九年级数学下册 二次函数专题讲解 北师大版

二次函数专题讲解
一、知识综述：
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中a
b a
c k a b h 4422
-=-=，。

3.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直
线h x =.
4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2
ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；
⑤c bx ax y ++=2
. 它们的图像特征如下： 函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
2ax y = 当0>a 时 开口向上
当0<a 时 开口向下
0=x （y 轴）
（0,0） k ax y +=2
0=x （y 轴） (0, k ) ()2
h x a y -=
h x =
(h ,0)
h x =
(h ,k )
c bx ax y ++=2 a
b x 2-
= (a
b a
c a b 4422
--，) 开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大。

5.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数图象的平移
左加右减（对X ），上加下减（对Y ）。

二、考点分析及例题解析
考点一：二次函数的概念
()k
h x a y +-=2
例1：如果函数1)3(2
32
++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。

考点二：二次函数的图象
例2（2010年广东省广州市）已知抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋2．
（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x … … y
…
…
（3）若该抛物线上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）的横坐标满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小．
例3 (2010年安徽省芜湖市)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a x
与正比例函数y ＝（b ＋c ）
x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
例4 (2010年兰州市)抛物线c bx x y ++=2
图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为
322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ）
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 例5.（2006，大连）右图是二次函数y 1=ax 2
+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．
变式训练：
1、在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2
的图象只可能是（ ）
2、（2008，山西）抛物线y=－2x 2－4x －5经过平移得到y=－2x 2
，平移方法是（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
-5-4-3-2-1O 12345
x
y
-1
1
Y O X Y
O X Y O X
Y O X
C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
考点三：确定二次函数的解析式
例4：（2010年宁波市）如图，已知二次函数c bx x y ++-=2
2
1的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。

（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ， 连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。

解：（1）把A （2，0）、B （0，－6）代入c bx x y ++-
=2
2
1 得：⎩⎨
⎧-==++-60
22c c b
解得⎩
⎨⎧-==64c b
∴这个二次函数的解析式为642
12
-+-=x x y （2）∵该抛物线对称轴为直线4)
2
1(24
=-⨯-=x
∴点C 的坐标为（4，0）
∴224=-=-=OA OC AC ∴6622
1
21=⨯⨯=⨯⨯=∆OB AC S ABC 变式训练：
1、已知：函数c bx ax y ++=2
的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A ）322
++-=x x y （B ）322
--=x x y （C ）322
+--=x x y （D ）322
---=x x y
考点四：最值问题
例5：矩形ABCD 的边AB =6 cm ，BC =8 cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP =x cm ，CQ =y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式.并求出CQ 的最大值。

例6：如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C 点。

点A,C 的坐标分别是(-1,0),(0,
2
3
) y
x
C
A
O
B
第4题
3
o
-1
3 y x
A
D Q
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P 是抛物线上位于轴上方的一个动点，求△ABP 的面积的最大值。

变式训练：
1、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这个正方形面积之和的最小值是________cm 。

2、 如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ． （1）用含y 的代数式表示AE ；
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；
（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．
考点五：以二次函数为基架的综合题
例7：某超市经销一种销售成本为每件40元的商品。

据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周的销售量就减少10件。

设销售单价为每件x 元（x ≥50）,一周的销售量为y 件。

（1）写出y 与x 的函数关系式；（标明x 的取值范围）
（2）设一周的销售利润为s ，写出s 与x 的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，香洲随着单价的增大而增大；
（3）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
变式训练：
某商店经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出210件；销售单价每涨1元，则每个月少卖10件．设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元。

(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大的利润？最大利润是多少元？
三、课堂练习
1．已知二次函数b x a y +-=2
)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）
A ．a ＜b
B ．a=b
C ．a ＞b
D ．不能确定
2．（2008，长沙）二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（ ）
A ．a<0
B ．abc>0
C ．a+b+c<0
D ．b 2
－4ac>0
3．（2008，威海）已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （－2，y 1），N （－1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（ ） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 1<y 2 D ．y 1<y 3<y 2 4．如图所示，抛物线的函数表达式是（ ）
A ．y=x 2
－x+2 B ．y=－x 2
－x+2 C ．y=x 2
+x+2 D ．y=－x 2
+x+2
5．（2008，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=－mx 2
+2x+2（m 是常数，•且m ≠0）的图像可能是（ ）
6．求下列函数的最大值或最小值．
（1）x x y 22
--=； （2）1222
+-=x x y ．
7．已知二次函数m x x y +-=62
的最小值为1，求m 的值．
8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：
)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．
（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？
9．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中
间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2
． （1）求S 与x 的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45 m 2
的花圃，AB 的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m 2
更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；
（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，
写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．
11．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
12. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之
间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
13．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？。