【志鸿全优设计】2013-2014学年八年级数学上册 第十五章 15.1 分 式例题与讲解 新人教版

15.1 分 式
1．分式的概念
(1)概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B ．中含有字母．．．．．，那么式子A
B
叫做分式． (2)三个要素(条件)： ①形如A B
的式子； ②A ，B 为整式； ③分母B 中含有字母． 这三个条件缺一不可．
破疑点区分整式与分式 整式和分式的区别在于分式的分母中含有字母．因此，在判断一个式子是否是分式时，只看未化简的式子的分母中是否含有字母，即分母中含有字母的为分式．
【例1】在下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
x 3，4x ，y －2y ，y x －y ，ab 2，3π，－x －y x ＋y
. 解：分式有：4x ，y －2y ，y x －y ，－x －y x ＋y
；
整式有：x 3，ab 2，3
π
.
2．分式有意义的条件
(1)分式有意义的条件：分母不等于零(因为0不能作除数，所以分式有意义的条件是分母不等于零)．
(2)分式无意义的条件：分母等于零． (3)分式的值为零的条件：
分子等于零，分母不等于零．二者缺一不可． 分式的值为零，千万不要忽视分母不为零这个条件.
谈重点分式有意义的理解 (1)分式与分数不同，因为分数的分母是一个具体的数，是否为零，一目了然，而要明确分式是否有意义，需要分析、讨论分母中所含有的字母的取值X 围，以免分母为零的情况发生．(2)必须在分式有意义的前提下，才能计算分式的值是多少；也必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值等于零的条件．
【例2】下列分式中，当x 取何值时，分式有意义？当x 取何值时，分式的值为零？ (1)
x －1x 2
＋1；(2)3x ＋12x －3；(3)|x |－2x ＋2；(4)2
x 2＋5
. 解：(1)对于一切实数x ，x 2
≥0恒成立，所以x 2
＋1＞0.所以无论x 为何实数，分式x －1
x 2＋1
都有意义．
由⎩
⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x 2＋1≠0，得x ＝1，所以当x ＝1时，分式x －1x 2＋1的值为零．
(2)由分母2x －3≠0，得x ≠32，所以当x ≠32时，分式3x ＋1
2x －3
有意义．
由⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋1＝0，2x －3≠0，得x ＝－13，所以当x ＝－13时，分式3x ＋1
2x －3的值为零．
(3)由分母x ＋2≠0，得x ≠－2，所以当x ≠－2时，分式|x |－2
x ＋2
有意义．
由⎩
⎪⎨⎪⎧|x |－2＝0，x ＋2≠0，得x ＝2，所以当x ＝2时，分式|x |－2x ＋2的值为零．
(4)因为对于一切实数x ，x 2≥0，所以x 2
＋5＞0恒成立，所以无论x 为何实数，分式2
x 2
＋5
都有意义．
因为分子2≠0，所以分式的值不可能为零，即使该分式的值为零的x 的值不存在． 3.分式的基本性质
(1)意义：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变； (2)用式子表示：
A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C
(其中C 是不等于0的整式)． 谈重点：分式的基本性质的理解 分式的基本性质应注意“同”的含义，“同”字的意思是分子与分母都乘以(或除以)的整式是同一个整式．
【例3】填空：
①y 3x ＝（ ）3x 2
y
； ②x
x ＋y ＝x ·（ ）（x ＋y ）·（ ）＝xy ＋x 2（ ）
； ③7xy 5x 2
y ＝7
（ ）
； ④
1a －b ＝（ ）（a －b ）·（ ）＝a ＋b （ ）
. 解析：①将分式y
3x 的分母乘以xy ，才能得到3x 2
y ，因此只有分子也同乘以xy ，分式的
值才能不变．
②根据分式的基本性质分子、分母同时乘以(x ＋y )，值不变，且最后结果的分子是xy ＋x 2
；
③分子、分母同时除以xy ； ④分子、分母同时乘以(a ＋b )．
答案：①xy 2
②x ＋yx ＋yx 2
＋2xy ＋y 2
③5x ④a ＋ba ＋ba 2
－b 2
4．分式的约分、最简分式
(1)分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做分式的约分．
(2)分式约分的根据：分式的基本性质．
(3)最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式． 析规律分式约分的方法 约分的方法：(1)先确定分子、分母的公因式：①当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积；②当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再根据以前所学的确定公因式的方法，确定公因式．(2)根据分式基本性质，分子分母都除以它们的公因式．
【例4】把下列分式约分：
(1)－36xy 2z 3
6yz 2
；(2)8－2m m 2－16；(3)a 2
－4a ＋4a 2－4
. 分析：(1)公因式是6yz 2
，分子、分母同除以6yz 2
；(2)因式分解后得公因式是(m －4)，所以分子、分母同除以(m －4)；(3)分解因式后得到的公因式是(a －2)，所以分子、分母同
除以(a －2)．
解：(1)－36xy 2z 3
6yz 2＝（－36xy 2z 3
）÷（6yz 2
）
（6yz 2）÷（6yz 2
）＝－6xyz ； (2)
8－2m m 2
－16＝－2（m －4）（m ＋4）（m －4）＝－2m ＋4
； (3)a 2－4a ＋4a 2－4＝（a －2）2
（a ＋2）（a －2）＝a －2a ＋2
.
5．分式的通分、最简公分母
(1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分．
(2)通分的根据：分式的基本性质．
(3)最简公分母：异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
析规律确定最简公分母 (1)分母都是单项式时，①取所有分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取分母中所有字母因式的最高次幂的积作为最简公分母的字母部分．
(2)分母是多项式时，先因式分解，再确定最简公分母． 【例5】通分：
(1)13x 2，512xy ；(2)b 3a ，－ab 2c ；(3)1x 2＋x ，1x 2－x
. 分析：(1)最简公分母是12x 2y ，所以分式13x 2的分子、分母都乘以12x 2y 与3x 2
的商4y ，
分式512xy
的分子、分母都乘以12x 2
y 与12xy 的商x ，即化为同分母的分数．
(2)最简公分母是6ac ，把分式b 3a 的分子、分母都乘以2c ，把分式－ab
2c 的分子、分母都
乘以3a ，即可化为同分母分数．
(3)先将分母x 2
＋x 和x 2
－x 因式分解，确定最简公分母为x (x ＋1)(x －1)，把分式1x 2
＋x
的分子、分母都乘以(x －1)，把分式1
x 2－x
的分子、分母都乘以(x ＋1)，即可化为同分母分数．
解：(1)13x 2＝4y 3x 2×4y ＝4y
12x 2y
，
512xy ＝5·x 12xy ·x ＝5x 12x 2y
； (2)b 3a ＝b ·2c 3a ·2c ＝2bc 6ac
， －ab 2c ＝－ab ·3a 2c ·3a ＝－3a 2
b 6ac
； (3)
1x 2
＋x ＝x －1
x （x ＋1）（x －1）
， 1x 2
－x ＝x ＋1x （x ＋1）（x －1）
.
6．分式中的符号变化问题
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，即“符号变其二，分式值不变”．
分式的符号变化规律 解决此类问题，首先判断分子与分母的最高次项的符号，若分子或分母的最高次项的系数是负数，则把分子或分母的各项放到括号前是“－”号的括号内，注意放到括号内的各项都要变号，再根据分式的符号变化规律解决问题．
7．分式中的分数化为整数
当分式的分子和分母中含有分数系数时，需要根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数(分子、分母的分数系数的最小公倍数)，使分子、分母中的系数全都化为整数．
8．分式的应用
在实际问题中，根据题意列出分式，再根据分式的基本性质，把分式约分或通分，从而来解决有关分式的实际问题．要注意实际问题中的数量关系，这是解决应用题的关键．, 【例6－1】下列变形正确的是( )．
A.－a ＋b c ＝－a ＋b
c
B.
a －
b －
c ＝－－a
b －c
C.
－a ＋b －a －b ＝－－a ＋b
－a ＋b
D.－a －b －a ＋b ＝a ＋b a －b
答案：D
【例6－2】不改变分式的符号，使分式2－3x 3
3－b
3的分子、分母最高次项的系数为正数．
解：2－3x 33－b 3＝－（3x 3－2）－（b 3
－3）＝3x 3
－2b 3－3
. 【例7】将分式的分子和分母中的分数系数都化为整数．
解：＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫15x －12y ×60⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x ＋23y ×60＝12x －30y 15x ＋40y .
【例8】甲、乙两地相距270千米，自行车与汽车都是从甲地驶往乙地，自行车的速度是x 千米/时，汽车的速度是自行车的5倍，问自行车所用的时间是汽车所用时间的几倍？
解：根据题意得，汽车的速度是5x 千米/时．
270x ÷2705x ＝270
x
270
5x
＝5. 故自行车所用的时间是汽车所用时间的5倍．
9．求分式的值
由已知条件，根据分式的基本性质，适当把分式进行变形，使变形后的分式出现已知条件的形式，然后把已知条件代入变形后的分式，来求分式的值．若已知条件是分式的形式，常常把要求值的分式的分子、分母同除以一个适当式子进行变形，使要求值的分式出现已知的形式．有的还要把已知条件变形．
【例9】已知x y ＝3，求x 2＋2xy －3y 2
x 2－xy ＋y 2
的值．
分析：由已知条件可知，y ≠0.利用分式的基本性质，用y 2
去除待求式的分子与分母，再将其变形，使之出现条件式x
y ，把x y
＝3代入即可求解．
解：x 2＋2xy －3y 2
x 2－xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x y 2
＋2x y －3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x y 2－x y ＋1
＝
9＋6－39－3＋1＝12
7
.
10.分式中的创新题
在分式的求值问题中，经常运用整体思想解决问题．当已知条件与要求的分式形式上有
些相似，但又有区别时，要灵活运用整体思想，把已知条件或要求的分式进行变形，把已知条件整体转化．
【例10】如果a －1a ＝32，求a ＋1
a
的值．
解：因为a －1a ＝32，两边平方，得a 2
＋1a 2－2＝94，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2
－4＝94，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2
＝254.
所以a ＋1a ＝±52.。