36668_《直接证明与间接证明》同步练习3(人教A版选修2-2)

高中新课标数学选修（2-2）直接证明与间接证明测试题
一、选择题
1．用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（ ）
Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾
Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾
Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件
答案：Ｂ
21>．
11，即证75111+>+，
，3511>∵，∴原不等式成立．
以上证明应用了（ ）
Ａ．分析法
Ｂ．综合法 Ｃ．分析法与综合法配合使用 Ｄ．间接证法 答案：Ａ
3．若π04αβ<<<
，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（ ） Ａ．a b <
Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab > 答案：Ａ
4．设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a
+++
，，（ ） Ａ．都大于2
Ｂ．至少有一个大于2
Ｃ．至少有一个不大于2
Ｄ．至少有一个不大于2
答案：Ｃ
5．若01a <<，01b <<且a b ≠，则在a b +，22a b +和2ab 中最大的是（ ）
Ａ．a b +
Ｂ． Ｃ．22a b + Ｄ．2ab 答案：A
6．已知函数1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭
，则A B C ，，的大小关系（ ）
Ａ．A B C ≤≤
Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤ 答案：Ａ
二、填空题
7．设000a b c >>>，，，若1a b c ++=，则
111a b c
++≥ ． 答案：9
8．sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-°°°°°°
的值为 ．
答案：29．不共面的三条直线a b c ，，相交于P A a B a C b D c ∈∈∈∈，，，，，则直线AD 与BC 的位置关系是 ．
答案：异面直线
10．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≥． 证明过程如下：
∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=， 110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a b c c
+-=>， 111111b c a b c a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴．
8a c a b b c ++=·， 当且仅当a b c ==时取等号，∴不等式成立．
这种证法是 ．（综合法、分析法或反证法）
答案：综合法
11．三次函数3()1f x ax =-在()-+，∞∞内是减函数，则a 的取值范围是 ． 答案：0a <
12．设向量(21)(1)()λλ=-=-∈R ，，，a b ，若向量a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为 ． 答案：12(2)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，
，∞ 三、解答题
13．设函数()f x 对任意x y ∈R ，，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <．
（1）证明()f x 为奇函数；
（2）证明()f x 在R 上为减函数．
证明：（1）x y ∈R ，∵，()()()f x y f x f y +=+，
∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，
(0)0f =∴，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，
得(0)()()f f x f x =+-，
而(0)0f =，()()f x f x -=-∴()x ∈R ，
()f x ∴是奇函数；
（2）任取12x x ∈R ，，且12x x <，则210x x x ∆=->，
21()()0f x f x x ∆=-<∴．
又2121()()()f x x f x f x -=+-，
()f x ∵为奇函数，11()()f x f x -=-∴，
21()()()0f x f x f x =-<∴，即21()()0f x f x -<，
()f x ∴在R 上是减函数．
14．用分析法证明：若0a >12a a +-．
12a a
++≥ 0a >∵，∴两边均大于零．
因此只需证2222111422a a a a a a ⎫++++++++⎪⎭，
只需证1a a ⎫+⎪⎭
，
只需证2212a a ++，即证2212a a +≥ 而2212a a
+≥显然成立，∴原不等式成立． 15．若x y z ，，均为实数，且2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π26c z x =-+． 求证：a b c ，，中至少有一个大于零．
证明：（反证法）假设a b c ，，都不大于0，即000a b c ，，≤≤≤，则0a b c ++≤． 由2π22a x y =-+，2π23b y z =-+，2π23
c z z =-+， 得222(1)(1)(1)π3π30a b c x y z ++=-+-+-+-->≥，
即0a b c ++>与0a b c ++≤矛盾．
所以假设不成立，即a b c ，，中至少有一个大于零．。