实数指数幂及运算法则教案

实数指数幂及运算法则
一、教学目标
知识目标：1、掌握实数指数幂的运算法则；
2、会用实数指数幂运算法则进行化简；
3、能运用实数指数幂的运算法则及分数指数幂和根式之间的互化进行计算； 能力目标：1、培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力； 2、培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神； 3、培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题； 二、教学重点、难点
1、重点 实数指数幂的运算法则及应用
2、难点 运用实数指数幂的运算法则及分数指数幂和根式之间的互化进行计算 三．学法与教具：
1．学法：讲授法、讨论法. 2．教具：投影仪 四、教学过程 1、温知
（1）0
a =1（非零数的零次方等于1）
1
n n
a a -=
（一个非零数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数）
（2m n
a （根式与分数指数幂的互化）
练：将下列各根式写成分数指数幂的形式：（1
（2
将下列各分数指数幂写成根式的形式：（1）3
2
3； （2）25
8
-
2、新课
•
=3，即1
2
3•12
3=1122
3
+；
4
=9，即14
2
(3)=2
3=142
3
⨯；
……
猜想：有理数指数幂的运算法则与整数指数幂的运算法则完全相同． 可以证明对有理数指数幂，原整数指数幂的运算法则保持不变，即 （1）r
s
r s
a a a +=（a>0,r,s ∈Q ）;
同底数幂相乘，底数不变，指数相加. (2) ()r s
rs
a a =（a>0,r,s ∈Q ）; 幂的乘方，底数不变，指数相乘. (3) ()r
r r
ab a b =（a>0,b>0,r ∈Q ）;
积的乘方，等于把积的各个因式分别乘方.
显然，整数指数幂的运算法则是有理数指数幂运算法则的特殊情况.
3、知识巩固
例１求下列各式的值：
（1）
2
3
8；（2）
3
4
81
16
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；（3）
3
4
16-；（4）3
•
•
•
解：分析先将根式转化为分数指数幂，在计算会更简便快捷.
（1）
2
3
8=
2
33
(2)=
2
3
3
2⨯=22=4；
（2）
3
4
81
16
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
3
44
3
2
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
=
3
4
4
3
2
⨯
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
3
3
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
27
8
；
（3）
3
4
16-=
3
44
(2)-=
3
4()
4
2⨯-=3
2-=
1
8
；
（4）3
•
•
•=（4）13•
1
2
3•
1
3
3•
1
6
3=
111
1
236
3+++=23=9.
练一练求值：
（1）
1
2
0.01；（2）
1
2
32-；（3）
1
2
64
121
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；（4）
2
3
27.
解：（1）
1
2
0.01=()
1
22
0.1
⎡⎤
⎣⎦=
1
2
2
0.1⨯=；
（2）
1
5
32-=
1
55
(2)-=
1
5()
5
2⨯-=1
2-=
1
2
；
（3）
1
2
64
121
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
1
22
8
11
-
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
=
1
2()
2
8
11
⨯-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
1
8
11
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=
11
8
；
（4）
2
3
27=
2
33
(3)=
2
3
3
3⨯=23=9.
例2计算下列各式(a>0,b>0):
（1
）
a
；（2）
2
1
3
3
2
15(3)
a b a b-
÷.
解：分析系数与系数做运算；同底的幂按法则进行运算；不同底的幂不进行运算.
（1
=
2
1
3
a a-=
2
1
3
a-=
1
3
a-；
(2)
2
1
3
3
2
15(3)
a b a b-
÷=
1
2
2
3
3
15
3
a b
a b-
=
12
1(3)
23
5a b
-
--=
1
4
6
5a b
-
.
练一练
化简下列各式（a>0）：
（1
•（2
•
解：（1
•
11
34
a a
•=
11
34
a+=
7
12
a；
（2
•
23
32
a a
•=
23
32
a+=
49
6
a
+
=
13
6
a.
实际上，当底数大于0时，我们可以将指数的取值范围由有理数推广到实数.有理数指数幂和无理数指数幂统称为实数指数幂.有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂. 4、小结
（1）实数指数幂的运算法则
r s r s
a a a+
=（a>0,r,s∈Q）;
()r s rs
a a
=（a>0,r,s∈Q）;
()r r r
ab a b
=（a>0,b>0,r∈Q）;
（2）化简要遵循运算顺序进行，一般“先括号里再括号外，先乘方再乘除，最后加减”；
如果有根式，先把根式化成分数指数幂在进行化简；
5、作业
练习 1、2。