高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 3.2.2 教

直线的方向向量与直线的向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的
向量表示
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1．用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)直线的方向向量
给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →
＝t a ，这时点P 的位置被t 的值完全确定．当t 在实数集R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是通过点A 且平行于向量a 的一条直线l ，向量a 称为该直线的方向向量．
(2)空间直线的向量参数方程
点A 为直线l 上的一个定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数，以A 为起点作向量AP →＝t a .①
对空间任一个确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →
＝OA →＋t a .② 如果在l 上取AB →＝a ，则②式可化为OP →＝OA →＋tAB →＝OA →＋t (OB →－OA →)，即OP →＝(1－t )OA →＋
tOB →
.③
以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同．
(3)线段AB 的中点M 的向量表达式
设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则OM →＝12
(OA →＋OB →)． 思考1空间一条直线的方向向量唯一吗？
提示：不唯一．
2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)直线与直线平行
设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔v 1∥v 2.
(2)直线与平面平行
已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.
(3)平面与平面平行
已知两个不共线的向量v 1，v 2与平面α共面，则α∥β或α与β重合⇔v 1∥β，且v 2∥β.
思考2如何用向量的方法证明空间中的平行关系？
提示：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量a ∥b ，即a ＝λb (λ∈R )．此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
3．用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角
(1)设两条直线所成的角为θ，则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补；
(2)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，直线l 1与l 2的夹角为θ，则
l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.
思考3两直线所成的角与这两直线方向向量的夹角有何关系？
提示：两直线方向向量的夹角为锐角时，两直线所成的角与其相等，两直线方向向量的夹角为钝角时，两直线所成的角与其互补．
思考4一个平面的法向量是否唯一？
提示：不唯一，一个平面的法向量有无数多个．
5．三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．
思考5三垂线定理及其逆定理有何区别与联系？
提示：联系：都是一面四线，三种垂直关系．
区别：①从条件或结论上看，三垂线定理是“线与射影垂直⇒线与斜线垂直”，而逆定理恰好相反；②从作用上看，三垂线定理是“共面直线垂直⇒异面直线垂直”，而逆定
理恰好相反．。