考点13 解直角三角形-2021年中考数学高频考点专题突破(全国通用)(解析版)

考点13. 解直角三角形
知识框架：
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩相交线与平行线三角形的相关概念全等三角形等腰（等边）三角形
基础知识点 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩对顶角和余角、（邻）补角平行线的性质
平行线的判定平行线有关的辅助线问题
三角形的三边关系三角形的内角和与外角三角形中的三条重要线段
全等三角形(SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL)等腰三角形的性质
等腰三角形的判定等边三角形的性质等边三角形的判定
重难点题型 基础知识点：
知识点1-1直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．
知识点1-2锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sin A=；余弦：cos A=；正切：tan A=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
知识点1-3特殊角的三角函数值
知识点1-4解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2；2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sin A=cos B=，cos A=sin B=，tan A=； 4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
知识点1-5解直角三角形的应用
1）．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2）．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3)．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
5．解直角三角形实际应用的一般步骤
1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
重难点题型
考点1.直角三角形的性质
【解题技巧】在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．
1．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC 上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【答案】
【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD．
∵BC＝，∴CD＋2CD＝，∴CD＝，∴DB＝，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
2．（2020·四川乐山市·中考真题）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．
【答案】
【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
【详解】连接CE，设CD=2x，在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，
∴∠D=60º，AD=4x，=，BC==x，3
=x，
∵点E为AD的中点，∴CE=AE=DE==2x，∴ΔCED为等边三角形，∴∠CED=60º，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，∴，
在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30º∴AF平分∠BAE，∴，
∴，∴，故答案为：.
【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
CF AB，以为边作菱形，3．（2020·湖南邵阳市·中考真题）如图，在Rt ABC中，，斜边，过点C作//
若，则Rt ABC的面积为________．
【答案】
【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【详解】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF 为菱形，∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°∴在RT △BHE 中，EH=，根据题意，AB ∥CF ，
根据平行线间的距离处处相等，∴HE=CG=，∴Rt ABC 的面积为．
【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE ，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG ，最终求出直角三角形面积．
4．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．
【详解】如图，作轴于．
由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒，，
，，，，故选B ．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（2020·山东济宁市·中考真题）如图，在△ABC 中点D 为△ABC 的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC 的面积是（ ）
A ．4
B ．2
C ．2
D ．4 【答案】B
【分析】过点B 作BH ⊥CD 于点H ．由点D 为△ABC 的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD ：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC 的面积．
【详解】解：过点B 作BH ⊥CD 于点H ．
∵点D 为△ABC 的内心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD ：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC 的面积为CD•BH=×2×2=2.故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
考点2.勾股定理的应用
【解题技巧】1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
1．（2020·山东威海市·中考真题）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知 ，则图中阴影部分的面积为（）
40
AB cm
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2x＝20，解方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，
∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2x，由题意EH＝20cm，
∴20＝2x，∴x＝5，∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2），故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（2020·山东东营市·中考真题）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图象可知点P沿匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结论．
【详解】由图象可知：点P 在A 上时，CP=AC=13，
点P 在AB 上运动时，在图象上有最低点，即AB 边上的高，为12，
点P 与点B 重合时，CP 即 BC 最长，为13，所以，△ABC 是等腰三角形，
∴AB 的长=22510=⨯= 故选：C
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC 与AC 的长度．
3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连结EF ．已知34AB BC ==，，则EF 的长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．
D ．
【答案】C
【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE ≌△MBE ，设AE 的长度为x ，在Rt △EMD 中，由勾股定理求出DE 的长度，同理在Rt △DNF 中求出DF 的长度，在Rt △DEF 中利用勾股定理即可求出EF 的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=4，∴BD==5，
设AE 的长度为x ，由折叠可得：△ABE ≌△MBE ，
∴EM=AE=x ，DE=4-x ，BM=AB=3，DM=5-3=2，
在Rt △EMD 中，EM 2+DM 2=DE 2，∴x 2+22=（4-x ）2，
解得：x=，ED=4-=，设CF 的长度为y ，
由折叠可得：△CBF ≌△NBF ，∴NF=CF=y ，DF=3-y ，BN=BC=4，DN=5-4=1，
在Rt △DNF 中，DN 2+NF 2=DF 2，∴y 2+12=（3-y ）2，解得：x=，DF=3-=，
在Rt △DEF 中，6==，故答案为：C ． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出DE 和DF 的长度是解题的关键．
4．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3，把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A 'B 'C ' ，则四边形ABC 'A '的面积是 （ ）
A ．15
B ．18
C ．20
D ．22
【答案】A
【分析】在直角三角形ACB 中，可用勾股定理求出BC 边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
【详解】解：在ACB 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB 平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，∴A'C'B 11S =
A'C'B'C'=34622⋅⋅⨯⨯=△， 又∵BB’=3，A’C’= 3，∴ABB'A'
S BB'A'C'339=⨯=⨯=四边形，
∴，故选：A ．
【点睛】本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．
5．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ）
A ．22210(1)x x +=+
B ．222(1)5x x -+=
C ．2225(1)x x +=+
D ．222(1)10x x -+=
【答案】B
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：设芦苇的长度是尺，如下图
则，， 在Rt AOB 中，222OA AB OB +=
即()22215x x -+=故选B ． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键．
6．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）
A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣1
【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……
∴OA n的长度为（）n﹣1，故选：B．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．7．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF4
=，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
8．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为_____．
【答案】4．
【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可.
【详解】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：，
故阴影部分的面积是：，故答案为：4.
【点睛】此题考查勾股定理解三角形，正方形的性质，正确理解正方形的边长3与直角三角形的关系是解题的关键.
考点3.求三角函数值
【解题技巧】（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k （有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k ．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．
1．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD 是直角三角形，90BDA ∠=︒，
，,．选项B 、C 、D 都是错误的，故答案选A ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
2．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC ＝ADC ∠，在Rt △ACB 中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC 的正弦值．
【详解】∵ADC ∠和∠ABC 所对的弧长都是AC ，∴根据圆周角定理知，∠ABC ＝ADC ∠， ∴在Rt △ACB 中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin ∠ABC ＝，∴sin ADC ∠=，故选A ．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求ADC ∠的正弦值转化成求∠ABC 的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
3．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ）
A ．c ＝b sin B
B ．b ＝c sin B
C ．a ＝b tan B
D ．b ＝c tan B 【答案】B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵Rt ABC 中，90C ∠=︒，、、所对的边分别为a 、b 、c
∴，即sin b c B =，则A 选项不成立，B 选项成立
，即tan b a B =，则C 、D 选项均不成立故选：B ．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
4．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，在Rt ACD △中，利用勾股定理求得线段AC 的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则，
∴5AC ==，∴4sin 5
AD ACB AC ∠==，故选：D ． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2020·广西河池市·中考真题）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，∴13AB ==， ∴12sin 13AC B AB =
=．故选：D ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
6．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则cos DCB ∠的值为______．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB ，∠DCB=∠B ，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D 是AB 边的中点，∴DC=DB ，
∴∠DCB=∠B ，AB=2CD=6，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键．
7．（2020·四川南充市·中考真题）如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B
【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，，
∵11113222
ABC S AC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯，∴，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
8．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均
∠的值是（）
在网格交点上，⊙O是的外接圆，则cos BAC
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD===
在Rt△BDC中，cos∠BDC= 由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
考点4. 利用特殊角的三角函数值求值
【解题技巧】锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.
1．（2020·四川中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°．
【答案】
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°
＝﹣2++1﹣2﹣2×＝﹣2．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握运算法则及三角函数值是解题的关键．
2．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）计算；
【答案】
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的规定、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值计算可得；
【详解】解：原式
1
2322020
2
⎛⎫
=--⨯-
⎪
⎝⎭
；
【点睛】本题考查的是实数的运算、，掌握实数的运算法则是解答此题的关键．3．（2020·广西玉林市·中考真题）sin45°的值等于（）
A．1
2B．√2
2
C．√3
2
D．1
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin45°=√2
2
．故选B．
【点睛】容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
4．（2020·天津中考真题）2sin45°的值等于（）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【详解】解：2sin45°=2×故选B
5．（2020·云南昆明市·中考真题）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（）
A．2～3B．3～4C．4～5D．5～6
【答案】B
【分析】用计算器计算得3.464101615……得出答案．
【详解】解：使用计算器计算得，4sin60°≈3.464101615，故选：B．
【点睛】本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
6．（2020·山东淄博市·中考真题）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．
7．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）计算：()2
012sin 60202023π-︒⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭ 【答案】12
【分析】分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可．
【详解】解:原式．
【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数的有关性质，解答关键是根据相关法则进行计算．
考点5. 复杂几何图形中的三角函数问题
1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，，．连接，AC CD ⊥，若，则长度是_________．
【答案】10
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：在Rt ABC 中，
∵12,sin 3
AB AB ACB AC =∠==，∴．
在Rt ADC 中，AD =10．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC 是解决本题的关键．
2．（2020·江苏常州市·中考真题）如图，点C 在线段上，且2AC BC =，分别以、为边在线段的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接、，则_________．
【答案】
【分析】设BC=a ，则AC=2a ，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG 为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a ，则AC=2a
∵正方形ACDE∴=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD= ∴
1
tan
2
CG
CEG
CE
∠===．故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
3．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，点在反比例函数的图像上且横坐标为，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图像相交于点、，则直线与轴所夹锐角的正切值为______．
【答案】
【分析】由题意，先求出点P的坐标，然后表示出点A和点B的坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上且横坐标为，∴点P的坐标为：（1，3），
如图，AP∥x轴，BP∥y轴，∵点A、B在反比例函数的图像上，
∴点A为（），点B为（1，），∴直线与轴所夹锐角的正切值为：
；故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与一次函数的性质进行解题．
4．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB ＝∠AEB ′，∠CEF ＝∠C ′EF ，
∵∠AEB +∠AEB ′+∠CEF +∠C ′EF ＝180°，∴∠AEF ＝∠AEB ′+∠C ′EF ＝90°，
∴AF 2＝AE 2+EF 2＝164﹣20x +x 2+x 2+9＝2x 2﹣20x +173，
∵AF 2＝AD 2+DF 2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x 2﹣20x +173＝125，解得，x ＝4或6，
当x ＝6时，EC ＝EC ′＝6，BE ＝B ′E ＝8﹣6＝2，EC ′＞B ′E ，不合题意，应舍去，
∴CE ＝C ′E ＝4，∴B ′C ′＝B ′E ﹣C ′E ＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B ′＝∠B ＝90°，AB ′＝AB ＝8，∴tan ∠B 'AC ′＝=．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 5．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作AD ON ，交射线于点，过点作DE OC ⊥，交于点．设10OA =，12DE =，则________．
【答案】
【分析】连接AB 交OD 于点H ，过点A 作AG ⊥ON 于点G ，根据等腰三角形的性质得OH ⊥AB ，AH=BH ，从而得四边形ABED 是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG 的值，进而即可求解．
【详解】连接AB 交OD 于点H ，过点A 作AG ⊥ON 于点G ，
由尺规作图步骤，可得：OD 是∠MON 的平分线，OA=OB ，∴OH ⊥AB ，AH=BH ，
∵DE OC ⊥，∴DE ∥AB ，∵AD ON ，∴四边形ABED 是平行四边形，
∴AB=DE=12，∴AH=6，∴8==，
∵OB∙AG=AB∙OH ，∴AG===，∴=．故答案是：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
6．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边上，连接,,AG EG AE ，将和分别沿折叠，使点B ，C 恰好落在上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠=_______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【详解】矩形ABCD中，GC=4，CE =3，∠C=90，∴5
=，
根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，∴∠AGE=90，
∴Rt△EGFRt△EAG，∴，即，∴，
∴DE=，∴，故答案为：．
【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
8．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cos B的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cos B＝＝＝，故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．
△沿直线翻折，点8．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，E是的中点，将ABE
∠的值为（）
B落在点F处，连结，则cos ECF。