2020-2021备战中考数学 一元二次方程组 培优 易错 难题练习(含答案)含答案

2020-2021备战中考数学 一元二次方程组 培优 易错 难题练习(含答案)含答案
一、一元二次方程
1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．
①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣
32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{312a b c c b a
++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=1
2
OB•OC+
1
2
AD•PD+
1
2
(P D+OC)•OD=
111
31+(3
)(3)()
222
x y y x
⨯⨯⨯+++-=
333
222
x y
-+
=2
333
(23)
222
x x x
-+--+=2
39
6
22
x x
--+=2
3375
()
228
x
-++，
∴当x=3
2
-时，
ABCP
S
四边形最大值
=
75
8
，当x=
3
2
-时，223
y x x
=--+=15
4
，此时P
（
3
2
-，15
4
）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
2．已知关于x的方程230
x x a
++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2
(1)320
k x x a
-+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式
2
2
1
6
k
k k
-
+-
的值．
【答案】0.
【解析】
【分析】
由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x1、x2
则
12
12
3
940
x x
x x a
a
+-
⎧
⎪
⎨
⎪-≥
⎩V
＝
＝
＝
，
由条件，知12
1212
11x x
x x x x
+
+==3，
即
33a -=，且94
a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，
Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106
k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178
k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216
k k k -+-无意义. 综上，代数式2216
k k k -+-的值为0 【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，
3．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．
【答案】x 1x 2=1【解析】
试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.
试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，
解得：x 1，x 2=1
4．已知关于x 的一元二次方程()22
2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；
()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．
【答案】（1）134
k ≤
；（2）2k =-． 【解析】
【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】
解：()1Q 关于x 的一元二次方程()22
2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥V ，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，
解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，
()
222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，
221223x x +=Q ， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，
134
k ≤Q ， 4k ∴=舍去，
2k ∴=-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程2
ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0V >，方程有两个不相等的实数根；当0=V ，方程有两个相等的实数根；当0<V ，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
5．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：
【答案】
【解析】
由韦达定理，有，．于是，对正整数，有
原式=
6．关于x 的方程(k －1)x 2+2kx+2=0
（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根．
（2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2+2kx+2=0的两个根，记S=
++ x 1+x 2，S 的值能为2吗？
若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）S 的值能为2，此时k 的值为2．
【解析】
试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
7．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.
由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩
解之得：108a b =⎧⎨=⎩
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=
解之得：12x =，27x =
经检验，12x =，27x =均符合题意
答：x 的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
8．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.
【答案】x 1，x 2
【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
试题解析：(x ＋1)(x －1)＝
x 2-2x-1=0
∵a=1，b=-
c=-1
∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0
∴x=
2b a
-± ∴x
1x 2.
9．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.
【答案】(1)()2
243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】
分析: （1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x1=3
m
，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．
详解: （1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）
=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x=
()() 33
2
m m
m
--±+
，
∴x1=-3
m
，x2=1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【答案】（1）a≤17
4
；（2）x=1或x=2
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；
（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤17
4
；
（2）由（1）可知a≤17
4
，
∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2=0，
解得x=1或x=2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相
等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
【解析】
试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.
试题解析：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
12．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．
【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【解析】
【分析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正
值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．
【详解】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，
根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．
（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，
整理得：a2+75a﹣2500＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），
∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴2--2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
14．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣1
2
）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝3
2
或2．
【解析】
【分析】
（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．
【详解】
（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣1
2
）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程总有实数根；
（2）
() 2k12k3 x=
2
±
＋﹣
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形的三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝3
2
或2．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.
15．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．
(1)若该方程的一个根为1，求k的值；
(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；
（2）求出根的判别式是非负数即可.
【详解】
(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，
1﹣k﹣3+3k＝0
解得k＝1；
(2)证明：
1,(3),3
a b k c k
==-+=
24
b ac
∆=-
Q
∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，
所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.。