(必考题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．在平面直角坐标系中，AB 是单位圆上的一段弧(如右图)，点P 是圆弧AB 上的动点，角α以Ox 为始边，OP 为终边．以下结论正确的是（ ）
A ．tan α<cos α<sin α
B ．cos α<tan α<sin α
C ．sin α<cos α<tan α
D ．以上答案都不对
2．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45
-
B ．
35
C ．
35
D ．
45
3．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．3
x π
=-
是()f x 图像的一条对称轴
B ．()f x 图像的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈
⎪⎝
⎭ C ．()1f x ≥的解集为44,4,3k k k Z πππ⎡
⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．()f x 的单调递减区间为282,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦
4．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，且其相邻对称轴间的距离为
23π
，将函数()f x 的图象向左平移3
π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A ．()f x 的最小正周期23
T π
= B ．58
πϕ=-
C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．()g x 在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5．设函数()cos 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个对称中心为5,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B ．()f x 的图象关于直线116
x π
=
对称 C ．()f x π+的一个零点为12
x π
=
D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减 6．己知函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的最小正周期为π，且图象向右平移
12
π
个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12
π
对称 B ．()f x 关于直线6
x π
=对称
C ．()f x 在,]1212
π5π
[-
单调递增 D ．()f x 在7[
,
]1212
ππ
单调递减
7．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则（ ）
A ．1ω=，6π=
ϕ B ．1ω=，6
π
ϕ=-
C ．2ω=，6
π=ϕ D ．2ω=，6
π
ϕ=-
8．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）
A ．()sin 2f x x x =
B ．()||sin 2f x x x =
C ．()cos 2f x x x =
D ．()||cos2f x x x =
9．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最小值为（ ） A ．
54
B ．1
C ．1-
D ．2-
10．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1
y x x
=+
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A ．①②③④
B ．①③②④
C ．②①③④
D ．③②①④
11．设函数()tan 3
f x x π
=-
，()sin 3g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4
B ．5
C ．12
D ．13
12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）
A ．()2sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()2sin 3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
二、填空题
13．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，
()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______. 14．已知函数()()π
sin (00)2
f x M x M ωϕωϕ=+>><
，的部分图象如图所示，其中()23A ，(点A 为图象的一个最高点)502B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，，则函数()f x =___________.
15．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ． 16．将函数()4cos 2
f x x π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为125,,...,A A A ，若P 点坐标为(3，则125...PA PA PA +++=____.
17．如图，某公园要在一块圆心角为
3
π
，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .
18．关于函数()()4sin 23f x x x π⎛⎫
=-∈ ⎪⎝
⎭
R ，有下列命题： ①43y f x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
为偶函数； ②方程()2f x =的解集为,4x x k k Z π
π⎧⎫
=
+∈⎨⎬⎩
⎭
； ③()y f x =的图象关于点,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
对称； ④()y f x =在[]0,2π内的增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； ⑤()y f x =的振幅为4，频率为1
π，初相为3
π-． 其中真命题的序号为______． 19．已知如下变换：
①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变； ②将图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标保持不变； ③将图像整体向右平移3
π
个单位长度； ④将图像整体向右平移6
π
个单位长度； ⑤将图像整体向左平移3
π
个单位长度； ⑥将图像整体向左平移
6
π
个单位长度； 要得到函数sin(2)3
y x π
=-
的图象，只需将函数sin y x =的图象经过变换____________
（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序）
20．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，
()21x f x =-，则()2log 11f =______.
三、解答题
21．现给出以下三个条件：
①()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2
π； ②()f x 的图象上的一个最低点为2,23A π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
； ③()01f =.
请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题. 已知函数()()2sin 05,02f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+<<<< ⎪⎝
⎭
，满足________，________. （1）根据你所选的条件，求()f x 的解析式； （2）将()f x 的图象向左平移6
π
个单位长度，得到()g x 的图象求函数()()1y f x g x =-的单调递增区间.
22．已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛
⎫=+<< ⎪⎝⎭，函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭为奇函数. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6
π
个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的
1
2倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，证明：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，22()()10g x g x --≤.
23．游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P 与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(人口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处P 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）试将游客甲离地面的距离()h t (单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间t (单位：分钟)的函数；
（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.
24．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
，,28M π⎛⎫
⎪⎝⎭､5,28N π⎛⎫- ⎪⎝⎭
分别为其图象上相邻的最高点､最低点. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调区间和值域.
25．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的图象经过点12π⎛
⎝，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2
π
. （1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间.
26．已知函数2()22cos 1f x x x =
+-．
（I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 的单调增区间； （III ）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据三者的符号可得sin cos ,sin tan αααα>>，利用作差法可得tan ,cos αα大小关系不确定，从而可得正确的选项. 【详解】
由题设可得AB 上的动点P 的坐标为()cos ,sin αα且
()()1122cos ,sin ,cos ,sin A B θθθθ，
其中
122
π
θαθπ<<<<，
1232
4
π
π
θθπ<<
<<， 注意到当13,
4παθ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
，tan 1α≤-，故按如下分类讨论：
若
132
4
π
π
θα<<≤
，则sin 0,cos 1,tan 1ααα>>-≤-， 故sin cos tan ααα>>.
若
234παθ<≤，则sin 0,cos 0,tan 0ααα><<，且20sin sin θα<≤<
所以22221
sin sin 1sin sin 12
θθαα+-≤+-<，
因为
234πθπ<<，故20sin 2
θ<<，故2221
1sin sin 12
θθ-<+-<， 所以2
22sin sin 1θθ+-有正有负，所以2sin sin 1αα+-有正有负，
而2sin sin 1
tan cos cos ααααα
+--=，cos 0α<，故tan cos αα-有正有负，
故tan ,cos αα大小关系不确定. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：三角函数式的大小比较，可先依据终边的位置判断出它们的符号，也可以利用作差作商法来讨论，注意根据三角函数值的范围确定代数式的符号.
2．B
解析：B 【分析】
先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 【详解】 因为
3
cos 5
α=
=，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5
βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】
结论点睛：三角函数定义有如下推广：
设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则
()sin ,cos ,tan 0y x y
x r r x
ααα=
==≠. 3．C
解析：C 【分析】
结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到
结果. 【详解】
()10sin 2f ϕ==
且2π
ϕ<，6
πϕ∴=，
又882sin 233f π
πωϕ⎛⎫⎛⎫
=+=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，由五点作图法可得：83362πππω+=，解得：1
2
ω=
， ()1
2sin 2
6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.
对于A ，当3
x π
=-
时，
1026x π+=，,03π⎛⎫
∴- ⎪⎝⎭
是()f x 的对称中心，A 错误； 对于B ，当223x k π
π=+时，1262x k πππ+=+，223
x k ππ∴=+是()f x 的对称轴，B 错误；
对于C ，由()1f x ≥得：1
in 2612s x π⎛⎫ ⎪⎭
≥+⎝，15226266k x k πππππ∴+≤+≤+， 解得：43
44k x k π
ππ≤
+≤，C 正确； 对于D ，当282,233x k k ππππ⎡
⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，13,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦
， 当1k =时，135,2622x πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，不是()f x 的单调递减区间，D 错误. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：本题考查正弦型函数()sin y A ωx φ=+的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：
（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入x ωϕ+，确定x ωϕ+的值或范围，根据x ωϕ+是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误； （2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将x ωϕ+整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得()sin y A ωx φ=+的单调区间、对称轴或对称中心.
4．D
解析：D 【分析】
首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间.
【详解】
相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是
43
π
，故A 不正确； 243
T π
πω
=
=
，解得：32ω=，
()f x 的图象关于点,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，
解得：5,16
k k Z π
ϕπ=
+∈ 0πϕ-<<, 1116
π
ϕ∴=-
，故B 不正确； ()3
11cos 216f x x π⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，向左平移3π个单位长度后得()3113
3cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ 故C 不正确； 当02
x π
≤≤
时，
3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，故D 正确. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求
33216
x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 5．D
解析：D 【分析】
选项A 由()f x 的对称中心满足2,3
2
x k k Z π
π
π+=+
∈可判断；选项B ()f x 的对称轴满
足：2,3
x k k Z π
ππ+
=+∈可判断；选项C 令12
x π
=
，求得()cos
02
f x π
==，可判断;
选项D 由()f x 的增区间满足222,3
k x k k Z π
πππ-≤+≤∈可判断.
【详解】
由函数()cos 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 选项A. ()f x 的对称中心满足2,3
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈
则1,212
x k k Z ππ=
+∈，当1k =-时，512x π=-，
所以5,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
为()f x 的一个对称中心，故A 正确； 选项B ：()f x 的对称轴满足：2,3
x k k Z π
ππ+=+∈
即11,23
x k k Z ππ=
+∈，当3k =时，116x π=，故B 正确；
选项C ： ()()cos 2cos 233x x x f ππππ⎡
⎤
⎛
⎫=+++=+ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭
令12
x π
=
，得ππcos 0122
f π⎛
⎫+
== ⎪⎝
⎭，故C 正确； 选项D ：由()f x 的增区间满足222,3
k x k k Z π
πππ-≤+
≤∈
2,36
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤-∈， 当1k =时，53
6x π
π≤≤
，所以()f x 在5,36
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，故D 错误， 故选：D . 【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的单调性、对称性和零点问题，解答本题的关键是将23
x π
+看成一个整体，令2,3
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈；2,3
x k k Z π
ππ+
=+∈和
222,3
k x k k Z π
πππ-≤+
≤∈，得出答案，属于中档题.
6．A
解析：ABD 【分析】
由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，求出512f π⎛⎫ ⎪
⎝⎭
可判断A ；求出6f π⎛⎫
⎪
⎝⎭可判断B ；令222,232
k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】
()f x 的最小正周期为π，22π
ω
π
∴=
=，
()sin(2)f x x ϕ=+，
向右平移
12
π
个单位后得到sin 26y x π
ϕ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
为偶函数， ,6
2
k k Z π
π
ϕπ∴-
=
+∈，即2,3k k Z π
ϕπ=
+∈， ||2
π
ϕ<
，3
ϕπ
∴=-
，()sin 23f x x π⎛⎫
∴=-
⎪⎝
⎭
， 对于A ，
55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，
sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故B 错误；
对于C ，令222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，解得
5,12
12
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈， 当0k =时，512
12x π
π-≤≤
，故()f x 在,]1212
π5π
[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,
]1212
ππ
单调递增，故D 错误.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.
7．D
解析：D 【分析】
根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】
由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫
=-⨯= ⎪⎝⎭
，22T πω∴==. 当3
x π
=
，函数取得最大值1，所以sin 213π
ϕ⎛
⎫
⨯
+= ⎪⎝
⎭
，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02
k π
ϕ<
∴=，6
π
ϕ∴=-，
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是
解题的关键，属于基础题.
8．B
解析：B 【分析】
利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项． 【详解】
由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足
()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇
函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】
思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：
(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.
9．C
解析：C 【分析】
由平方关系化为sin x 的函数，换元后利用二次函数性质得最小值． 【详解】
由已知2
()1sin sin f x x x =-+，令sin t x =，则[1,1]t ∈-，
2()()1f x g t t t ==-++215
()24
t =--+，
∵[1,1]t ∈-，∴1t =-时，min ()1g t =-． 故选：C ． 【点睛】
本题考查与三角函数有关的复合函数的最值．求三角函数的最值有两种类型：
（1）利用三角恒等变换公式化函数为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得最值或值域．
（2）转化为关于sin x （或cos x ）的函数，用换元法，设sin t x =（或cos t x =）变成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求得最值或值域．
10．D
解析：D 【分析】
根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．
【详解】
左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，1
0y x x
=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ． 【点睛】
思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．
11．A
解析：A 【分析】
由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数
()tan 3
f x x π
=-
与()sin 3g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】
令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，
所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3
f x x π
=-
与()sin 3g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3
f x x π
=-
与()sin 3g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象，
由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，
所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4， 故选：A 【点睛】
方法点睛：判断函数零点个数的方法
（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数
()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据
()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图
象交点个数；
（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.
12．D
解析：D 【分析】
结合图象，依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】 由图象可知2A =，
2,,22362T T πππππωω
⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，
依题意0ϕπ≤≤，则23
3
3
π
π
π
ϕ-
≤-
≤
， 2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
π
ω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.
二、填空题
13．【分析】根据且当时类比周期函数的性质求出函数的解析式然后作出图象利用数形结合法求解【详解】当时；当时当时当时则函数的图象如图所示：当时解得若对任意的都有则故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数解析式
解析：13,6π⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
【分析】
根据()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =，类比周期函数的性质，求出函数的解析式，然后作出图象，利用数形结合法求解. 【详解】
当[]0,x π∈时，()sin f x x =；
当(],2x ππ∈时，(]0,x ππ-∈，()()()2si 22n sin ππ--=-==f x x f x x ， 当(]2,3x ππ∈时，(],2x πππ-∈，()()()2sin 44sin ππ--===-f x x f x x ， 当(],0x π∈-时，(]0,x ππ+∈，()()()1sin 11
22
sin 2ππ=++==-f x x f x x ， 则函数()f x 的图象如图所示：
当(]2,3x ππ∈时，()si 24n ==f x x ，解得136
x π
=， 若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤， 则136
π
≤
m ， 故答案为：13,6π⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
. 【点睛】
本题主要考查三角函数解析式的求法，三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想好推理求解问题的能力，属于中档题.
14．【分析】由点的坐标可得的值由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期可求得的值再将点的坐标代入函数的解析式结合的取值范围可求得的值可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为则由图象可知
解析：π
π3sin 36x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】
由点A 的坐标可得M 的值，由图象可求得函数()y f x =的图象可得该函数的最小正周期，可求得ω的值，再将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式． 【详解】
由于函数()y f x =的图象的一个最高点为()2,3A ，则3M =，
由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为452632T ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭，
23T ππω∴=
=，()3sin 3x f x πϕ⎛⎫
∴=+
⎪⎝⎭
， 将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式得()223sin 33f πϕ⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
，可得2sin 13πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 2
2
π
π
ϕ-
<<
，则
276
36π
ππϕ<
+<，232
ππϕ∴+=，解得6π
ϕ=-，()3sin 36x f x ππ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
故答案为：()3sin 36x f x ππ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查利用三角函数图象求解函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
15．【分析】根据扇形的周长求出扇形半径再根据扇形面积公式计算即可【详解】设该扇形的半径为r 根据题意有故答案为【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式弧长公式属于中档题 解析：
916
【分析】
根据扇形的周长求出扇形半径，再根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
设该扇形的半径为r ，根据题意，有2l r r α=+，322r r ∴=+，
34r ∴=
，211992221616S r α∴==⨯⨯
=扇形．故答案为9
16． 【点睛】
本题主要考查了扇形的面积公式，弧长公式，属于中档题.
16．10【分析】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称再由向量的加法运算得最后求得向量的模【详解】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称所以【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景与平面向量
解析：10 【分析】
由函数()4cos 2
f x x π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，再由向量的加法运算得1253...5PA PA PA PA +++=，最后求得向量的模. 【详解】
由函数()4cos 2
f x x π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
与直线()1g x x =-的图象可知， 它们都关于点3(1,0)A 中心对称，
所以1253...5||5(010PA PA PA PA +++===. 【点睛】
本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.
17．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为
解析：(4002
【分析】
取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设
DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，
解出面积最大值． 【详解】
取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，
设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，
20cos 20cos 203tan 30PF
CF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒
，
∴文化景观区域面积：
()
4020203EFCD S sin cos sin ϕϕϕ=-矩形 400sin 24003(1cos 2)ϕϕ=--
800sin(2)40033π
ϕ=+-
∴当23
2
π
π
ϕ+
=
，即12
π
ϕ=
时，文化景观区域面积取得最大值为2400(23)()m -．
故答案为：400(23)-． 【点睛】
本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．③⑤【分析】①利用三角函数的奇偶性判断真假；②解三角方程来判断真假；③利用代入法判断真假；④利用单调性的知识判断真假；⑤根据的有关概念判断真假【详解】①依题意令则所以①错误②由得当即时但所以②错误③
解析：③⑤ 【分析】
①利用三角函数的奇偶性判断真假；②解三角方程来判断真假；③利用代入法判断真假；④利用单调性的知识判断真假；⑤根据()sin y A ωx φ=+的有关概念判断真假. 【详解】 ①，依题意
4474sin 24sin 24sin 233333y f x x x x πππππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=+=+
-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，令
()4sin 23g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，则()4sin 24sin 233g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫-=-+≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以①错误.
②，由()4sin 223f x x π⎛⎫
=-
= ⎪⎝
⎭得1sin 232x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
.当5236x ππ-=，即712x π=时，
1sin 232x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，但7,124x x x k k Z πππ⎧⎫=∉=+∈⎨⎬⎩⎭
，所以②错误.
③，()24sin 4sin 0333f ππππ⎛⎫⎛⎫
-
=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭
对称，即③正确. ④，由于5104sin 4sin 3033
3f ππππ⎛⎫⎛⎫
=-==
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，
()
24sin 44sin 4332f ππππ⎛⎛⎫⎛⎫
=-=-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以11,212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
不是()f x 的增区间，所以④错误. ⑤，()y f x =的振幅为4，周期22T π
π==，频率为11T π=，初相为3
π-，所以⑤正确. 故答案为：③⑤ 【点睛】
本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、单调性、和三角函数的概念，属于中档题.
19．②④或③②(填一种即可)【分析】利用三角函数图象变换可以先平移后伸缩也可以先伸缩后平移即可得到结论【详解】经过变换②可得到再经过变换④可得;或者经过变换③可得到再经过变换②可得故答案为:②④或③②(
解析：②④或③②(填一种即可) 【分析】
利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论. 【详解】
sin y x =经过变换②可得到sin 2y x =,再经过变换④可得sin(2)3
y x π
=-;
或者sin y x =经过变换③可得到sin()3
y x π
=-,再经过变换②可得sin 2y x =.
故答案为: ②④或③②(填一种即可). 【点睛】
本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x 而言,属于中档题.
20．【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：5
11
-
【分析】
易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，再由01x 时，()21x
f x =-即可求
解 【详解】
()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，
则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭
， 又2
22111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，[]2
16log 0,111∈， 则216log 11
2165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为：5
11
- 【点睛】
本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题
三、解答题
21．答案见解析. 【分析】
（1）选择①②：由①可得2ω=，再将2,23A π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
代入()f x 得6π=ϕ；选择①③：
由①可得2ω=，又()02sin 1f ϕ==，所以6
π
=
ϕ；选择②③：由()02sin 1f ϕ==，所以6π=
ϕ，再将2,23A π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
代入()f x 得2ω=；所以()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（2）根据平移可得函数()2cos2g x x =，故2sin 46y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据三角函数图象性质可得函数的单调递增区间. 【详解】
解：（1）选择①②：由已知得222
T π
π
πω
==⋅
=，所以2ω=，
从而()2sin(2)f x x ϕ=+，
将2,23A π⎛⎫
-
⎪⎝⎭代入()f x 得，42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
， 解得26
k π
ϕπ=
+，k Z ∈，
又02πϕ<<，所以6
π
=ϕ，
所以()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
； 选择①③：由已知得222
T π
π
πω
=
=⨯
=，所以2ω=，
从而()2sin(2)f x x ϕ=+， 又()02sin 1f ϕ==， 因为02
π
ϕ<<
，所以6
π=
ϕ. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
； 选择②③：由()02sin 1f ϕ==，又02
π
ϕ<<，所以6
π=
ϕ， 将2,23A π⎛⎫-
⎪⎝⎭代入()f x 得，22sin 23
6π
πω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，
解得23k ω=+，k Z ∈， 又05ω<<，所以2ω=， 所以()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
； （2）由已知得()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 故()()1y f x g x =-
4sin 2cos 216x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
22cos 22cos 21x x x =+-
4cos 4x x =+
2sin 46x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令242262k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，
得62122
k k x ππππ
-+≤≤+，k Z ∈，
所以函数()()1y f x g x =-的单调递增区间为,62122k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈. 【点睛】
求三角函数的解析式时，由ω＝
2T
π
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 22．（1）,(Z)3
6k k k π
πππ⎡⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据sin 2126f x x ππϕ⎛
⎫
⎛
⎫-
=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭为奇函数可得6π=ϕ，则()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈可得答案；
（2）根据三角函数图象的变换规律可得()sin 46g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，由0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求出1(),12g x ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
，进而可得结论.
【详解】
（1）由题意知：sin 2126y f x x ππϕ⎛⎫
⎛
⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
为奇函数 所以()6
k k Z π
ϕπ-
=∈，(Z)6
k k π
ϕπ=+
∈
因为02
π
ϕ<<
，所以0k =，6
π
=
ϕ 所以()sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
由222,Z 2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，
解得：,Z 3
6
k x k k π
π
ππ-
≤≤+
∈， 所以()f x 的单调递增区间为,(Z)3
6k k k π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
；
（2）由题知：将()y f x =的图象向右平移
6π
个单位得sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
即sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的
1
2
倍， 得()sin 46g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
因为0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 因此1()sin 4,162g x x π⎛⎫⎡⎤
=-
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 则2()10g x +≥且()10g x -≤，
所以2
2()()1[2()1][()1]0g x g x g x g x --=+-≤ 【点睛】
方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的单调区间的求法：,把x ωϕ+看作是一个整体，由
22
k x π
πωϕ+≤+≤
()322
k k Z π
π+∈求得函数的减区间；222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间.
23．（1）()50sin 707050cos ,010
210h t t t t π
ππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭；（2）52分钟. 【分析】
（1）根据题意分析游客甲绕原点作匀速圆周运动，根据三角函数定义可把他离地面的距离
()h t 表示出来；
（2）先求出游客乙离地面距离的函数()g t ，则()()h h t g t =-△即为甲乙的离地面距离之差，利用函数求最值. 【详解】
（1）法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为22010
ππ
=弧度/分钟的匀速圆周运动，
设经过t 分钟后甲到达Q ，则以OP 为始边，OQ 为终边的角的大小是
10t π， 因为圆的半径为50r =米，由三角函数定义知点Q 的纵坐标为50sin 10
2y t π
π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，
则其离地面的距离为：()()205050sin 7050cos 010
210h t t t t π
ππ⎛⎫=++-=-≥
⎪⎝⎭. 法2：因为摩天轮是作匀速圆周运动，故可设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，
据题意有12050,
2070,A b A A b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩
又周期20T =，所以10
π
ω=，
由在最低点入舱得
010
2
2
π
π
π
ϕϕ⋅+=-
⇒=-
，
故得()50sin 707050cos ,010
210h t t t t π
ππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪
⎝⎭. （2）由（1）可知游客乙离地面的距离：
()()7050cos 57050sin 1010g t t t ππ⎡⎤
=--=-⎢⎥⎣⎦
，其中时间t 表示游客甲坐上摩天轮的时
间，
则甲乙的离地面距离之差为：
()()
50sin cos 101010
4h h t g t t t t πππ
π⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，
当
()210
4
2
t k k π
π
π
π-
=
+∈Z ，即()15
202
t k k =
+∈Z 时，甲乙离地面距离之差达到最大，
所以15
2t =
，即游客乙坐上摩天轮552
t -=分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大. 【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2) 数学模型（解析式）建立后，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题确定自变量的取值范围．
24．（1）()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）单调递增区间为0,8π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，单调递减区间为
,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，()f x 值域为⎡⎤⎣⎦. 【分析】
（1）利用最高点与最低点坐标可求出A 和周期T ，由2T π
ω
=
可求得ω的值，再将点
,28M π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入即可求得ϕ的值，进而可得函数()f x 的解析式； （2）解不等式2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，k Z ∈，可得()f x 的单调的增区间，再与
0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦求交集即可得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的单调区间，利用单调性求出最值即得值域. 【详解】
（1）因为()f x 图象上相邻两个最高点和最低点分别为,28π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭
所以2A =，52882
T πππ
=-=，则T π=， 又2||
T π
ω=
，0>ω，所以2ω=，()2sin(2)f x x ϕ=+， 又图象过点,28π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22sin 28πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭
，即sin 14πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭，
所以
24
2
k π
π
ϕπ+=+
，k Z ∈，即24
k π
ϕπ=+
，k Z ∈.
又||2ϕπ<
，所以4πϕ=，所以()2sin 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（2）由2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，k Z ∈，得388
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈， 又0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以()f x 的单调递增区间为0,8π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， 同理()f x 的单调递减区间为,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.
又(0)2sin 4f π
==28f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
所以当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 值域为⎡⎤⎣⎦. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由五点法作图的特点得出相邻两个最高点和最低点横坐标之差的绝对值为半个周期，纵坐标为振幅，利用峰点或谷点坐标求ϕ，利用整体代入法求()f x 的单调区间，利用单调性求最值. 25．（1）()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；（2）06
,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，2π
,π3
. 【分析】
（1）根据函数()f x 最大值与最小值的差为4，求得A ,再由相邻两个零点之间的距离为
2π，求得ω，然后由函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，求得函数的解析式.
（2）令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤+
∈，结合[]0,x π∈，利用正弦函数的性质求
解.
【详解】
（1）因为函数()f x 最大值与最小值的差为4， 所以A =2,
又相邻两个零点之间的距离为2
π. 所以T π=， 所以 22π
ωπ
=
=，
所以()()2sin 2f x x ϕ=+，
又函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，
所以()2sin 212f x π
ϕ⎛
⎫=⨯+= ⎪⎝
⎭sin 62
πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以
26
3
k π
π
ϕπ+=+
或
226
3
k π
π
ϕπ+=+
， 解得26
k π
ϕπ=+或22
k π
ϕπ=+
，
又2
π
ϕ<
，
所以6
π=
ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
； （2）令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤+
∈，
解得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤+
∈，
因为[]0,x π∈， 所以06
x π
≤≤
或
2ππ3
x ，
所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
2π
,π3
. 【点睛】
方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ω
π
=
，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小
正周期为T πω
=
. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 26．（Ⅰ）最小正周期为π；（Ⅱ）,36k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（Ⅲ）-1.
【分析】
（I ）先将解析式化为()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，然后利用正弦型函数的周期公式可计算出该函数的最小正周期；
（II ）根据正弦函数的单调区间，利用整体法得出2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，
k Z ∈，，即可求出该函数的单调增区间；
（III ）由0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可计算出26x π+的取值范围，再根据正弦函数的性质，即可求出函数的最大值和最小值. 【详解】
解：（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =
+-，
则()2cos2f x x x =+2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
， 所以函数()f x 最小正周期为22
T π
π==； （Ⅱ）因为2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-+≤+
≤
+，k Z ∈，
所以3
6
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，k Z ∈，
函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；
（Ⅲ）因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以72666x πππ≤+≤， 而716
f π
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以12sin 226x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，
所以()f x 的最小值为1-．
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦型函数的最小正周期，利用整体法求正弦型函数的单调增区间，以及正弦型函数在给定区间的最值，熟练掌握正弦函数的图像和性质是解题的关键，属于常考题型.。