2021_2022学年高中数学课时分层作业10(含解析)苏教版选修2_2

课时分层作业(十)
(建议用时：60分钟)
[根底达标练]
一、选择题
1．复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚局部别是2和3，那么实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C ．±2，5
D ．±2，1 C [令⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.]
2．如果C ，R ，I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么
( )
A ．C ＝R ∪I
B ．R ∪I ＝{0}
C ．R ＝C ∩I
D ．R ∩I ＝∅
D [复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R ∩I ＝∅，应选D.]
3．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )
A ．3－3i
B ．3＋i
C ．－2＋2i D.2＋2i A [3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，应选A.]
4．假设x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，那么复数x ＋y i ＝( )
A ．－2＋i
B ．2＋i
C ．1－2i
D ．1＋2i B [由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，那么由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要
条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.]
5．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数〞的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [因为a ，b ∈R ，“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数〞．“复数a ＋b i 是纯虚数〞那么“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数〞的必要不充分条件．]
二、填空题
6．复数3＋i i 2(i 为虚数单位)的实部等于________． －3 [3＋i i 2＝3＋i －1
＝－3－i ，其实部为－3.] 7．假设log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，那么实数x 的值为________．
－2 [⎩
⎪⎨⎪⎧ log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)>1，∴x ＝－2.] 8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么m ＝________.
－2 [复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2. 故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数．]
三、解答题
9．m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)，
(1)写出复数z 的代数形式；
(2)当m 为何值时，z ＝0？当m 为何值时，z 是纯虚数？
[解] (1)复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)
＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，
即复数z 的代数形式为z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.
(2)假设z ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2＝0，
解得m ＝2.
假设z 为纯虚数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＋2≠0，2m 2－3m －2＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧ m ≠2且m ≠1，m ＝2或m ＝－12，
即m ＝－12. 10．关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值．
[解] 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.
由两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0.
解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2.
∴实数k 的值为±2 2.
[能力提升练]
1．假设复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，那么tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( ) A ．－7
B ．－17
C ．7
D ．－7或－17 A [∵复数z 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，
∴sin θ＝35且cos θ≠45
， ∴cos θ＝－45
. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－34
. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34
＝－7，应选A.] 2．关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，那么复数z ＝
( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．－3－i
D ．－3＋i B [由题意，知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，
即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.
所以⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1.
所以z ＝3－i.]
3．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2
)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，那么λ的取值范围为________．
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 [由复数相等的充要条件可得⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)
－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2 θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，7.] 4．假设复数z ＝m －3m ＋2＋m 2－m i(m ∈R )是虚数，那么实数m 的取值范围是________． (－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞) [∵复数z ＝
m －3m ＋2＋m 2－m i(m ∈R )是虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2≠0，m 2－m >0，
解得m >1或m <0且m ≠－2.
故实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞)．]
5．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2
－5m ＋4)i ，假设z 1<z 2，求实数m 的取值范围．
[解] 由于z 1<z 2，m ∈R ，
∴z 1∈R 且z 2∈R ，
当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.
当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4，
∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.
∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.。