北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案-2022年最新修改

北师大版九年级上册数学期中考试试题
一、单选题
1．一元二次方程2430x x --=配方后可化为（）
A ．()2
27
x -=B ．()223
x -=C ．()2
27
x +=D ．()2
23
x +=2．若x ＝1是方程x 2﹣ax ﹣1＝0的一个根，则实数a ＝（）
A ．0
B ．﹣1
C ．1
D ．2
3．不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白球，已知红、白球共有60个，同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在1
4
左右，则袋中红球个数可能为（）
A ．30
B ．25
C ．20
D ．15
4．如图，ABCD 中，点F 为AD 上一点，2AF DF =，连结BF ，交AC 于点E ，延长线交
CD 的延长线于点G ，则
EG
BE
的值为（）
A ．
43
B ．
32
C ．3
D ．2
5．如图，在正方形ABCD 中，F 为CD 上一点，AF 交对角线BD 于点E ，过点E 作EG AF ^，交BC 于点G ，连结AG ，交BC 于点H ．现给出下列结论：①AE EG =；②BG DF FG +=；③2AH HE HD =⋅；④若F 为CD 的中点，则2CG BG =．其中正确的有（
）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．46．已知2x ＝3y ，那么下列结论中不正确的是（）
A ．
3
2
x y =B ．
1
2
x y y -=C ．
14
13
x y +=+D ．
5
2
x y y +=7．关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（）
A ．0
B ．﹣1
C ．﹣2
D ．﹣3
8．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（）A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
9．下列命题正确的是（）
A ．任意两个矩形一定相似
B ．相似图形就是位似图形
C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么1
2
AC AB -=D ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
10．如果关于x 的一元二次方程ax 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．a>-1B ．a≥-1
C ．a≥-1且a≠0
D ．a>-1且a≠0
二、填空题11．若
23
a b =，则a b
b +=_________．12．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB BC =；②AB BC ⊥；③AD BC =；④AC BD ⊥；⑤AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率是________．13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，点E 是AD 上的一点，若AE ＝4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ，若G 是的中点，则CM 的长是_____．
14．已知点A 、B 的坐标分别为A （﹣4，2）
、B （﹣1，﹣1），以原点O 为位似中心，按相似比1：2把△ABO 缩小，则点A 的对应点A'的坐标为_____．
15．如图，已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是____．
16．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ：CD ＝2：3，点E 为AD 的中点，BE 的延
长线交AC 于F ，则
AF
FC
为_____．
三、解答题17．解下列方程（1）2250x x +-=（2）2(2)(2)0
x x x -+-=18．有A ，B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2，B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2和2．小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x ，再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为（x ，y ）．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标；（2）求点Q 落在直线y=x-3上的概率．
19．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE=DF （1）求证：▱ABCD 是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD 的面积．
20．某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销售就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元，设该口罩售价为每盒x （60x >）元．（1）用含x 的代数式表示提价后平均每天的销售量为__________盒；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
21．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系y ＝﹣2x ＋80
（1）当销售单价为24元时，销售量为本，每周销售这种纪念册可获利元；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．
（1）求线段CD 的长；
（2）当t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似？（3）当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？
23．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是
；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．24．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，连接AD ，E 是AD 的中点，过点A 作
//BC AF 交BE 的延长线于点F ．
（1）求证：四边形ADCF 是菱形；
（2）若4AC =，5AB =，求四边形ADCF 的面积．
参考答案
1．A 【解析】
利用完全平方公式进行配方即可得．【详解】
解：2430x x --=，
244430x x -+--=，
2(2)70x --=，
2(2)7x -=，
故选：A ．【点睛】
本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．2．A 【分析】
把x ＝1代入方程x²+ax ﹣1＝0得到关于a 的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】
解：把x ＝1代入方程x²+ax ﹣1＝0得1+a ﹣2＝0，解得a ＝0．故选：A ．【点睛】
本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是使得等式左右两边成立的未知数的值是解题关键．3．D 【解析】【分析】
根据利用频率估计概率问题可直接进行求解．【详解】
解：由题意得：1
60154
⨯=；
故选D ．【点睛】
本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．4．B 【解析】【分析】
由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，证明AB ＝AF ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】
解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝3k ，∴3
2EC BC AE AF ==，∴
3
2
EG CE BE AE ==,故选：B ．【点睛】
本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．D 【解析】【分析】
由题意易得∠AEG=∠ABC=90°，进而可得点A 、B 、G 、E 四点共圆，然后可得
∠ABD=∠AGE=45°，则可得①，将△ADF 绕点A 逆时针旋转90°得到ADM △，然后可证AMG AFG ≌，则可判定②，由△HAE ∽△HAD 可判定③，当点F 为CD 的中点可设
DF=FC=1，进而根据勾股定理可进行求解．【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，EG AF ^，
∴,90AB AD BAD ABC ADF AEG =Ð=Ð=Ð=Ð=°，45ABD ADB ∠=∠=︒，∴180ABG AEG Ð+Ð=°，∴点A 、B 、G 、E 四点共圆，∴∠ABD=∠AGE=45°，
∴∠GAE=∠AGE=45°，∴AE EG =，故①正确；
∵∠AHE=∠DHA ，∠HAE=∠HDA=45°，∴△HAE ∽△HAD ，∴
AH HD
HE AH
=，∴2AH HE HD =⋅，故③正确；
将△ADF 绕点A 逆时针旋转90°得到ADM △，如图所示：
∴,,AM AF DAF BAM BM DF =∠=∠=，∵∠GAF=45°，∠MAF=90°，∴∠MAG=∠GAF=45°，∵AG=AG ，∴AMG AFG ≌，∴MG FG =，∵MG BM BG =+，
∴FG DF BG =+，故②正确；
当点F 为CD 的中点时，则设DF=FC=BM=1，则BC=2，∴BM =1，
设BG=x ，则2,1CG x GM x =-=+，
∴在Rt △FCG 中，由勾股定理得：FG ==，
∵MG FG =，
∴()()2
2
121x x +=-+，解得：23
x =
，
∴43
CG =
，∴2CG BG =，故④正确；
综上所述：正确的有①②③④，共4个；故选D ．【点睛】
本题主要考查圆的基本性质、正方形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质、正方形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．6．C 【解析】【分析】
根据内项之积等于外项之积对A 进行判断；根据分比性质对B 进行判断；根据合分比性质对C 进行判断；根据合比性质对D 进行判断．【详解】
解：A ．因为2x ＝3y ，所以3
2
x y =，所以A 选项不符合题意；B ．因为2x ＝3y ，则
32x y =，所以32122x y y --==，所以B 选项不符合题意；C ．因为2x ＝3y ，则32x y =，所以
14
13
x y +≠+，所以B 选项符合题意；D ．因为2x ＝3y ，所以32x y =，则325
22
x y y ++==，所以D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】
本题考查了比例的性质，掌握比例性质是解题的关键．7．B 【解析】【详解】
∵关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣2=0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a ＞﹣11
8
且a≠0，
故选B ．【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练运用判别式的公式是解题的关键．
8．A
【解析】
【详解】
设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，
得x＋1=-1，
解得x=-2．
故选：A．
9．D
【解析】
【分析】
A、两个相似图形不一定是位似图形．
B、利用“对应边的比相等，对应角相等的多边形是相似多边形”进行判断即可．
C、线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
D、根据有两角相等的三角形是相似三角形．
【详解】
解：A、任意两个矩形的对应边不能确定，故任意两个矩形不一定相似，故本选项错误，不符合题意；
B、两个相似图形不一定是位似图形，故错误，不符合题意．
C、如果C是线段AB的黄金分割点，需要（AC＞BC）且使AC是AB和BC的比例中项，AC
AB
D、有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故本选项正确，不符合题意；
故选D．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．D
【解析】
【分析】
根据题意可知Δ＞0，即22−4a×（-1）＞0，解得a>-1，又方程是一元二次方程，故二次项系数不为0，即a≠0，进而即可求解．【详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，
即22−4a×（-1）＞0，解得a>-1，又∵a≠0，∴a>-1且a≠0，故选：D ．【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是注意Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根．11．
53
【解析】【分析】
根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．【详解】
解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得2113
a b +=+，通分得5
3a b b +=．故答案为：5
3
．
【点睛】
本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．12．
2
5
【解析】【分析】
根据菱形的判定定理判断哪个条件合适，然后根据概率公式计算．【详解】
根据菱形的判断，可得①；④能判定平行四边形ABCD 是菱形，∴能判定ABCD 是菱形的概率是
25
，
故答案为：
25
．【点睛】本题考查了菱形的判定，概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
13．32
##1.5【解析】
【分析】
由“ASA”可证△DEG ≌△CFG ，可得DE ＝CF ，EG ＝FG ，由勾股定理可求CF ＝DE ＝3，BH ＝5，通过证明△CFM ∽△BFH ，可得
CM CF BH BF
=，即可求解．【详解】
解：∵矩形ABCD 中，
∴90D DCF ∠=∠=︒，AD=BC ，AB=CD ，
∵G 是CD 的中点，AB ＝8，
∴CG ＝DG ＝12×8＝4，
在△DEG 和△CFG 中，D DCF CG DG DGE CGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△DEG ≌△CFG （ASA ），
∴DE ＝CF ，EG ＝FG ，
设DE ＝x ，
则BF ＝BC+CF ＝AD+CF ＝4+x+x ＝4+2x ，
在Rt △DEG 中，EG
=∴EF ＝
∵FH 垂直平分BE ，
∴BF ＝EF ，
∴4+2x ＝
解得x ＝3，
∴AD ＝AE+DE ＝4+3＝7，
∴BC＝AD＝7，
BF＝4+2x＝10，
如图，连接HE，
∵FH垂直平分BE，
∴BH＝EH，
∵AH2+AE2＝HE2，
∴（8﹣BH）2+16＝BH2，∴BH＝5，
∵AB∥CD，
∴△CFM∽△BFH，
∴CM CF BH BF
=，
∴
3 510 CM
=，
∴CM＝3 2，
故答案为：3 2．
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．
14．（﹣2，1）或（2，﹣1）##（2，-1）或（-2，1）
【解析】
【分析】
利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以1
2
或﹣
1
2
，得出即可．
【详解】
解：∵点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣1），
以原点O 为位似中心，相似比为1
2，把△ABO 缩小，
∴点A 的对应点A'的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【点睛】
本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题的关键．15．
【解析】
【分析】
首先由四边形ABCD 是菱形，求得AC ⊥BD ，OA=12AC ，∠BAC=12∠BAD ，然后在直角三角形AOB 中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB 的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，OA=OC=12AC=12×4=2，∠BAC=12∠BAD=12×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB=
∴BD=2OB=
∴该菱形的面积是：12AC•BD=12×4×
故答案为：【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．
16．2
5【解析】
【分析】
如图，过点D 作DT ∥BF 交AC 于点T ．证明AF ＝FT ，CT ：FT ＝3：2，可得结论．
【详解】
解：如图，过点D 作DT//BF 交AC 于点T
．
∵E 为AD 的中点，
∴AE ＝DE ，
∵EF//DT ，∴1AE AF DE FT
==,∴AF ＝FT ，
∵DT//BF ，∴32
CT CD FT DB ==，∴32CT FT =
，∴2352
AF FC FT FT FT ==+．故答案为：
25
．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．
17．（1
）121;1x x =;(2)122;1
x x ==【解析】
【分析】
（1）用公式法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可.
【详解】
（1）2250x x +-=，
∵a=1,b=2,c=-5,
∴∆=4+20=24>0,
∴x==12
2--±
∴121;1x x ==;
（2）∵2(2)(2)0x x x -+-=,
∴(2)(2)0x x x --+=,
∴x-2=0或2x-2=0，
∴122;1x x ==.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
18．
（1）见解析，Q （1，-1）；Q （1，2）；Q （1，-2）；Q （2，-1）；Q （2，2）；Q （2，-2）；（2）13
．【解析】
【分析】
（1）列出树状图，求出点Q 的所有可能坐标即可；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出落在直线y=x−3上所用点，根据概率公式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）树状图如下：
∴Q 点的所有可能是：Q （1，-1）；Q （1，2）；Q （1，-2）；Q （2，-1）；Q （2，2）；Q （2，-2）
．（2）∵只有Q （1，-2），Q （2，-1）在直线y=x-3上，
∴点Q 落在直线y=x-3上的概率为：26=13
．【点睛】
本题考查的是列表法与树状图法求概率、一次函数图象上点的坐标特征，正确利用树状图得到点QQ 的所有可能坐标是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD=24
【解析】
【分析】
（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=1
2AC=1
2
×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴，∴BD=2BO=8，
∴S
平行四边形ABCD =1
2
×AC×BD=24．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.
20．（2）()2002x -；（2）70元
【解析】
【分析】
（1）先确定提价多少元，乘以2即为减少的数量，与60元时的销售量作差即可；（2）先确定每盒的利润为售价减去进价，乘以销售量即可得到总利润．
【详解】
解：（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：()802602002x x --=-．
故答案是：()2002x -．
（2）根据题意得：()()5020021200x x --=，
整理得：215056000x x -+=．
解得：170x =，280x =．
又 该款口罩的每盒售价不得高于72元，
70x ∴=．
所以要获得1200元利润，应按70元每盒销售．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确理解利润，数量，总利润之间的关系是解题的关键．
21．
（1）32；128；（2）25元【解析】
【分析】
（1）将x ＝24代入题目中的函数解析式，求出相应的y 的值，即此时的销售量，再根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，计算出相应的利润即可；
（2）根据文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润，可以得到关于x 的一元二次方程，然后求解即可，注意要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．
【详解】
解：（1）当x ＝24时，y ＝﹣2×24+80＝﹣48+80＝32，
当x ＝24时，周销售这种纪念册可获利：（24﹣20）×32＝4×32＝128（元），
故答案为：32，128；
（2）由题意可得，
（x ﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得x 1＝25，x 2＝35（舍去），
答：当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是25元．
22．（1）4.8．（2）t 为3或95；（3）当t 为2.4秒或14455秒或2411
秒时，△CPQ 为等腰三角形．【解析】
（1）先根据勾股定理求出AB 的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先用t 表示出DP ，CQ ，CP 的长，再分PQ ⊥CD 与PQ ⊥AC 两种情况进行讨论；（3）根据题意画出图形，分CQ=CP ，PQ=PC ，QC=QP 三种情况进行讨论．
【详解】
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD ⊥AB ，
∴S △ABC=12BC•AC=1
2AB•CD ．
∴CD=68
=10BC AC AB ⋅⨯=4.8．
∴线段CD 的长为4.8．
（2）由题可知有两种情形，
设DP=t ，CQ=t ．则CP=4.8﹣t ．
①当PQ ⊥CD 时，如图a
∵△QCP ∽△△ABC ∴=CQ
CP
AB BC ，即 4.8=106t
t
-，
∴t=3；
②当PQ ⊥AC ，如图b ．
∵△PCQ ∽△ABC ∴CP AB =CQ
BC ，即4.810t
-=6t
，解得t=9
5，
∴当t 为3或9
5时，△CPQ 与△△ABC 相似；
（3）①若CQ=CP ，如图1，
则t=4.8﹣t ．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC ，如图2所示．
∵PQ=PC ，PH ⊥QC ，
∴QH=CH=1
2QC=2t
．
∵△CHP ∽△BCA ．∴=CH CP
BC AB ．= 4.82610t
t -=，解得t=14455
．
③若QC=QP ，
过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如图3所示．
同理可得：t=24
11．
综上所述：当t 为2.4秒或144
55秒或24
11秒时，△CPQ
为等腰三角形．
【点睛】
考点：相似形综合题．
23．（1）1
4；（2）图表见解析，1
3
【解析】
（1）根据概率的意义，从4张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为
14；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再求相应的概率即可．
【详解】
解：（1）从黑2，红3，梅4，方5这4张扑克牌中任摸一张，是红心的可能性为14，故答案为：14
；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果，其中和大于7的有4种，
所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为
412＝13
．【点睛】
本题考查用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法要不重复不遗漏所有可能的结果，概率=所求情况与总情况数之比.
24．
（1）见解析；（2）10【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质结合已知条件得出AFE DBE ∆∆≌，得出AF DB =，从而确定四边形ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD DC =即可；（2）根据菱形的性质以及三角形面积关系可得2ACD ABC ADCF S S S ==△△菱形，即可求解．
【详解】
（1）证明：E 是AD 的中点，
AE DE ∴=，
//AF BC ，
21AFE DBE ∴∠=∠，
在AEF 和DEB 中，
AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()AAS AEF DEB ∴△≌△，
AF DB ∴=，
D Q 是 BC 的中点
DB DC ∴=，
AF DC ∴=，
又//AF BC Q ，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
90BAC ∠=︒ ，D 是BC 的中点，
12
AD BC CD ∴==，∴四边形ADCF 是菱形．
（2）解：D Q 是BC 的中点，
12
ACD ABD ABC S S S ∴==△△△， 四边形ADCF 是菱形，112451022ACD ABC ADCF S S S AC AB ∴===
⨯=⨯⨯=△△菱形．【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等知识，灵活熟练的掌握相关的定理是解题的关键．。