【数学课件】相似三角形的判定
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分析： 根据题设条件，难以用定义证明，
那么唯一的工具就是“平行则相似” 于是必须构造平行，但平行线该画
在哪里呢？ 联想到全等与相似的关系，使所作
的平行线一举两得。
判定1的基本运用
△ABC和△A´B´C´中，∠C=50°，∠A´=55° ， ∠B=∠B´=75°，这两个三角形相似吗？
任意的两个等边三角形是否相似？等腰呢？ 怎样的两个等腰三角形才相似呢？试证明你的结
求证(1) △BAE∽△ACE (2) AB•CE=AC•DE
(3) AB²:AC²=BE:CE
利用判定1得到相似，再由 相似得到线段的比例式和等 积式。
判定1的提高运用
如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高。 (1) 找出图中所有的相似三角形，并说明理由。
(2) 证明：AC²=AD•AB
(3) 由(2)的结论，你能找到其它类似的结论吗？并证明之。 (4) 在原图中，E为BC上任意一点，EF⊥AB于F，求证：
Tips： 1、相似得到比例，再由比例得 到另一组相似 3、采用逆向分析，根据已知条 件分析思路，选用合适的判 定定理
判定定理2、3的提高运用
如图，在△ABC中，∠C=60°，BE⊥ AC于E， AD⊥ BC于D。求证： ∠ CED＝ ∠ CBA
AC²=AD•AF+CD•EF
E
F
直角三角形中的常用结论
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
射影定理： AC²=AD•AB BC²=BD•BA CD²=AD•BD
全等与相似判定方法的类比
全等三角形的判定方法？
(1)ASA:∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB：A`B`=1， 则 △ABC≌△A`B`C`。
三角形的相似判定方法可以由全 等判定方法进行类比得出
对于直角三角形，由全等的“HL” 可以类比出怎样的相似判定定理 呢？
直角三角形的相似判定
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，那么这两个直角三角形相似。
直角三角形的判定方法有哪些？ 1、一个锐角相等的直角三角形； 2、两条直角边对应成比例； 3、任意两条边对应成比例。
论。 指出图中所有的相似三角形：
判定1的基本运用
在证明角相等时，可以从公共角、对顶角、同角 （或等角）的余（补）角相等、外角定理中得到。
如图，在三角形ABC中， ∠1= ∠2= ∠3，求 证： △ABC∽△DEF。
判定1的提高运用
如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平 分线交BC延长线于E，交AB于F
Tips: 1、通过相似三角形证对应 角相等是获得等角的一条 重要途径 2、根据要证相等的角，找 到所在的一组相似三角形 3、利用判定2、3关键要 找准对应边，并熟悉对应 边成比例的两种表达方式
相似三角形的判定方法
定义法 平行于三角形一边的直线定理 判定定理1（两角对应相等） 判定定理2（两边对应成比例，夹角相等） 判定定理3（三边对应成比例）
阅读课本231页例3，并完成练习1、2、3。 已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP。 （1）∠ACP满足什么条件时，△ACP ∽ △ABC？ （2）AC:AP满足什么条件时， △ACP ∽ △ABC？
判定定理2、3的提高运用
如图，A´B ´ ∥ AB，B ´ C ´∥ BC，求证： △ABC∽ △A´B´C´
AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关
系式时，
(1)△ABC∽△CDB?
A
C
(2)△ABC∽△BDC?
(3)图中的两个三角形相似？
Tips:
如果结论中已经出现了“∽” 符号，则隐含了对应线段；如果
B
D
只是用文字表示，则对应关系没
有给出，需要自行找对应。
直角三角形相似的提高运用
已知：如图，AC⊥BD于C,
一个和这个三角形相似的三角形吗？ 说明你的做法，由此你能猜想到可以怎样判定两个
三角形相似呢？
如果一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似。
两角对应相等，两三角形相似。
判定定理１
已知：△ABC和△A´B´C´中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´， 求证： △ABC∽ △A´B´C´
完成235页练习1
直角三角形相似的基本运用
• 两个等腰三角形的腰和腰上的高对应成比 例，求证：这两个等腰三角形相似。
• 求证：一条直角边与斜边上的高对应成比 例的两个直角三角形相似。
Tips： 常规思路：由一组相似 得到对应角相等或比例 式，再去证明另一组相 似
直角三角形相似的模糊辨析
已知：如图，∠ABC=∠CDB=90,
相似三角形的判定
相似三角形的定义
运用已学过的知识判定相似三角形，有多少 种方法？
– 运用定义：对应角相等，对应边成比例 – 运用定理：平行于三角形一边的直线和其它两
边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形 与原三角形相似
以上两种判定方法在实际运 用中方便吗？
判定定理１
做一做，想一想： 已知一个三角形的两个角分别为70°和65°，你能画
AB·EC=BC·DE.
求
证:(1)DF⊥AB;(2)EF·DF=BF·AF. A
判定定理2、3
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三 角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这 两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等，两 三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三 角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 三边对应成比例，两三角形相似。
判定2、3的基本运用
(2则)AA△AS:B∠CA≌=若△△A∠A∠AB`ABC′,=`∠∽C∠B`△。AA=′`∠,B∠B`BC′,=B`。∠CB：′,B`C则`=1，
(3)SAS:AB若：AB`B：`=AB`BC`：=BB`C：`=1， ∠B=∠B′,B则`C△`A, B∠CB≌=△∠AB`B′,`C则`
(4)SSS:AB：△AAB`BC`∽=△AA`CB：`CA`。`C`= BC： B`C`=1,则若△AABB：C≌A△`BA``=B`BCC`。： 猜想B`相C`似=三A角C形：的A`判C`定,则方法？ △ABC∽△A`B`C`。
那么唯一的工具就是“平行则相似” 于是必须构造平行，但平行线该画
在哪里呢？ 联想到全等与相似的关系，使所作
的平行线一举两得。
判定1的基本运用
△ABC和△A´B´C´中，∠C=50°，∠A´=55° ， ∠B=∠B´=75°，这两个三角形相似吗？
任意的两个等边三角形是否相似？等腰呢？ 怎样的两个等腰三角形才相似呢？试证明你的结
求证(1) △BAE∽△ACE (2) AB•CE=AC•DE
(3) AB²:AC²=BE:CE
利用判定1得到相似，再由 相似得到线段的比例式和等 积式。
判定1的提高运用
如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高。 (1) 找出图中所有的相似三角形，并说明理由。
(2) 证明：AC²=AD•AB
(3) 由(2)的结论，你能找到其它类似的结论吗？并证明之。 (4) 在原图中，E为BC上任意一点，EF⊥AB于F，求证：
Tips： 1、相似得到比例，再由比例得 到另一组相似 3、采用逆向分析，根据已知条 件分析思路，选用合适的判 定定理
判定定理2、3的提高运用
如图，在△ABC中，∠C=60°，BE⊥ AC于E， AD⊥ BC于D。求证： ∠ CED＝ ∠ CBA
AC²=AD•AF+CD•EF
E
F
直角三角形中的常用结论
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
射影定理： AC²=AD•AB BC²=BD•BA CD²=AD•BD
全等与相似判定方法的类比
全等三角形的判定方法？
(1)ASA:∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB：A`B`=1， 则 △ABC≌△A`B`C`。
三角形的相似判定方法可以由全 等判定方法进行类比得出
对于直角三角形，由全等的“HL” 可以类比出怎样的相似判定定理 呢？
直角三角形的相似判定
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，那么这两个直角三角形相似。
直角三角形的判定方法有哪些？ 1、一个锐角相等的直角三角形； 2、两条直角边对应成比例； 3、任意两条边对应成比例。
论。 指出图中所有的相似三角形：
判定1的基本运用
在证明角相等时，可以从公共角、对顶角、同角 （或等角）的余（补）角相等、外角定理中得到。
如图，在三角形ABC中， ∠1= ∠2= ∠3，求 证： △ABC∽△DEF。
判定1的提高运用
如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平 分线交BC延长线于E，交AB于F
Tips: 1、通过相似三角形证对应 角相等是获得等角的一条 重要途径 2、根据要证相等的角，找 到所在的一组相似三角形 3、利用判定2、3关键要 找准对应边，并熟悉对应 边成比例的两种表达方式
相似三角形的判定方法
定义法 平行于三角形一边的直线定理 判定定理1（两角对应相等） 判定定理2（两边对应成比例，夹角相等） 判定定理3（三边对应成比例）
阅读课本231页例3，并完成练习1、2、3。 已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP。 （1）∠ACP满足什么条件时，△ACP ∽ △ABC？ （2）AC:AP满足什么条件时， △ACP ∽ △ABC？
判定定理2、3的提高运用
如图，A´B ´ ∥ AB，B ´ C ´∥ BC，求证： △ABC∽ △A´B´C´
AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关
系式时，
(1)△ABC∽△CDB?
A
C
(2)△ABC∽△BDC?
(3)图中的两个三角形相似？
Tips:
如果结论中已经出现了“∽” 符号，则隐含了对应线段；如果
B
D
只是用文字表示，则对应关系没
有给出，需要自行找对应。
直角三角形相似的提高运用
已知：如图，AC⊥BD于C,
一个和这个三角形相似的三角形吗？ 说明你的做法，由此你能猜想到可以怎样判定两个
三角形相似呢？
如果一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似。
两角对应相等，两三角形相似。
判定定理１
已知：△ABC和△A´B´C´中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´， 求证： △ABC∽ △A´B´C´
完成235页练习1
直角三角形相似的基本运用
• 两个等腰三角形的腰和腰上的高对应成比 例，求证：这两个等腰三角形相似。
• 求证：一条直角边与斜边上的高对应成比 例的两个直角三角形相似。
Tips： 常规思路：由一组相似 得到对应角相等或比例 式，再去证明另一组相 似
直角三角形相似的模糊辨析
已知：如图，∠ABC=∠CDB=90,
相似三角形的判定
相似三角形的定义
运用已学过的知识判定相似三角形，有多少 种方法？
– 运用定义：对应角相等，对应边成比例 – 运用定理：平行于三角形一边的直线和其它两
边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形 与原三角形相似
以上两种判定方法在实际运 用中方便吗？
判定定理１
做一做，想一想： 已知一个三角形的两个角分别为70°和65°，你能画
AB·EC=BC·DE.
求
证:(1)DF⊥AB;(2)EF·DF=BF·AF. A
判定定理2、3
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三 角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这 两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等，两 三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三 角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 三边对应成比例，两三角形相似。
判定2、3的基本运用
(2则)AA△AS:B∠CA≌=若△△A∠A∠AB`ABC′,=`∠∽C∠B`△。AA=′`∠,B∠B`BC′,=B`。∠CB：′,B`C则`=1，
(3)SAS:AB若：AB`B：`=AB`BC`：=BB`C：`=1， ∠B=∠B′,B则`C△`A, B∠CB≌=△∠AB`B′,`C则`
(4)SSS:AB：△AAB`BC`∽=△AA`CB：`CA`。`C`= BC： B`C`=1,则若△AABB：C≌A△`BA``=B`BCC`。： 猜想B`相C`似=三A角C形：的A`判C`定,则方法？ △ABC∽△A`B`C`。