2021届高三数学一轮温习《几何概型》理 新人教B版

[第61讲 几何概型]
(时刻：35分钟 分值：80分)
基础热身
1．[2021·武汉武昌区调研] 在区间[—1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )
A.12
B.13
C.33
D.32
2．[2021·衡水一中调研] 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影部份，那么可中奖，小明要想增加中奖机遇，应选择的游戏盘是( )
图K61－1
3．[2021·石家庄质检] 已知函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M ，假设随机向圆O ：x 2＋
y 2＝π2内投入一米粒，那么该米粒落在区域M 内的概率是( )
A.4
π2 B.4
π3 C.2
π2 D.2
π3 图K61－2
4．为了测算如图K61－2所示阴影部份的面积，作一个边长为6的正方形将其包括在内，并向正方形内随机抛掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部份，据此，可估量阴影部份的面积是________________________________________________________________________．
能力提升
5．[2021·邯郸一模] 某人睡午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，那么他等待时刻不多于15分钟的概率为( )
A.12
B.14
C.23
D.34
6．已知长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝1，M 为AB 的中点，那么在此长方形内随机取一点P ，P 与M 的距离小于1的概率为( )
A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 图K61－3
7．[2021·临沂模拟] 扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，
OD ，OE ，从图K61－3中所有的扇形中随机掏出一个，面积恰为π
8
的概率是( )
A.3
10 B.15 C.25 D.1
2
8．[2021·汕头质检] 已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，那么点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y ＋2≥0，
x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概
率为( )
A.316
B.38
C.34
D.1
2
9．[2021·武汉调研] 有一根长为1 m 的细绳索，随机从中间将细绳剪断，那么使两截的长度都大于1
8 m 的
概率为________．
图K61－4
10．图K61－4(2)中实线围成的部份是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．假设向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1
4，那么此长方体的体积
为________．
图K61－5
11．如图K61－5，矩形OABC 内的阴影部份是由曲线f (x )＝sin x ，x ∈(0，π)及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机抛掷一点，假设落在阴影部份的概率为3
16
，那么a 的值是________．
12．(13分)[2021·吉林一模] 记不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≤1，x －y ＋2≥0，x ＋y ＋1≥0
表示的平面区域为M .
(1)画出平面区域M ，并求平面区域M 的面积；
(2)假设点(a ，b )为平面区域M 中任意一点，求直线y ＝ax ＋b 的图象通过第一、二、四象限的概率． 图K61－6 难点突破
13．(12分)[2021·青岛一模] 已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.
(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，别离从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0
内的随机点，
记A ＝{y ＝f (x )有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A 发生的概率．
课时作业(六十一) 【基础热身】
1．C [解析] 由于实验的全数结果组成的区域长度为1－(－1)＝2，圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，要使直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1相交，那么圆心到直线y ＝k (x ＋2)的距离d ＝
|2k |
k 2＋1
≤1，解得－33≤k ≤3
3，依照几何概型的概率公式，可得所求的概率P ＝
2
332＝
33
，应选C.
2．A [解析] 利用几何概型的概率公式，得P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1
3，∴P (A )＞P (C )＝P (D )
＞P (B )，应选A.
3．B [解析] 组成实验的全数区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y ＝sin x (x ∈[－π，π])与x 轴围成
的区域记为M ，依照图形的对称性，得区域M 的面积为S ＝2⎠⎜
⎛0
π
sin x d x ＝－2cos x
⎪
⎪⎪⎪ )π
＝4，因此由几何概
型的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，那么点A 落在区域M 内的概率P ＝
4
π3
，应选B .
4．9 [解析] 点落在阴影部份的频率是200800＝1
4，由于是随机的抛掷点，点落在正方形内各点是随机的，因
此咱们就有理由相信阴影部份的面积确实是整个正方形面积的14，故阴影部份的面积约为1
4
×36＝9.
【能力提升】
5．B [解析] 由题意知问题与时刻长度有关，可作为几何概型求解，因为电台整点报时，那么事件总数包括的时刻长度是60，设事件A 表示“他等待的时刻不多于15分钟”，事件A 包括的时刻长度是15，由几何概型的概率公式取得P(A)＝1560＝1
4
，应选B .
6．C [解析] 组成实验的全数区域为长方形ABCD 的内部，长方形ABCD 的面积为S ＝4×1＝4；以M 点为圆心，以1为半径在长方形ABCD 中作半圆，那么该半圆内的任一点与M 的距离小于1，半圆的面积S 1＝1
2
π·12
＝1
2π，因此P 与M 的距离小于1的概率为π
2
4＝π
8
，应选C . 7．A [解析] 依题意得知，图中共有10个不同的扇形，别离为扇形AOB ，AOC ，AOD ，A OE ，EOB ，EOC ，EOD ，DOC ，DOB ，COB ，其中面积恰为π8的扇形即相应圆心角恰为π
4的扇形共有3个(即扇形AOD ，EOC ，
BOD)，因此所求的概率等于
3
10，应选A .
8.
B [解析] 所求概率为图中阴影部份的面积与正方形面积的比值．正方形的面积为4，阴影部份的面积为正
方形面积减去三个小直角三角形面积所得的差，其值为4－1－1－12＝32，因此所求概率为P ＝32÷4＝3
8
，应选
B .
9.3
4
[解析] 选择长度为相应测度，实验的全数结果组成的区域长度为1，用A 表示事件“两截的长度都大于18 m ”，那么从中间将细绳剪断，剪得两段的长都大于18 m ，临界处为1－18×2＝34
m ，故使两截的长度都大于1
8 m 的概率P(A)＝3
41＝34
. 10．3 [解析] 设长方体的高为h ，那么图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h ，宽为1＋2h ，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h.由几何概型的概率公式知2＋4h
（2＋2h ）（1＋2h ）＝14，得h ＝3，因此长方体的体
积是V ＝1×3＝3.
11.2π3 [解析] 组成实验的全数区域为长方形OABC 的内部，长方形OABC 的面积为S ＝a×8
a
＝8；阴影部
份的面积S 1＝⎠⎜
⎛0
a
sin x d x ＝－cos x
⎪
⎪⎪⎪ )a
＝1－cos a ，由几何概型的概率公式，得 S 1
S ＝3
16，即1－cos a 8＝316，解得cos a ＝－12，那么a 的值是2π
3
.
12．解：(1)如图，△ABC 的内部及其各条边就表示平面区域M ，其中A －32，1
2，B(1，3)，C(1，－2)，
∴平面区域M 的面积为12×52×5＝25
4
.
(2)要使直线y ＝ax ＋b 的图象通过第一、二、四象限，那么a<0，b>0，
又点(a ，b)的区域为M ，故使直线y ＝ax ＋b 的图象通过第一、二、四象限的点(a ，b)的区域为第二象限的阴影部份，故所求的概率为P ＝2－12×1
2×1
254
＝7
25
.
【难点冲破】 13．解：(1)∵函数
f(x)＝ax 2－4bx ＋1
的图象的对称轴为x ＝2b
a
，
要使f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a>0且2b
a
≤1，即2b≤a.
当a ＝1时，b ＝－1；当a ＝2时，b ＝－1，1；当a ＝3时，b ＝－1，1. 记B ＝{函数y ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数}， 那么事件B 包括大体事件的个数是1＋2＋2＝5， ∴P(B)＝5
15＝1
3
.
(2)依条件可知实验的全数结果所组成的区域为Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬
⎪⎫a ＋b －8≤0，
a>0，b>0， 其面积S Ω＝1
2×8×8＝32，
事件A 组成的区域
A ＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫a ＋b －8≤0，
a>0，
b>0，f （1）<0
＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，
a>0，b>0，
a －4
b ＋1<0.
由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，a －4b ＋1＝0，
得交点坐标为315，95，
∴S A ＝12×8－14×315＝961
40，
∴事件A 发生的概率为P(A)＝
S A
S Ω＝961
1 280.。