高三总复习数学课件 幂函数与二次函数

对称性
函数的图象关于直线x＝－2ba对称
[逐点清]
3．(易错题)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝
()
A．－2ba
B．－ba
C．c
D．4ac4－a b2
解析：∵f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，∴x1，x2关于f(x)的对称轴x＝－
2．二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
图象
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
定义域
R
R
值域
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
单调性
在x∈－∞，－2ba上单调递减； 在x∈－2ba，＋∞上单调递增
在x∈－∞，－2ba上单调递增； 在x∈－2ba，＋∞上单调递减
b 2a
对称，∴x1＋x2
＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f－ba＝ba2－ba2＋c＝c．故选C． 答案：C
4．(易错题)已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是
A．[3，＋∞) C．(－∞，－3)
B．(－∞，3] D．(－∞，－3]
()
解析：函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由 函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左 侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D．
重点一 幂函数 1．幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常 数．幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为 1；③只有一项．
2．常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
图象
定义域 R
R
R
{x|x≥0}
幂函数的图象都不经过第四象限，故B正确；y＝x
1 2
的定义域为[0，＋∞)，为非
奇非偶函数，故C错误；y＝
1 x
在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但在定义域
内不是减函数，故D错误．故选A、B．
答案：AB
2．(必修第一册91页习题1题改编)已知α∈ －2，－1，－12，12，1，2，3 ．若幂函 数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．
B．a<b<c
C．b<c<a
D．b<a<c
解析：由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn．又点
(2,8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R 上是增函
数，又ln
π>1>2
1 2
＝
(3)当m＋2 n<－2ba≤n时，最小值为f－2ba，最大值为f(m)； (4)当－2ba>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)．
[提速度]
1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是
A．0，210 C．210，＋∞
B．－∞，－210 D．－210，0
解析：由结论1知aΔ><00，， 即a1>－02，0a<0， 解得a>210． 答案：C
答案：2 2
02
考点 分类突破 课堂讲练
理解透 规律明 变化究其本
幂函数的图象与性质
1．(2022·郑州调研)若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象
是
()
解析：设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，所以2
＝4α，解得α＝
1 2
．所以y＝
答案：D
[记结论] 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”； (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．
2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]： (1)当－2ba≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m<－2ba≤m＋2 n时，最小值为f－2ba，最大值为f(n)；
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
性 奇偶性 奇函数
偶函数
奇 函数
非奇非偶 函数
奇 函数
质
在 (－∞，0]
单调性
在R 上单 调递增
上单调递减； 在 (0，＋∞) 上单调递增
在R 上 单调递 增
在[0，＋∞) 上) 上单调递减
[逐点清]
解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1,1,3．又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0， 取α＝－1． 答案：－1
重点二 二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
1．(多选)(必修第一册91页练习3题改编)下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确
的是
()
A．幂函数的图象都过(1,1)点
B．幂函数的图象都不经过第四象限
C．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D．幂函数必定是增函数或减函数中的一种
解析：因为1α＝1，所以幂函数的图象都经过(1,1)，故A正确；当x>0时，xα>0，
幂函数与二次函数
(1)通过具体实例，理解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
1 x
，y＝
x 的图象，理解它们的变化规律；(3)理解并掌握二次函数的定义、图象及
性质．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1
时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确． 答案：C
2．(2022·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f13，
1
b＝f(ln π)，c＝f(2 2 )，则a，b，c的大小关系是
()
A．a<c<b
()
2．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为 ________．
解析：f(x)＝－2x2＋mx＋3＝－2
x－m4
2＋
m2 8
＋3，∵0≤m≤4，∴0≤
m 4
≤1，
由结论2可知，当x＝m4 时，f(x)取得最大值，∴m82＋3＝4，解得m＝2 2．