x ≥0)
，若f(a)>1，则实数a 的取值范围是（ ）
A (−2, 1)
B (−∞, −2)∪(1, +∞)
C (1, +∞)
D (−∞, −1)∪(0, +∞) 7. 有下面四个判断：
①命题：“设a 、b ∈R ，若a +b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题 ②若“p 或q”为真命题，则p 、q 均为真命题
③命题“∀a 、b ∈R ，a 2+b 2≥2(a −b −1)”的否定是：“∃a 、b ∈R ，a 2+b 2≤2(a −b −1)”
④若函数f(x)=ln(a +
2x+1
)的图象关于原点对称，则a =3
其中正确的个数共有（ ）
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 S 4≥10，S 5≤15，S 7≥21，则a 7的取值区间为（ ）
A (−∞, 7]
B [3, 4]
C [4, 7]
D [3, 7]
9. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x 0叫做函数f(x)的“新不动点”，如果函数g(x)=1
2x 2
（x ∈(0, +∞)），ℎ(x)=sinx +2cosxx ∈(0, π)，φ(x)=e 1−x −2的“新不动点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（ ）
A α<β<γ
B α<γ<β
C γ<α<β
D β<α<γ
10. 设抛物线M:y 2=2px(p >0)的焦点F 是双曲线N ：x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)右焦点．若M 与N 的公共弦AB 恰好过F ，则双曲线N 的离心率e 的值为（ ） A √2 B √2+1 C 3+√2 D 2
二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 某市A ． B ．C 三所学校共有高三文科学生1200人，且A ． B ．C 三校的高三文科学生人数成等差数列，在高三第一学期期末的全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取________人．
12. 已知如图所示的程序框图（未完成），设当箭头a 指向①时，输出的结
果为S =m ，当箭头a 指向②时，输出的结果为S =n ，则m +n 的值为________．
13.
如图是半径为2，圆心角为90∘的直角扇形OAB ，Q 为AB
̂上一点，点P 在扇形内（含边界），且OP →
=tOA →
+(1−t)OB →
(O ≤t ≤1)，则OP →
⋅OQ →
的最大值为________． 14. 半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2，周长C(r)＝2πr ，若将r 看作(0, +∞)上的变量，则
(πr 2)′＝2πr①．
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0, +∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________(4
3πR 3)=4πR 2 ，②式
可以用语言叙述为：________．
15. 在平面直角坐标系中，定义d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|为两点P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)之间的“折线距离”．则圆(x −4)2+(y −3)2=4上一点与直线x +y =0上一点的“折线距离”的最小值是________．
三.解答题
16. 某省重点中学从高二年级学生中随机地抽取120名学生，测得身高情况如下表所示．
（1）请在频率分布表中的①，②位置上填上适当的数据，并补全频率分布直方图； 分组 频数 频率
（2）现从180cm ∼190cm 这些同学中随机地抽取两名，求身高为185cm 以上（包括185cm ）的同学被抽到的概率．
17. 已知函数f(x)=sin(2x +π
3)+sin(2x −π
3)+√3cos2x −m ，x ∈R ，且f(x)的最大值为1．
（1）求m 的值，并求f(x)的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，若f(B)=√3−1，且√3a =b +c ，试判断△ABC 的形状．
18. 如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使|AC|=√6．
(1)求证：面ABEF ⊥面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积． 19. 已知函数f(x)=
e x −a x
，g(x)=alnx +a ．
（1）a =1时，求F(x)=f(x)−g(x)的单调区间；
（2）若x >1时，函数y =f(x)的图象总在函数y =g(x)的图象的上方，求实数a 的取值范围．
20. 已知等差数列{a n }的首项为正整数，公差为正偶数，且a 5≥10，S 15<255． （1）求通项a n ；
（2）若数列a 1，a 3，a b 1，a b 2，a b 3，…a b n ，…，成等比数列，试找出所有的n ∈N ∗，使c n =
b n −14
为正整数，说明你的理由．
21.
已知椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，
右焦点为F ，直线x =
a 2c
与x 轴交于点B 且与直线y =b
a x 交于点C ，点O 为坐标原点OB →
=2OA →
，
OA →
⋅OC →
=8，过点F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ． （1）求椭圆的方程；
（2）求证：N、B、P三点共线；
（3）求△BMN的面积．的最大值．
2012年4月江西省八所重点中学高考数学模拟试卷（文科）答案
1. B
2. C
3. A
4. C
5. A
6. B
7. A
8. D
9. C
10. B
11. 40
12. 20
13. 4
14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
15. 7−2√2
16. 解：（1）设表中的①的数据为m，②的数据为n，
则m=120×0.05=6，n=42
120
=0.35，
则表中的①的数据为6，②的数据为0.35．
作图
（2）记身高在180∼185的人编号a，b，c，d，e，f；
身高在185∼190的人编号1，2，3；
从9人中抽取2人的所有可能情况为：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(a, 1)，
(a, 2)，(a, 3)(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(b, 1)，(b, 2)，(b, 3)(c, d)，(c, e)，(c, f)，(c, 1)，(c, 2)，(c, 3)(d, e)，(d, f)，(d, 1)，(d, 2)，(d, 3)(e, f)，(e, 1)，(e, 2)，
(e, 3)(f, 1)，(f, 2)，(f, 3)(1, 2)，(1, 3)(2, 3)
其中身高为185cm以上（包括185cm）的同学被抽到的情况有21种，
故其概率为P=21
36=7
12
．
17. 解：（1）f(x)=1sin2x+√3cos2x−m=2sin(2x+π
3
)−m…f(x)max=2−m，所以m=1，…
令−π
2+2kπ≤2x+π
3
≤π
2
+2kπ(k∈Z)，
单调增区间为(kπ−5π
12，kπ+π
12
)k∈Z…
（2）因为f(B)=√3−1，则2sin(2B+π
3
)−1=√3−1，
sin(2B+π
3
)=
√3
2
∵ 0<B<π
∴ B=π
6
…
又√3a=b+c，则√3sinA=sinB+sinC，
∴ √3sinA=1
2+sin(5π
6
−A)=1
2
+sin5π
6
cosA−sinAcos5π
6
…
∴ 1
2cosA−√3
2
sinA+1
2
=0
∴ sin(A−π
6)=1
2
，
∴ A=π
3，所以C=π
2
，故△ABC为直角三角形…
18. 解：(1)设原正六边形中，AC∩BE=O，DF∩BE=O′，由正六边形的几何性质,可知OA=OC=√3，
AC⊥BE，DF⊥BE.
∵ OA2+OC2=AC2=6⇒OA⊥OC,
OA⊥OB,OA⊂面ABEF,OA∩OC=O,
∴ OA⊥面BCDE，
∵ OA⊂面ABEF,
∴ 面ABEF⊥面BCDE；
(2)由BE⊥面AOC，BE⊥面FO′D知，面AOC // 面FO′D，
故AOC−FO′D是侧棱长（高）为2的直三棱柱，
且三棱锥B−AOC和E−FO′D为大小相同的三棱锥，
∴ V ABCDEF=2V B−AOC+V AOC−FO′D
=2×1
3
×
1
2
×(√3)2×1+
1
2
×(√3)2×2
=4.
19. 解：（1）a=1时，F(x)=e x−1
x
−lnx−1(x>0)，
则F′(x)=xe x−(e x−1)
x2
−1
x
=(x−1)(e x−1)
x2
…
令F′(x)≥0有：x≤0（舍去）或x≥1；令F′(x)≤0有0≤x≤1…故F(x)的单增区间为[1, +∞)；单减区间为(0, 1]．…
（2）构造F(x)=f(x)−g(x)(x>1)，即F(x)=e x−a
x
−alnx−a(x>1)
则F′(x)=
(x−1)(e x −a)
x 2
．
①当a ≤e 时，e x −a >0成立，则x >1时，F ′(x)>0，即F(x)在(1, +∞)上单增，… 令F(1)=e −a −a ≥0，∴ a ≤12e ，故a ≤1
2e…
②a >e 时，F ′(x)=0有x =1或x =lna >1
令F ′(x)≥0有x ≤1或x ≥lna ；令F ′(x)≤0有1≤x ≤lna… 即F(x)在(1, lna]上单减；在[lna, +∞)上单增…
故F(x)min =F(lna)=−aln(lna)−a >0，∴ a <e 1
e ，舍去… 综上所述，实数a 的取值范围a ≤1
2e…
20. 解：（1）因为a 5≥10，S 15<255，设{a n }的公差为d ，则有{a 1+4d ≥10
15(a 1+a 15)
2
<255
． …
化简可得{−a 1−4d ≤−10
a 1+7d <17
，∴ 3d <7．
再由{a n }的首项为正整数，公差为正偶数，∴ d =2，… ∴ a 1=2…
故a n =2+(n −1)×2，即a n =2n ，n ∈N ∗．… （2）由（1）可知a 1=2，a 3=6， ∴ 公比q =a
3a 1
=3，…
∴ a b n =2⋅3(n+2)−1=2⋅3n+1，又a b n =a 1+(b n −1)×2=2b n ，… ∴ 2⋅3n+1=2b n ，b n =3n+1，故c n =
b n −14
=
3n+1−14
．…
此时当n =1，3，5时符合要求；当n =2，4时不符合要求．
由此可猜想：当且仅当n =2k −1，k ∈N ∗时，C n 为正整数．证明如下：… 逆用等比数列的前n 项和公式有：c n =1
2×
1−3n+11−3
=1
2(1+3+32+⋯+3n )．…
当n =2k ，k ∈N ∗时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时c n ∉N ∗… 当n =2k −1，k ∈N ∗时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时c n ∈N ∗ 故满足要求的所有n 为n =2k −1，k ∈N ∗．…
21. （1）解：因为OB →
=2OA →
，OA →
⋅OC →
=8，所以a 2
c =2a 且a 3
c =8，所以a =2，c =1 所以b =
√a 2
−c 2
=√3，所以椭圆方程为：x 2
4+
y 23
=1…
（2）证明：设直线l:y =k(x −1)，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)
则由{y =k(x −1)3x 2+4y 2
=12，消去y 得(3+4k 2)x −8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1+x 2=8k 2
3+4k 2，x 1x 2=
4k 2−123+4k 2
…
由于P(8−x 1, y 1)，BP →=(4−x 1,y 1)，BN →
=(x 2−4,y 2)，
因为(4−x 1)y 2−(x 2−4)y 1=4(y 1+y 2)−x 1y 2−y 1x 2=4k(x 1+x 2−2)−2kx 1x 2+k(x 1+x 2)=4k(8k 2
3+4k 2−2)−2k 4k 2−123+4k 2
+k 8k 2
3+4k 2=0…
当l ⊥x 轴时，也满足
故BP →
，BN →
共线，所以N 、B 、P 三点共线… （3）解：记d 为B 到l 的距离，则d =
√1+k 2
，|MN|=√1+k 2√(x 1+x 2)−4x 1x 2，…
所以S =1
2d|MN|=3
2|k|√(8k 2
3+4k 2)2−4⋅4k 2−123+4k 2
=9
2√1−8k 2+9
16k 4+24k 2+9<9
2…
当l ⊥x 轴时，S =9
2，…
所以△BMN 的面积的最大值为9
2…。