4-1 大数定律ppt课件

lim
n
Fn (
x)
F
(
x)
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y，
简记为
Yn LY
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn( x) 收敛于Y 的分布函数 F ( x), 它是概率论中 较弱的一种收敛性. 定义4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量Y，若对
任意实数 0, 有
2
nn
1
n i 1
iE X i
2
nn
1
n i 1
i
DYn
4
n2n
12
n
i 2 D X i
i 1
4σ 2
n2n 12
n
i2
i 1
4nn 12n 1σ2 6n2n 12
22n 1σ2 3nn 1
从而对任意给定的 0, 由切比谢夫不等式得
0
P{| Yn
μ
|
ε}
DYn
ε2
则序列X
1 n
n i 1
Xi
依概率收敛于1 n n i1
EXi ,
即
X
P
1
n i 1
E
X
i
例2 设随机变量 X1, X2, , Xn, 相互独立, 具有如下分布律:
Xn na 0 na
P
1 2n2
1
1 n2
1 2n2
问是否满足切比谢夫大数定律? 解 由题意可知独立性.
检验是否有 数学期望
设X1, X2, , Xn, 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
DX1 C, DX2 C, , DXn C,
则对任意的 ε 0,恒有
lim
n
P
1 n
i
n 1
X
i
1 n
n i 1
EX
i
ε 0
证 因为Xn两两不相关, 故
D
1 n
n i 1
收敛于随机变量 Y
。
简记为
Yn a.eY almost - everywhere
下面定理揭示了四种收敛之间的关系。 定理 4.2 设随机变量序列{ Xn } 和随机变量 X (1)若 Xn a.e X ，则 Xn P X;
(2) 若 Xn r X ，则
。
(3) 若 Xn P X ，则
Xn P X; Xn L X .
在实践中, 人们认识到，在随机事件的大量 重复出现中，往往呈现出几乎必然的规律，这 个规律就是大数定律。大量测量值的算术平均 值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大量 随机现象中平均结果的稳定性的理论.
大量抛掷硬币 生产过程中的 字母使用频率
正面出现频率
废品率
二、随机变量序列的收敛性
定义4.1 设随机变量 Yn(n 1,2, ) 和随机变量Y 的分布函数分别为Fn( x)(n 1,2, )和F ( x),若在 F( x) 的所有连续点 x 上都有
三、常用的三种大数定律
定义4.5 设X1, X2, , Xn , 是随机变量序列 ,
令
Yn
1 n
n i 1
Xi
如果存在这样一个常数序列a1,a2, ,an, ,
对任意的ε 0,恒有
lim
n
P
Yn
an
ε
0
则称随机变量序列 X n 服从大数定律
Law of Large Numbers.
定理4.3 切比谢夫大数定律
算术平均值1 n
n i 1
E
X
i
.
这种接近是概率 意义下的！
通俗地说, 在定理条件下, n 个随机变 量的算术平均值, 当 n无限增加时, 几乎变 成一个常数.
2 切比谢夫大数定律的另一种叙述
设X1, X2, , Xn, 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
DX1 C, DX2 C, , DXn C,
简记为
Yn rY
特别的有 1-阶收敛又称为平均收敛， 2-阶收敛又称为均方收敛。 可以证明：均方收敛则平均收敛。
定义 4.4 设随机变量序列 {Yn( )} 和随机变量 Y ( ) ，若
P{ : lim Yn( ) Y ( )} 1
n
或简记为 P{nlimYn Y } 1
则称随机变量序列 {Yn }以概率1（或几乎处处）
lim
n
P{|
Yn
Y
|
}
1
或
lim P{|Yn Y | } 0
n
则称随机变量序列 {Yn } 依概率收敛于随机变量Y， 简记为
Yn PY 依概率收敛表示：Yn 与 Y 的绝对误差小于任意小
的正数 的可能性(即概率)将随着n增大而愈来愈
大，直至趋于1. 定理4.1 设 {Yn } 为一随机变量序列，且 Yn PC (常数)，又函数 g() 在点C处连续，则有
E(Xn)
na
1 2n2
0
1
1 n2
na
1 2n2
0,
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
g(Yn ) P g(C).
证 由 g() 在C处连续可知，对任意实数 0, 存在实数 0, 使当 | y C | 时，总有
| g( y) g(C) | , 从而
{| Yn C | } {| g(Yn ) g(C ) |},
1 P{| g(Yn) g(C) | } P{| Yn C | }
1 P{| Yn C | } 1,n
这就表明：
g(Yn) P g(C)
例1 设X1, X2,, Xn 是独立同分布的随机变量
序列, E( Xi ) μ, D( Xi ) σ2 均存在, 证明
Yn
2
nn
1
n i 1
iX i
依概率收敛到 .
解
因为
E Yn
E
2
nn
1
n
iX i
i 1
22n 1σ2 3nn 1ε2
0
n
因此 Yn P .
定义 4.3 设随机变量序列 {Yn }和随机变量 Y
对 r 0 时，有 E | Yn |r (n 1,2 )
和 E | Y |r ，若
lim E | Yn Y |r 0
n
则称随机变量序列 {Yn } r 阶收敛于随机变量Y
第一节 大数定律
一、问题的提出
二、随机变量序列的收敛性
回
三、常用的三种大数定律
停 下
一、问题的提出
在第一章有关概率的统计定义中讲到, 随 机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律 性, 即事件发生的频率具有稳定性.
伯努利于1713年首先提出关于频率稳定性的 定理, 被称为伯努利大数定律.
大数定律的客观背景
Xi
1 n2
n i 1
DXi
C n
再由切比谢夫不等式得到
0
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
i
n 1
EX
i
ε
D
1n
n i1 ε2
Xi
C nε2
于是，当 n 时，结论成立，即定理4.3得证。
注1 当 n 很大时, 随机变量 X1, X2, , Xn的
算术平均值
1 n
i
n 1
X
i
接近于它们的数学期望的