荆州市第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

荆州市第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 在
中，角
、
、
所对应的边分别为、、，若角
、
、
依次成等差数列，且
，
,则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
2． 已知在△ABC 中，
a=，
b=，B=60°，那么角C 等于（ ）
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．75°
3． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ） A ．0
B ．1
C ．
D ．3
4． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4 C.-2 D ．3 5． 函数y=x+cosx 的大致图象是（ ）
A
． B
．
C
． D
．
6． 设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k 的系数不可能是（ ）
A ．10
B ．40
C ．50
D ．80
7． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式
为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
8． 已知f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），若f （2016）=k ，则f （﹣2016）=（ ） A ．k
B ．﹣k
C ．1﹣k
D ．2﹣k
9． 若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为， 则a =（ ）
A ． 1±
B ． 4±
C ．
D ．2
±10．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80 B ．40 C ．60 D ．20
11．四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45
12．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则异面直线EF 和BC 1所成的角是（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．90°
D ．120°
二、填空题
13．已知函数()f x 2
3(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系
是 ． 14．直线ax+
by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐
标原点），则点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为 ．
15．不等式
的解为 ．
16．已知f（x）=，则f[f（0）]=．
17．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是．
18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．
三、解答题
19．已知函数且f（1）=2．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
20．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图
所示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A上是否存在点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为45°，且∠CAM为锐角若存在，请求出CM的弦长，若不存在，请说明理由．
21．平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：（a＞b＞0）右焦点的直线l：y=kx﹣k交C于A，B两点，
P为AB的中点，当k=1时OP的斜率为．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ） x 轴上是否存在点Q ，使得k 变化时总有∠AQO=∠BQO ，若存在请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
22．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平 面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点． （1）证明：直线//MN 平面ABCD ；
（2）若点Q 为PC 中点，120BAD ∠=︒，3PA =，1AB =，求三棱锥A QCD -的体积．
23．由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数． （1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ （2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？ （3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．
24．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数()f x 为偶函数且图象经过原点，其导函数()'f x 的图象过点()12，． （1）求函数()f x 的解析式； （2）设函数()()()'g x f x f x m =+-，其中m 为常数，求函数()g x 的最小值．
荆州市第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】 因为角
、
、
依次成等差数列，所以
由余弦定理知，即
，解得
所以， 故选C
答案：C
2． 【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=
，
∴sinA==
×
=
，
∵a ＜b ， ∴A ＜B ， ∴A=45°，
∴C=180°﹣A ﹣B=75°， 故选：D ．
3． 【答案】B
【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数， ∴函数y=3x 的反函数为y=f （x ）=log 3x ， 所以f （9）=log 33=1． 故选：B ．
【点评】本题给出f （x ）是函数y=3x （x ∈R ）的反函数，求f （3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.
5．【答案】B
【解析】解：由于f（x）=x+cosx，
∴f（﹣x）=﹣x+cosx，
∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），
故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；
又当x=时，x+cosx=x，
即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．6．【答案】 C
【解析】
二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数，将k的值代入求出各种情况的系数．
【解答】解：（x+2）5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k
当k﹣1时，C5k25﹣k=C5124=80，
当k=2时，C5k25﹣k=C5223=80，
当k=3时，C5k25﹣k=C5322=40，
当k=4时，C5k25﹣k=C54×2=10，
当k=5时，C5k25﹣k=C55=1，
故展开式中x k的系数不可能是50
故选项为C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数． 7． 【答案】 C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；
这组数对对应的点在函数y=3x
的图象上．
故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
8． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），f （2016）=k ， ∴f （2016）=20163a+2016b+1=k ， ∴20163a+2016b=k ﹣1，
∴f （﹣2016）=﹣20163a ﹣2016b+1=﹣（k ﹣1）+1=2﹣k ． 故选：D ．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：由圆226260x y x y +--+=，可得22(3)(1)4x y -+-=，所以圆心坐标为(3,1)，半径为2r =，要使得圆上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于
1
2
r
，即1=
，解得a =，故选B. 1 考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于12
r 是解答的关键.
10．【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本， ∴
三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B ．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
11．【答案】B
【解析】
试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面PQMN ，
所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD 所成的角，且为0
45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD
==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1 考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.
12．【答案】A
【解析】解：如图所示，设AB=2，
则A （2，0，0），B （2，2，0），B 1（2，2，2），C 1（0，2，2），E （2，1，0），F （2，2，1）． ∴=（﹣2，0，2），
=（0，1，1），
∴==
=，
∴
=60°．
∴异面直线EF 和BC 1所成的角是60°． 故选：A ．
【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】12()()f x f x >] 【
解
析
】
考点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
14．【答案】．
【解析】解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），
∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，
即d==，
整理得a2+2b2=2，
则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d==≥，
∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．
15．【答案】{x|x＞1或x＜0}．
【解析】解：
即
即x（x﹣1）＞0
解得x＞1或x＜0
故答案为{x|x＞1或x＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
16．【答案】1．
【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
17．【答案】存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．18．【答案】（0,1）
【解析】
考点：本题考查函数的单调性与导数的关系
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（1）=1+k=2；
∴k=1，，定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）为增函数；
证明：设x1＞x2＞1，则：
=
=；
∵x1＞x2＞1；
∴x1﹣x2＞0，，；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．
20．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，
∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，
设∠CAM=θ，∴
EM=2sinθ，EF=，
∵tan∠MFE=1，∴，∴tan=，∴，
∴CM=2．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．
当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，
则，
于是
，
所以AB 中点P 的坐标为，
OP 的斜率为，所以b=1，
．
从而椭圆C 的方程为
；
（Ⅱ）假设存在点Q 设坐标为（m ，0），联立
，
化简得：（2k 2+1）x 2﹣4k 2x+2k 2
﹣2=0，
所以
，，
直线AQ 的斜率
，直线BQ 的斜率
．
，
当m=2时，k AQ +k BQ =0，
所以存有点Q （2，0），使得∠AQO=∠BQO ．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用中点坐标公式，考查存在性问题的解法，注意运用联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）18
. 【解析】
试题解析：（1）证明：取PD 中点R ，连结MR ，RC ， ∵//MR AD ，//NC AD ，1
2
MR NC AD ==
，
∴//MR NC ，MR AC =， ∴四边形MNCR 为平行四边形，
∴//MN RC ，又∵RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ， ∴//MN 平面PCD ．
（2）由已知条件得1AC AD CD ===，所以ACD S ∆=， 所以111328
A QCD Q ACD ACD V V S PA --∆==
⨯⨯=．
考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式. 23．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x ≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x 的值．
【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5； 又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32
=6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个； （2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A 33
=6种情况， 取出的三个数字为2、4、9时，有A 33
=6种情况，
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；
（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0； 又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32
=6种情况，
当末位是2或4时，有A 21×A 21×A 21
=8种情况，
此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C 31×C 31×C 21
=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，
则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，
故x=0不成立；
当x ≠0时，可以组成无重复三位数共有C 41×C 31×C 21
=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，
则每个数字用了
=18次，
则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x 为0与否
两种情况讨论．
24．【答案】（1）()2
f x x =；（2）1m -
【解析】（2）
据题意，()()()2
'2g x f x f x m x x m =+-=+-，即()2222{
22
m x x m x g x m
x x m x -+<
=+-≥，，，，
①若12m <-，即2m <-，当2m x <时，()()22
211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，上
单调递减；当2m x ≥时，()()22
211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
()1-+∞，
上单调递增，故()g x 的最小值为()11g m -=--．
②若112m -≤
≤，即22m -≤≤，当2m x <时，()()211g x x m =-+-，故()g x 在2m ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减； 当2m x ≥时，()()211g x x m =+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增，故()g x 的最小值为
2
24m m
g ⎛⎫=
⎪⎝⎭． ③若12m >，即2m >，当2
m x <时，()()22
211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，上单调递
减，在12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增；当2m x ≥时，()()22
211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，上
单调递增，故()g x 的最小值为()11g m =-．
综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为2
4
m ；当2m >时，
()g x 的最小值为1m -．。