2022-2023学年山东省威海市乳山市九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年山东省威海市乳山市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若反比例函数y=k
x
的图象经过点(2,1)，则该反比例函数的图象在( )
A. 第一、二象限
B. 第二、四象限
C. 第二、三象限
D. 第一、三象限
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=2
3
，则cosB=( )
A. 2
3B. √5
2
C. √5
3
D. 2√5
5
3. 关于抛物线y=(2x−1)2−3，下列说法错误的是( )
A. 开口向上
B. 顶点坐标为(1,−3)
C. 当x>1
2
时，y随x的增大而增大 D. 该抛物线与x轴有两个交点
4. 在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|tanB−√3|+(2sinA−√3)2=0，则△ABC是( )
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
5. 已知点(4,y1)，(6,y2)，在反比例函数y=−6
x
的图象上，则y1，y2的大小关系为( )
A. y1>y2
B. y1<y2
C. y1=y2
D. 无法判断
6. 把抛物线y=x2+bx+2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x2−4x+7，则b=( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
7. 二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=b
x
在同一直角坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
8. 上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处(如图).从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为( )
A. 20√2海里
B. 20√3海里
C. 40海里
D. 40√2海里
9. 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15˚，点B在抛物线y= ax2(a<0)的图象上，则a=( )
A. −2
B. −√2
2C. −√2
3
D. −1
2
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c−2(a≠0)的图象如图所示，顶点为(−1,0)，则下列结论：
①abc<0；②b2−4ac=0；③a<−2；④4a−2b+c<0．
其中正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，直线OA过点(4,3)，则tanα=______．
12. 反比例函数y=k
x
的图象如图所示，点A在该函数图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，如果S△AOB=2，那么k=______．
13. 如图，小丽想测量学校旗杆的高度，她在地面A点安置测倾器，测得旗杆顶端C的仰角为30°，测倾器到旗杆底部的距离AD为12米，测倾器的高度AB为1.6米，那么旗杆的高度CD为______米(保留根号)
14. 反比例函数y=−2
x 与正比例函数y=kx的一个交点为(−1,2)，则关于x的方程−2
x
=kx
的解为______．
15. 二次函数y=−x2−(k−4)x+6，当x>−2时，y随着x的增大而减小，当x<−2时，y随着x的增大而增大，则k=______．
16. 如图，Rt△OAB的顶点A在抛物线y=ax2上，∠ABO=90°，AB=4，tan∠AOB=2.将△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到△COD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：2cos60°−4sin245°+3√3tan30°⋅sin60°．
18. (本小题7.0分)
如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m
x
的图象交于P(2,a)和Q(−1,−4)．
(1)求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式m
x
>kx+b的解集．
19. (本小题8.0分)
某商场购进一批单价为40元的商品，若按每件50元销售，平均每天可销售90件，市场调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，平均每天少销售3件，将销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润W最大？最大利润W是多少？
20. (本小题8.0分)
将一副三角板如图摆放，使三角板ABC的45°角的顶点A与三角板DEF的直角顶点D重合，且点E在BC上．若EF//AC，AE=20，求BE的长．(结果保留根号)
21. (本小题9.0分)
一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到达B处，又测得C在B
的南偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．(结果保留根号)
22. (本小题11.0分)
(x>0)上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C.线段OA的垂直平分线BD交如图，点A在双曲线y=3
x
OC，OA于点B，D，△ABC的周长为4，求点A的坐标．
23. (本小题11.0分)
乒乓球台的横截面如图所示，桌面长AB=274cm，位于球桌中线的球网高MN=15.25cm，以BA的延长线上距A点23cm的O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标
)，且路径是抛物线的一部分，在距O点水平距离为100cm 系．从O点发出的球经过点C(50,75
4
的地方，球达到最高点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)此球是否可以击中球台且不触网？请说明理由．
24. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=x−5与x轴交于点A，与y轴交于点B.抛物线y=ax2+
bx+c过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，tan∠CBO=1
．
5
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为抛物线的顶点，求四边形APBC的面积；
(3)抛物线上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y =k x
的图象经过点(2,1)， ∴k =2×1=2>0，
∴该反比例函数的图象在第一、三象限， 故选：D ．
把已知点的坐标代入可求出k 值，然后根据反比例函数的性质即可判断．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，求得k 的值是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：在Rt △ABC 中，∠C =90°， ∴∠A +∠B =90°， ∵sinA =2
3， ∴cosB =sinA =23
， 故选：A ．
根据任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即可解答．
本题考查了互余两角的三角函数的关系，熟练掌握互余两角的三角函数的关系是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵y =(2x −1)2−3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x =1
2，顶点坐标为(1
2,3)，
∴x <1
2时，y 随x 增大而减小，x >1
2时，y 随x 增大而增大， 故选：C ．
由二次函数顶点式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4.【答案】B
【解析】解：∵|tanB−√3|+(2sinA−√3)2=0，
∴|tanB−√3|=0，
(2sinA−√3)2=0，
∴tanB=√3，∠B=60°，
2sinA−√3=0，sinA=√3
2
，∠A=60°．
在△ABC中，∠C=180°−60°−60°=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
先根据非负数的性质求出tanB与sinA的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的值即可．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．
5.【答案】B
【解析】解：∵点(4,y1)，(6,y2)，在反比例函数y=−6
x
的图象上，
∴y1=−6
4=−3
2
，y2=−6
6
=−1，
∴y1<y2．
故选：B．
利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出y1和y2的值，然后比较它们的大小．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵y=x2−4x+7=(x−2)2+3，
∴新抛物线的顶点为(2,3)，
∵向右平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴原抛物线的顶点坐标为(−1,1)，
∴原抛物线解析式为y=(x+1)2+1=x2+2x+2，
∴b=2．
故选：A．
求出新抛物线的解析式，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出原抛物线的解析式，然后利用顶点式形式写出抛物线的解析式，整理后根据对应项系数相等解答．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
7.【答案】B
【解析】解：A、由反比例函数得：b>0，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b<0，
∴选项A不正确；
B、由反比例函数得：b>0，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b>0，
∴选项B正确；
C、由反比例函数得：b>0，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b<0，
∴选项C不正确；
D、由反比例函数得：b<0，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b>0，
∴选项D不正确；
故选：B．
分别根据反比例函数确定b的符号，再由抛物线确定a、b的符号，如果一致则正确．
本题考查了反比例函数和二次函数图象的性质，明确反比例图象根据分支的位置确定比例系数的符号：①当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，②当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，反之也成立；并熟练掌握二次函数图象的性质．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点B作BN⊥AM于点N，
由题意得，AB=40×1=40海里，∠ABM=105°，
在直角三角形ABN中，BN=AB⋅sin45°=20√2(海里)，
在直角△BNM中，∠MBN=105°−45°=60°，
∴∠M=30°，
∴BM=2BN=40√2(海里)．
故选：D．
过点B作BN⊥AM于点N.根据三角函数求BN的长，从而求BM的长．
本题考查解直角三角形应用−方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC =45°，OB =1×√2=√2，
过点B 作BD ⊥x 轴于D ，
∵OC 与x 轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD =45°−15°=30°，
∴BD =12OB =√22，
OD =(√2)−(√22
)=√62， ∴点B 的坐标为(√62,−√22)，
∵点B 在抛物线y =ax 2(a <0)的图象上， ∴a(√62
)2=−√22， 解得a =−√23
． 故选：C ．
连接OB ，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC =45°，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，然后求出∠BOD =30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD =12
OB ，再利用勾股定理列式求出OD ，从而得到点B 的坐标，再把点B 的坐标代入抛物线解析式求解即可．
本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB 与x 轴的夹角为30°，然后求出点B 的坐标是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a <0，
∵对称轴在y 轴左边，
∴b <0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，
∴c −2<−2，
∴c <0，
∴abc <0，
∴结论①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c−2的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ=0，
即b2−4a(c−2)=0，
∴b2−4ac=−8a>0，
∴结论②不正确；
∵对称轴x=−b
=−1，
2a
∴b=2a，
∵b2−4ac=−8a，
∴4a2−4ac=−8a，
∴a=c−2，
∵c<0，
∴a<−2，
∴结论③正确；
∵对称轴是直线x=−1，而且x=0时，y<−2，
∴x=−2时，y<−2，
∴4a−2b+c−2<−2，
∴4a−2b+c<0．
∴结论④正确．
综上，可得正确结论的个数是3个：①③④．
故选：C．
①首先根据抛物线开口向下，可得a<0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b<0；最后根据c−2<−2可得c<0，据此判断出abc<0即可．
②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得Δ=0，即b2−4a(c−2)= 0，b2−4ac=−8a<0，据此解答即可．
=−1，可得b=2a，然后根据b2−4ac=−8a，确定出a的取值范围③首先根据对称轴x=−b
2a
即可．
④根据对称轴是直线x=−1，而且x=0时，y<−2，可得x=−2时，y<−2，据此判断即可．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．
11.【答案】3
4
【解析】解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示：
∵直线OA过点(4,3)，
∴AH=3，OH=4，
∴tanα=AH
OH =3
4
，
故答案为：3
4
．
根据直角三角形中，正切的定义求解即可．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
12.【答案】−4
【解析】解：由于点A在反比例函数y=k
x
的图象上，
则S△AOB=1
2
|k|=2，k=±4；
又由于函数的图象在第二、四象限，故k<0，
则k=−4．
故答案为：−4．
过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得△AOB的面积为矩形面积的一半，即1
2
|k|．
此题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形
面积为|k|．
13.【答案】1.6+4√3
【解析】解：作BE⊥CD于点E．
∵在直角△BCE中，∠CBE=30°，BE=AD=12(米)，
tan∠CBE=CE
BE
，
∴CE=BE⋅tan∠CBE=12×√3
3
=4√3．
∴CD=CE+ED=(1.6+4√3)米．
故答案是：1.6+4√3．
根据已知条件和正切值求出CE的长，再根据CD=CE+ED，即可得出答案．本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．14.【答案】x1=−1，x2=1
【解析】解：把(−1,2)代入y=kx得：2=−k，
解得：k=−2，
即正比例函数的解析式是y=−2x，
解方程组{y=−2
x
y=−2x
得{
x=1
y=−2或{
x=−1
y=2，
即两函数的交点坐标是(1,−2)，(−1,2)，
∴关于x的方程−2
x
=kx的解为是x1=−1，x2=1，
故答案为：x1=−1，x2=1．
把点的坐标代入正比例函数解析式，求出k，解由两函数组成的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
本题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
15.【答案】8
【解析】解：∵y=−x2−(k−4)x+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−−(k−4)
−2=4−k
2
，
由题意得抛物线对称轴为直线x=−2，
∴4−k
2
=−2，
解得k=8．
故答案为：8．
由二次函数解析式可得抛物线对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
16.【答案】(√2,2)
【解析】解：Rt△OAB中，∠ABO=90°，AB=4，tan∠AOB=2．
∴AB
OB
=2，
∴OB=2，
∴点A(−2,4)，
∵顶点A在抛物线y=ax2上，
∴4=4a，
∴a=1，
∴抛物线为y=x2，
将△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到△COD，
∴OB=OD=2，CD//x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y=2，得2=x2，
解得：x=±√2，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：(√2,2)．
故答案为：(√2,2)．
首先求得OB的长，进而求得A的坐标，根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式，进而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，根据
题意求得P 的纵坐标是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2×12−4×(√22)2+3√3×√33×√32
=1−4×12+3√32
=1−2+3√32
=−1+3√32． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值的代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】解：(1)把Q(−1,−4)代入y =m x ，则−4=−m ，
则m =4，
则反比例函数的解析式是：y =4x ；
在y =4x 中令x =2，则y =2，则P 的坐标是(2,2)．
根据题意得：{2k +b =2−k +b =−4
， 解得：{k =2b =−2
， 则一次函数的解析式是：y =2x −2．
(2)关于x 的不等式m x >kx +b 的解集为x <−1或0<x <2．
【解析】(1)把Q 的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m 的值，然后求得P 的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式．
(2)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． 19.【答案】解：设销售价为x 元/件，则每天的销售量为：90−3(x −50)=−3x +240件， 根据题意，得W =(x −40)(−3x +240)
=−3x 2+360x −9600
=−3(x−60)2+1200，
则当x=60时，W取得最大值，最大值为1200元，
答：将销售单价定为60元/件时，才能使每天所获销售利润W最大，最大利润W是1200元．
【解析】设销售价为x元/件，则每天的销售量为：90−3(x−50)件，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式，配方成顶点式可得最大值．
本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意表示出其销售量是解此类题目的关键，根据相等关系列出函数关系式并求最大值是考查的主要内容．
20.【答案】解：∵EF//AC，∠AEF=30°，
∴∠EAC=∠AEF=30°，
∴CE=1
AE=10，
2
∴AC=√AE2−CE2=√202−102=10√3，
∵AC=CB，
∴CB=10√3，
∴BE=BC−CE=10√3−10．
【解析】利用平行线的性质得∠EAC=∠AEF=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出CE和AC，从而解决问题．
本题主要考查了三角板，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于D．
设CD=x m，
在Rt△BCD中，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=x m．
在Rt△ACD中，∠DAC=90°−60°=30°，AD=AB+BD=(20+x)m，CD=x m，
∴CD=tan30°⋅AD，
∴x=√3
3
(20+x)，
解得x=10(√3+1)，
∴CD=10(√3+1)m．
答：这条河的宽度约为10(√3+1)m．
【解析】过点C作CD⊥AB于D.构造直角三角形，设CD=x m，列出关于x的比例式，再根据三角函数的定义解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，锐角三角函数的定义等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
22.【答案】解：设A(a,3
a
)，
∵BD垂直平分OA，
∴BA=BO，
∵△ABC的周长为4，
即AB+BC+AC=4，
∴OC+AC=4，
∴a+3
a
=4，解得a=1(舍去)或a=3，
∴A点坐标为(3,1)．
【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设A(a,3
a
)，根据线段垂直平分线的性质得BA=BO，
由于AB+BC+AC=4，则OC+AC=4，即a+3
a
=4，然后解方程求出a即可得到满足条件的A点坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k
x
(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
23.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx，由题意，得：
{2500a+50b=75 4
40000a+200b=0
，
解得{a =−1400b =12， ∴抛物线的解析式为y =−
1400x 2+12x ； (2)当x =2742
+23=160时，y =−1400×1602+12×160=16>15.25， 此球不触网；
∵当x =200时，y =0，且200<274+23=297，
∴此球可以击中球台．
∴此球可以击中球台且不触网．
【解析】(1)根据抛物线过原点，设抛物线的解析式为y =ax 2+bx ，由在距O 点水平距离为100cm 的地方，球达到最高点就可以求出球的落点的坐标，由待定系数法就可以求出结论；
(2)由桌面长AB =274cm 就可以求出球网的横坐标为137+23=160，当x =160时代入(1)的解析式就可以求出结论．
本题考查了二次函数的应用，解答时运用待定系数法求出二次函数的解析式是关键．
24.【答案】解：(1)在y =x −5中令x =0，得y =−5，令y =0得x =5，
∴A(5,0)，B(0,−5)，
∴OB =5，
∵tan∠CBO =
OC OB =15
． ∴OC =1，
∴C(−1,0)，
将A(5,0)，B(0,−5)，C(−1,0)代入y =ax 2+bx +c 得：
{25a +5b +c =0a −b +c =0c =−5
，解得{a =1b =−4c =−5，
∴抛物线的表达式为y =x 2−4x −5；
(2)如图，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，
∵抛物线的表达式为y=x2−4x−5=(x−2)2−9，∵顶点P(2,−9)，
∴PM=9，OM=2，AM=3，
∵A(5,0)，B(0,−5)，C(−1,0)，
∴S△OBC=1
2OB⋅OC=1
2
×5×1=5
2
，
S△PAM=1
2AM⋅PM=1
2
×3×9=27
2
，
S
梯形OBPM =1
2
(OB+PM)⋅OM=1
2
×(5+9)×2=14，
∴S
四边形APBC =S△OBC+S△PAM+S
梯形OBPM
=5
2
+27
2
+14=30；
(3)设Q(m,m2−4m−5)，
当∠ABQ=90°时，过点Q作QH⊥y轴于H，
∵A(5,0)，B(0,−5)，
∴OA=OB=5，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵∠ABQ=90°，
∴∠QBH=45°，
∴BH=QH，
∴m=−5−(m2−4m−5)，解得m=3或0(舍去)，
∴点Q的坐标为(3,−8)；
当∠BAQ=90°时，过点Q作QH⊥x轴于H，
∵∠OAB=45°，
∴∠QAH=45°，
∴QH=AH，
∴5−m=m2−4m−5，解得m=−2或5(舍去)，
∴点Q的坐标为(−2,7)；
综上所述，抛物线上存在点Q，使得△ABQ是以AB为直角边的直角三角形，点Q的坐标为(3,−8)或(−2,7)．
【解析】(1)求出A、B坐标，根据正切函数的定义求出点C的坐标，代入y=ax2+bx+c即可得答案；
(2)由抛物线解析式可求得P点坐标，过P作PM⊥x轴于点M，则可分别求得△PAM和梯形OBPM和△OBC的面积，则可求得四边形APBC的面积；
(3)设Q(m,m2−4m−5)，分两种情况：当∠ABQ=90°时，过点Q作QH⊥y轴于H，当∠BAQ=90°时，过点Q作QH⊥x轴于H，根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、面积的计算、平行线的性质、等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义．熟练掌握二次函数的性质，正确添加辅助线是
解答此题的关键．。