《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题
九年级数学竞赛培优专题及答案 08 二次函数
专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3 ），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使P A ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________. （昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，cba++，cba+-，ba+2，ba-2中，其值为正的式子个数为 ( )A.2个B.3个C.4个D.4个以上（全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线cbxaxy++=2（a≠0）的对称轴是2=x，且经过点P(3,0)则cba++的值为（）A.－1B.0C.1D.28.已知二次函数cbxaxy++=2（0>a）的对称轴是2=x，且当0,,2321===xxxπ时，二次函数y的值分别时321,,yyy，那么321,,yyy的大小关系是（）A.321yyy>>B.321yyy<<C.312yyy<<D.312yyy>>9.已知抛物线4)343(2++-=xmmxy与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题）10.如图，已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线241xy=上的一个动点. （1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1-=y的位置关系；（2）设直线PM与抛物线241xy=的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM.（全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当P A ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得P A ＝AB 成立；（3）如图3，设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标. （武汉市中考试题）图1 图2 图3专题08 二次函数例1 C ．提示：③④⑤成立．对于④，当x ＝－l 时，y ＝a b c -+＜0，∴a c +＜b ．又∵2b a-＝1，则a ＝2b-代入上式，得2c＜3b ；对于⑤，当x ＝1时，max y ＝a b c ++，∴a b c ++＞2am bm c ++，则a b +＞()m am b +（m ≠1）． 例2 B ．提示：S ＝2b ，b ＞0，b ＝1a +，a ＜0． 例3 （1）O （0，0），B （2，—10），y ＝2251063x x -+． （2）x ＝3325-＝85时，y ＝163-，此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5，故此次试跳会出现失误．例4 （1）y 24)x -；（2）P （0，；（3）由点点A （l ，0），C （4，，B （7，0）得∠BAC ＝∠ABC ＝30°，∠ACB ＝120°．①若以AB 为腰，∠BAQ 为顶角，使△ABQ ∽△CBA ，则Q （－2，；②若以BA 为腰，∠ABQ ′为顶角，由对称性得另一点Q ′（10，； ③若以AB 为底，AQ 、BQ 为腰．则Q 点在抛物线的对称轴上，舍去．例5 由NP BC CN -＝BF AF ，得34NP x --＝12，∴NP ＝152x -+，∴y ＝1(5)2x x -+＝21(5)12.52x --+（2≤x ≤4）．∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，y 有最大值为21(45)12.52-⨯-+＝12．例6 （l ）y 2（2）①令2＝0，得1x ＝－1，2x ＝1，则抛物线1c 与x 轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴A （1m --，0），B （1m -，0）．同理可得D （1m -+，0），E （1m +，0）．当AD ＝13AE 时，如图1，(1)(1)m m -+---＝[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝12．当AB ＝13AE时，如图2，(1)(1)m m ----＝[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝2．∴当m ＝12或2时，B 、D 是线段AE 的三等分点．②存在．连结AN 、NE 、EM 、MA ，依题意可得M （m -，N （m，，即M 、N 关于原点O 对称，∴OM ＝ON ．∵A （1m --，0），E （1m +，0）．∴A 、E 关于原点O 对称，∴OA ＝OE ．∴四边形ANEM 为平行四边形．要使平行四边形ANEM 为矩形，必须满足OM ＝OA ，即22m +＝[]2(1)m ---，∴m ＝1．∴当m ＝1时，以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形．A 级1．－2，4或－8． 2．－43．（l ）22x x -；（2〉3或－1；（3）x ＜0或x ＞2． 4．y ＝2x x +或y ＝21133x x -+．提示：另一交点为（－1，0）或（1，0）． 5．D ． 6．B ． 7．D ． 8．B ．图1图29．（1）y ＝212123x x -++ ()()()()()()()()222159127,,.10.126346906.,,,281311.14,2,23.,221113,2,=,=022220BDE ABCABD CDEABP C y x x x S S S B y x x AB x P AB d S AB d OB AO d P x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭<<=--==-==∴=∴-⇒=在抛物线上故导弹能击中目标略当x=3时BE=y 最短其值为此时S 由题意知轴设到距离为则的纵坐标只能是0或4令y 0得()()212, 3.0,0,3,0.,=4,x P y x =∴=符合条件的点为P 同理当的时候()()()()()()()()()()12342222233:0,0,3,0,,4,42212.13,232,3,,230339393233,,24241273332822ABMP P P y x y x x P t t M t t t t PM t t t t t t t PM SPM OA ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-----<<⎛⎫=----=-+=-+∴= ⎪⎝⎭-=⨯=综上符合条件的点有4个P 设则则当时有最大值此时点P 的坐标为()22212:,,1239. 4.28 5. 6.7.8.9.0644,4;340,0,3,,33B O y AB x y x x x x x B A B B x y mx m x m x x y m π=-+≤≤<->=⎛⎫=-++=≠== ⎪⎝⎭级 1.13或5 2.ｌ＝-2m +8m+12 3.636提示设半径为长为则或当时当时解得即抛物线与轴的交点()()40,4,23,0,0.3x A B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C 与轴的个交点为①,94－=m －3,=34,=得由若m BC AC 244;9y x ∴=-+②()222122*********,35,,,443636633488443,3,437721.AC AB m m x y x x y x x m AC BC m y x x m =-===-∴=-+=-++=-==-∴=--+若由得或若由得故所求抛物线的解析式有上述三个()()()()2200022001110.1,, 1.441111=1,,441.2,,1,,.1,,,,1,P x x PM x P y x x P PM y P Q y H R PH PM QM QR PH MN QR y ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭=---+∴=-=-===-∴设点的坐标为则又点到直线的距离为以点为圆心为半径的圆与直线相切如图分别过点作直线的垂线垂足分别为由知同理可得都垂直于直线()()()()()()()22,,,:4,0,4,0,44116,,0,4,0,4.4PH MNQM MP QR PHQR RN NH RN HNA B y ax bx c a x x a x APB P a =∴=∠∠∠∠-=++=+-=--=-于是因此Rt PHN Rt QRN,于是HNP=RNQ,从而PNM=QNM 11.提示是等腰直角三角形故点的坐标为分别求得()12221313120,412.1,,,22914x x y x b c y y y x ⎧⎧=-⎪==-+⎧⎪⎪==-∴⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎪⎩依题意得解得()()()()()()()()()()()()()1222222222239,,1,1.211,1,3,9.2:,24,,22,,.,2,222.,24220.=16822=81616818A B A A P B A a a A m m PA PB PAG BAH AG AH PG BH B m a m a B y x m am a a a a a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭--=∴≅∴==∴-++=-+--=---++=++证明过点分别作过点且平行于x 轴的直线的垂线垂足分别为G,H. 设P 将点代入抛物线得0,,.a m P A >∴无论为何值时关于的方程总有两个不相等的实数解即对于任意给定的点抛物线上总能找到两个满足条件的点()()()()()222223:0,,,,.,.,,.,90, 1.=0,=010,13.,2m y kx b k m m B n n A B AG BH x G HAOB AB AOB y kx b AG OHAGOOHB mn x kx b OG BH y xm n x kx b mn b b D BPC OCP DP DC P a a =+≠∴∠==+⎧=∴=---⎨=⎩--∴=-∴=∠=∠∴==--设直线交y 轴于点D 设A 过点两点分别作垂直于轴于的外心在上由得联立得依题意得是方程的两根即设()()()222222122,,121214,22130.555P PQ y Q Rt PDQ PQ DQ PD a a a a P ⊥+=⎛⎫+---=∴==-∴- ⎪⎝⎭过点作轴于在中即舍去。
全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总附答案
全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总附答案一、二次函数1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤Q ，，∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，2140x ∴=不符合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．2．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）． 【解析】 【分析】（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （32528，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）∵顶点D的坐标为（325 28，-），∴抛物线的对称轴为x32=．∵抛物线y12=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322x=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y12=x﹣2．当x32=时，y1352224=⨯-=-，∴点M的坐标为（3524-，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．3．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．4．如图，抛物线21222y x x =-++与x 轴相交于A B ，两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C.（Ⅰ）求A B ，两点坐标.（Ⅱ）连结AC ，若点P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为t ，四边形ABPC 的面积为S.试用含t 的式子表示S ，并求t 为何值时，S 最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m ，点H 的纵坐标为n ，且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的,m n 的值.【答案】（Ⅰ）(2,0),2,0)A B ；（Ⅱ）22(2)42(022)2S t t =--+<<,当2t =时，42S =最大；（Ⅲ）满足条件的点m n 、的值为：234m n ==，或521524m n ==-，或32124m n =-= 【解析】 【分析】（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；（Ⅱ）设出点P 的坐标，利用S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）抛物线212222y x x =-++， 令0y =，则2122022x x -++=， 解得：2x =-22x = ∴((2,0,22,0A B -（Ⅱ）由抛物线212222y x x =-++，令0x =，∴2y =，∴()0,2C ， 如图1，点P 作PQ x ⊥轴于Q ， ∵P 的横坐标为t ，∴设(),P t p ， ∴2122,22,22p t t PQ p BQ t OQ t =-++==-=， ∴()()11122222222AOC PQB OCPQ S S S S p t t p =++=⨯⨯++⨯+⨯-⨯V V 梯形 11222222t pt p pt p t =+++-=++ 2122222t t t ⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎭ ()22242(022)2t t =--+<<，∴当2t =时，42S =最大；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2t =，∴)2,2P，∵抛物线212222y x x =-++的对称轴为22x =， ∴设2122,2,222G m m m H n ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，()2,0A ， ①当AP 和HG 为对角线时， ∴()2112111222,20222222m m n ⎛⎛⎫=++=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴234m n ==，②当AG 和PH 是对角线时，∴()()2112112122,2022222222m m m n ⎛⎫⎛⎫-=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， ∴5215,24m n ==-， ③AH 和PG 为对角线时，∴()()2121112122,2202222222m m m n ⎛⎫⎛⎫-+=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴321,24m n =-=， 即：满足条件的点m n 、的值为：23,4m n =-=，或5215,4m n ==-，或321,4m n =-= 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．5．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P ，使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴正半轴上运动，当以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．【答案】（1）y ＝－x 2＋4x ；（2）C （3，3），面积为3；（3）P 的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.6．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.7．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．8．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线y ＝x 2+bx +c 的表达式；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标；（3）点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y ＝x +m 与直线BC 交于点E ，与y 轴交于点F ，求PE +EF 的最大值．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D （2，y ），利用两点间的距离公式得到BC 2=32+32=18，DC 2=4+（y ﹣3）2，BD 2=（3﹣2）2+y 2=1+y 2，然后讨论：当BD 为斜边时得到18+4+（y ﹣3）2=1+y 2；当CD为斜边时得到4+（y ﹣3）2=1+y 2+18，再分别解方程即可得到对应D 的坐标；（3）先证明∠CEF =90°得到△ECF 为等腰直角三角形，作PH ⊥y 轴于H ，PG ∥y 轴交BC 于G ，如图2，△EPG 、△PHF 都为等腰直角三角形，则PE =22PG ，PF 2，设P （t ，t 2﹣4t +3）（1＜t ＜3），则G （t ，﹣t +3），接着利用t 表示PF 、PE ，这样PE +EF =2PE +PF =﹣2t 22，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B （3，0），C （0，3）代入y =x 2+bx +c 得：9303b c c ++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=22PG=﹣22t2+322t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．9．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92， ∴C （2，92），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.11．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线21()4y x m n =-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式；（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21(2)34y x =-+；（3）抛物923-2312距离，其顶点落在OP 上． 【解析】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为21()4y x m n =-+，∴21()14y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21(2)24y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；∴D （2，3），∴抛物线解析式为21(2)34y x =-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，∴MN =3=233，∴抛物线需要向下平移的距离=2333-=9233-． ②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，EA ′=2243-=7，∴A ′F =4﹣7，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣7）2+（3﹣c ）2=c 2，∴c =1647-，∴P （4，1647-），∴直线OP 解析式为y =47-x ，∴N （2，827-），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣827-=127+． 综上所述：抛物线向下平移9233-或1273+距离，其顶点落在OP 上．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．12．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)第一套：1. 将函数 $y = 2x^2 - 3x - 2$ 化简为标准形式，并求出它的顶点坐标。
答案：将函数化简为标准形式得到 $y = 2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{33}{8}$，顶点坐标为 $(\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$。
2. 求函数 $y = -x^2 + 4x + 1$ 的零点。
答案：将函数化简为标准形式得到 $y = -(x-2)^2 + 5$，令 $y = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{5}$，即零点为 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ 和 $x_2 = 2 -\sqrt{5}$。
3. 给定函数 $y = x^2 - 6x + 5$，求其对称轴的方程式。
答案：对称轴的方程式为 $x = \frac{-b}{2a}$，代入 $a = 1$ 和 $b = -6$ 得到 $x = \frac{6}{2} = 3$。
4. 若函数 $y = ax^2 + bx - 9$ 与 $y = -x^2 + 7x$ 有相同的图像，求$a$ 和 $b$ 的值。
答案：由于两个函数有相同的图像，所以它们的系数相等。
比较两个函数的对应系数得到 $a = -1$ 和 $b = 7$。
5. 已知函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的图像上存在一点 $(h, k)$，使得 $x= h - 3$ 时，$y = 2k + 12$，求点 $(h, k)$ 的坐标。
答案：将 $x = h - 3$ 代入函数得到 $y = (h-3)^2 - 4(h-3) + 5$。
代入$y = 2k + 12$ 得到 $(h-3)^2 - 4(h-3) + 5 = 2k + 12$。
整理得到 $(h-3)^2 -4(h-3) - 2k - 7 = 0$。
由于该方程为二次方程，必然存在实数解。
初中数学二次函数经典测试题及答案解析
初中数学二次函数经典测试题及答案解析一、选择题1.已知二次函数y = ad —2〃x —3。
（。
工0）,关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（）A.该图象的顶点坐标为（1,—4。
）B.该图象与x轴的交点为（一1,0）,（3,0）C.若该图象经过点（—2,5）,则一定经过点（4.5）D.当x>l时，>随工的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解：y=a （x2-2x-3）=a （x-3）（x+l）令y=o,x=3 或x=-l,・••抛物线与x轴的交点坐标为（3, 0）与（-1, 0）,故B成立；，抛物线的对称轴为：x=l,令x=l 代入y=ax2-2ax-3a,.*.y=a-2a-3a=-4a,，顶点坐标为（1, -4a）,故A成立；由于点（-2, 5）与（4, 5）关于直线x=l对称，・•・若该图象经过点（-2, 5）,则一定经过点（4, 5）,故C成立；当x>l, a>0时，y随着x的增大而增大，当x>l, aVO时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D.【点睛】本题考杳二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型.2.如图，二次函数），=4/+区+，= 0（。
0）的图象与工轴正半轴相交于4、3两点，与了轴相交于点C,对称轴为直线x = 2,且OA = OC,则下列结论：①i〃c>0；②9a + 3b+cvO； @o-l；④关于工的方程权?+h丫+。
= 0（。
0）有一个根为-其中正确的结论个数有（aA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由二次图像开口方向、对称轴与y轴的交点可判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图像可知当x=3时，y<0,可判断②：由OA=OC,且0AV1,可判断③；把-J代入方程整理得ac2 —bc + c=O,结合③可判断④：从而得出答案.【详解】由图像开门向下，可知aVO,与y轴的交点在x轴的下方，可知cVO,又对称轴方程为x=2, - - >0, .\b>0, Aabc>0,故①正确；由图像可知当x=3 时，y>0, 9a +2cl3b + c>0,故②错误；由图像可知OAV1, ・・，OA=OC,，OCV1,即-cVl,故③正确；假设方程的一个根为X=- 1,把代入方程，整理得配2 —bc + c = O,即方程有一a a个根为x=-c,由②知-c=OA,而当x=OA是方程的根，・・・x=-c是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.3.如图，抛物线y=ax2+bx+c ("0)与x轴交于点4 (1, 0),对称轴为直线x=-l,当V>0时，x的取值范围是()A. -1<X<1B. -3<x< - 1C. x<lD. - 3<x<l【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：•・•抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点4 （1, 0）,对称轴为直线x=-l,・•・抛物线与x轴的另一交点坐标是（-3, 0）,・•・当y>0时，x的取值范围是-3VxVl.所以答案为：D.【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.4.方程x? + 3x — l = 0的根可视为函数> =x + 3的图象与函数y = 2的图象交点的横坐X标，则方程x3 + 2x —1 = 0的实根xo所在的范围是（）A 1 1 1 1 1 1A. 0<X o<-B. -<X0<-C. -<X0<- D, -<X O<1° 4 4 0 3 3 0 2 2 0【答案】c【解析】【分析】首先根据题意推断方程X3+2X-1=0的实根是函数y=x?+2与y =，的图象交点的横坐标，再根x据四个选项中X的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x-l=o的实根x所在范围.【详解】解：依题意得方程x$+2x —1 = 0的实根是函数V = x? + 2与y = L的图象交点的横坐标, x这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限.X当x=L时，y = x2 + 2 = 2—, y=- = 4,此时抛物线的图象在反比例函数下方; 4 16 x当X=:时，> =炉+2 = 2《，y = - = 3,此时抛物线的图象在反比例函数下方；3 9 x当x=2时，y = x2 + 2 = 2~, y = - = 2,此时抛物线的图象在反比例函数上方；2 4 x当x=l时，y = x? + 2 = 3, y=- = l,此时抛物线的图象在反比例函数上方.X:.方程父+ 2x — 1 = 0的实根X。
（完整版）初中数学二次函数试题及答案
（完整版）初中数学⼆次函数试题及答案⼀、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于⼆次函数的是(x为⾃变量)()A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. x轴上D. y轴上4. 抛物线的对称轴是()A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图所⽰，则下列结论中，正确的是()A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06. ⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图所⽰，则点在第___象限()A. ⼀B. ⼆C. 三D. 四7. 如图所⽰，已知⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若⼀次函数y=ax+b的图象经过第⼆、三、四象限，则⼆次函数y=ax2+bx 的图象只可能是()9. 已知抛物线和直线在同⼀直⾓坐标系中的图象如图所⽰，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1系是()A. y1B. y2C. y3D. y210.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A. B.C. D.⼆、填空题(每题4分，共32分)11. ⼆次函数y=x2-2x+1的对称轴⽅程是______________.12. 若将⼆次函数y=x2-2x+3配⽅为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直⾓三⾓形，请写出⼀个符合要求的⼆次函数解析式________________.16. 在距离地⾯2m⾼的某处把⼀物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空⽓阻⼒的情况下，其上升⾼度s(m)与抛出时间t(s)满⾜：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最⾼点距地⾯_________m.17. 试写出⼀个开⼝⽅向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若⼆次函数的图象的对称轴⽅程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)(1)求此⼆次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此⼆次函数的解析式；20.在直⾓坐标平⾯内，点O为坐标原点，⼆次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求⼆次函数解析式；(2)将上述⼆次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的⾯积.21.已知：如图，⼆次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的⾯积S△MCB22.某商店销售⼀种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满⾜如下关系：在⼀段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，⽽单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最⼤.答案与解析：⼀、选择题1.考点：⼆次函数概念.选A.2.考点：求⼆次函数的顶点坐标.解析：法⼀，直接⽤⼆次函数顶点坐标公式求.法⼆，将⼆次函数解析式由⼀般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3.考点：⼆次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进⾏判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4.考点：数形结合，⼆次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利⽤公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：⼆次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开⼝⽅向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上⽅，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定⼆次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开⼝⽅向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上⽅，在第四象限，答案选D.7.考点：⼆次函数的图象特征.解析：因为⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的⼤致形状.解析：因为⼀次函数y=ax+b的图象经过第⼆、三、四象限，所以⼆次函数y=ax2+bx的图象开⼝⽅向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9.考点：⼀次函数、⼆次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y随x的增⼤⽽减⼩，所以y210.考点：⼆次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.⼆、填空题11.考点：⼆次函数性质.解析：⼆次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线⽅程.答案x=1.12.考点：利⽤配⽅法变形⼆次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13.考点：⼆次函数与⼀元⼆次⽅程关系.解析：⼆次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为⼀元⼆次⽅程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求⼆次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是⼀道开放题，求解满⾜条件的⼆次函数解析式，答案不唯⼀.解析：需满⾜抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，及△ABC是直⾓三⾓形，但没有确定哪个⾓为直⾓，答案不唯⼀，如：y=x2-1.16.考点：⼆次函数的性质，求最⼤值.解析：直接代⼊公式，答案：7.17.考点：此题是⼀道开放题，求解满⾜条件的⼆次函数解析式，答案不唯⼀.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：⼆次函数的概念性质，求值.答案：.三、解答题19.考点：⼆次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：⼆次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根⼜∵(x1+1)(x2+1)=-8∴x1x2+(x1+x2)+9=0∴-(k+4)-(k-5)+9=0∴k=5∴y=x2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为：y=(x-2)2-9且x=0时y=-5∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME⊥y轴于点E，则=15.可得S△MCB22.思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量.要想获得最⼤利润，并不是单独提⾼单个商品的利润或仅⼤幅提⾼销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最⼤.因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利⽤这个等式寻找出所求的问题，这⾥我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是(13.5-x)元了.单个的商品的利润是(13.5-x-2.5)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y元.利⽤上⾯的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是⼆次函数，即可利⽤⼆次函数的知识，找到最⼤利润.解：设销售单价为降价x元.顶点坐标为(4.25，9112.5).即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5-4.25=9.25时，可取得最⼤利润9112.5元。
二次函数竞赛题
二次函数竞赛题二次函数竞赛题1．二次函数c+=2的图象的顶点为D，与x轴正方向从xbxy+左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则=b2．+c2．在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线b=上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、axy+F.试求b a,的值使得AD2+BE2+CF2达到最小值.3.（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．4.已知直线3y=相交于A、B两点，O为坐y与抛物线2x2+-=x标原点，那么△OAB的面积等于___________。
5.（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x •轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为________．6.设抛物线()452122++++=a x a xy 的图象与x 轴只有一个交点，（1）求a 的值；（2）求618323-+a a 的值.7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段.（1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.8．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，•水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，•他们对水槽的横截面进行了如下探索：（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）．若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）．若∠ABC=120°，•请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，•使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．9．如图，抛物线2(0)=+>与双曲线ky ax bx a=yx相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.10.如图，抛物线()2230=-->与x轴交于A B、两点，与y轴y mx mx m m交于C点.（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A B、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x.（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.12.已知0<a ，0≤b ，0>c ，且acb ac b 242-=-，求acb42-的最小值.13. 在自变量x 的取值范围59≤x ≤60内，二次函数212y x x =++的函数值中整数的个数是( )A .59B .120C .118D .6014. 在直角坐标系中，抛物线223(0)4y xmx m m =+->与x 轴交于A ，B 的两点.若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OB OA -=，则m =__ ___.15. Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ） （A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2（D ）h >216. 设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ）（A ）k （B ）k k 12- （C ）k 1 （D ）kk 1+17. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ） （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个（D ）8个18. 函数1422-+=x x y 的最小值是 ．yx1·19.对220b aab ≠≠，，二次函数))((b x a x y --=的最小值为 （ ）A . 2)2(b a + B . 2)2(ba +- C . 2)2(b a - D . 2)2(ba --20.两抛物线222b ax xy ++=和222b cx xy -+=与x 轴交于同一点（非原点），且a 、b 、c 为正数，a ≠c ，则以a 、b 、c 为边的三角形一定是 （ ） A . 等腰直角三角形 B . 直角三角形 C . 等腰三角形 D . 等腰或直角三角形21.当n =1，2，3，……，2003，2004时，二次函数1)12()(22++-+=x n x n n y 的图象与x 轴所截得的线段长度之和为（ ）A . 20032002B . 20042003C . 20052004D . 2006200522.已知二次函数cbx axy ++=2图象如图6-2所示，则下列式子： ab ，ac ，a +b +c ， a -b +c ，2a +b ，2a -b 中，其值为正的个.23.如果当m 取不等于0和1的任意实数时，抛物线mm x m x m m y 3212--+-=在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿24.已知抛物线1)1(2+++=x k xy 与x 轴两个交点A 、B 不全在原点的左侧，抛物线顶点为C ，要使△ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为＿＿＿＿＿＿＿25.设x 为实数，则函数12156322++++=x x x x y 的最小值是＿＿＿＿＿＿26.设二次函数qpx xy ++=2的图象经过点（2，-1）， 且与x轴交于不同的两点A （x 1，0） B （x 2，0），M 为二次函数图象的顶点，求使△AMB 面积最小时的二次函数的解析式.27.已知：3x 2+2y 2=6x , x 和y 都是实数，求：x 2+y 2的最大、最小值.FE GA BCD At s ODtsOBt s OCt s O28.ABC ∆中,∠B =60，AC =1，求BA +BC 的最大值及这时三角形的形状.29.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示 的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形．．．．S ()t 变化的图象大致是（ ）N MH GFE DCBA30.（南京）如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413CE CF ==，,直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y⑴ 求y 与x 之间的函数关系式； ⑵ 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． （2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.-2-1O1x2批发量（kg ）批发单价（元）O 602045764080零售价（元）最高日销量（kg ）O32．函数623)12(222+-+--=k k x k xy 的最小值为m ，则当m 达到最大时，x ＝______（2004年全国初中数学联赛）33．设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数)3()(2)1(2222b ak k x k a x k k y ++++-++=的图像与x 轴交于点A （1，0）（1）求a ，b 的值（2）若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求AB 的最大值34.（2007年福州）如图所示，二次函数2y axbx c=++（a ≠0）的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中－2＜1x ＜－1，0＜2x ＜1，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③a ＜－1；④284ba ac+＞.其中正确的有：（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个35.（2007年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米，现在O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．36.（2009年天津市）已知函数212yx y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上．（Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为112时，求t 的值；（Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．37. 已知点A (0,3)，B (-2,-1)，C (2,-1) P (t ,t 2)为抛物线y ＝x 2上位于三角形ABC 内（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC 于E ， CP 所在的直线交AB 于F 。
初中二次函数试题及答案
初中二次函数试题及答案一、选择题1. 函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像是一个开口向上的抛物线，则a 的取值范围是（）。
A. a>0B. a<0C. a=0D. a≠0答案：A2. 抛物线y=x^2-2x+1的顶点坐标是（）。
A. (1, 0)B. (1, 2)C. (0, 1)D. (-1, 2)答案：A3. 函数y=-2x^2+4x-1的对称轴是（）。
A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1答案：A二、填空题4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（1，2），则4a+2b+c=_______。
答案：25. 抛物线y=x^2-6x+9的顶点坐标是（ 0，）。
答案：9三、解答题6. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），求该二次函数的对称轴。
答案：对称轴为直线x=1。
7. 抛物线y=-3x^2+6x+2与y轴交于点C，求点C的坐标。
答案：C（0，2）8. 已知抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（2，5）和（-1，10），求该抛物线的顶点坐标。
答案：顶点坐标为（1，6）。
四、综合题9. 抛物线y=2x^2-4x+3与直线y=x+1相交于点D和点E，求D和E的坐标。
答案：D（1，2），E（2，3）10. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（-2，-3）和（1，6），且对称轴为直线x=-1，求该二次函数的解析式。
答案：y=-x^2-2x+5。
二次函数竞赛题
二次函数竞赛题1．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．2．在直角坐标系中有三点A （0，1），B （1，3），C （2，6）；已知直线b ax y +=上横坐标为0、1、2的点分别为D 、E 、F .试求b a ,的值使得AD 2+BE 2+CF 2达到最小值.3.（2004年“TRULY @信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x 、y 、z 满足x +y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是_______．4.已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
5.（2003年“TRULY @信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x •轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为________．6.设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，（1）求a 的值；（2）求618323-+a a 的值.7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段.（1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式； （2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排， 使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.8．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口．．的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，•水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，•他们对水槽的横截面进行了如下探索： （1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a ）．若∠ACB =90°，设AC =x 厘米，该水槽的横截面面积为y 厘米2，请你写出y 关于x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围），并求出当x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b ）．若∠ABC =120°，•请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y 的最大值比较大小．（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，•使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．9．如图，抛物线2(0)y ax bx a =+>与双曲线ky x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满 足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.10.如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点.（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.12.已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.13. 在自变量x 的取值范围59≤x ≤60内，二次函数212y x x =++的函数值中整数的个数是( ) A .59 B .120 C .118 D .6014. 在直角坐标系中，抛物线223(0)4y x mx m m =+->与x 轴交于A ，B 的两点.若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OB OA -=，则m =__ ___.15. Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >216. 设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ） （A ）k （B ）k k 12- （C ）k1（D ）k k 1+17. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个18. 函数1422-+=x x y 的最小值是 ．19.对220b a ab ≠≠，，二次函数))((b x a x y --=的最小值为 （ ）A . 2)2(b a + B . 2)2(b a +- C . 2)2(b a - D . 2)2(b a --20.两抛物线222b ax x y ++=和222b cx x y -+=与x 轴交于同一点（非原点），且a 、b 、c 为正数，a ≠c ，则以a 、b 、c 为边的三角形一定是 （ ） A . 等腰直角三角形 B . 直角三角形 C . 等腰三角形 D . 等腰或直角三角形21.当n =1，2，3，……，2003，2004时，二次函数1)12()(22++-+=x n x n n y 的图象与x 轴所截得的线段长度之和为（ ） A . 20032002B .20042003C .20052004D .2006200522.已知二次函数c bx ax y ++=2图象如图6-2所示，则下列式子： ab ，ac ，a +b +c ，a -b +c ，2a +b ，2a -b 中，其值为正的式子共有 个.23.如果当m 取不等于0和1的任意实数时，抛物线mm x m x m m y 3212--+-=在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿24.已知抛物线1)1(2+++=x k x y 与x 轴两个交点A 、B 不全在原点的左侧，抛物线顶点为C ，要使△ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为＿＿＿＿＿＿＿25.设x 为实数，则函数12156322++++=x x x x y 的最小值是＿＿＿＿＿＿26.设二次函数q px x y ++=2的图象经过点（2，-1）， 且与x 轴交于不同的两点A （x 1，0） B （x 2，0），M为二次函数图象的顶点，求使△AMB 面积最小时的二次函数的解析式.27.已知：3x 2+2y 2=6x , x 和y 都是实数，求：x 2+y 2的最大、最小值.28.ABC ∆中,∠B =60，AC =1，求BA +BC 的最大值及这时三角形的形状.29.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示 的 位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是（ ）FEGABCD N MH GFEDC BAkg ）30.（南京）如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413CE CF ==，,直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；⑵ 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.32．函数623)12(222+-+--=k k x k x y 的最小值为m ，则当m 达到最大时，x ＝______ （2004年全国初中数学联赛）33．设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数)3()(2)1(2222b ak k x k a x k k y ++++-++=的图像与x 轴-2-1O1x2交于点A （1，0）（1）求a ，b 的值（2）若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求AB 的最大值34.（2007年福州）如图所示，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中－2＜1x ＜－1，0＜2x ＜1，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③a ＜－1；④284b a ac +＞.其中正确的有：（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个35.（2007年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米，现在O点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．36.（2009年天津市）已知函数212y x y x bx c αβ==++，，，为方程120y y -=的两个根，点()1M T ，在函数2y 的图象上． （Ⅰ）若1132αβ==，，求函数2y 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数1y 与2y 的图象的两个交点为A B ，，当ABM △的面积为112时，求t 的值； （Ⅲ）若01αβ<<<，当01t <<时，试确定T αβ，，三者之间的大小关系，并说明理由．37. 已知点A (0,3)，B (-2,-1)，C (2,-1) P (t ,t 2)为抛物线y ＝x 2上位于三角形ABC 内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交AC 于E ， CP 所在的直线交AB 于F 。
全国初中数学竞赛二次函数历届考题
《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题11（2008）、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。
解：存在满足条件的二次函数。
因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。
由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得2552a b c -+= ①当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤2， 故 2a b c ++= ②由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分 当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥ 所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故20(42)4(25)0a a a a ⎧⎨---≤⎩ 即20,(31)0,a a ⎧⎨-≤⎩ 所以13a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥， 所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故210,(4)4(1)(51)0,a a a a -⎧⎨----≤⎩即21,(31)0,a a ⎧⎨-≤⎩所以13a = 综上，141,4,25333a b a c a ====-=所以，存在二次函数23141333y x x =++，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有132y y y ≤≤成立。
全国初中数学竞赛二次函数历届考题
《全国初中数学比赛》二次函数历届考题11（ 2008）、已知一次函数y 12x ，二次函数y 2x 21 ，能否存在二次函数y 3ax 2bxc ，其 象 点（－5,2），且 于随意 数x 的同一个 ， 三个函数所 的函数y 1 , y 2 ，y 3 ，都有y 1y 2y 3 建立？若存在，求出函数 y 3 的解析式；若不存在， 明原因。
解：存在 足条件的二次函数。
因 y 1 y 2 2x ( x 2 1)x 2 2 x 1 ( x 1)2 0 ，因此，当自 量x 取随意 数 ， y 1y 2 均建立。
由已知，二次函数 y 3 ax 2 bx c 的 象 点（－ 5,2），得25 a 5b c 2①当 x 1 ，有 y 1 y 22 ， y3 a b c因为 于自 量 x 取任 数 ， y 1 y 3y 2 均建立，因此有 2≤ ab c ≤2，故a b c 2②由①，②，得 b 4a ， c 25a ，因此 y 3 ax 2 4ax (2 5a).⋯⋯ 5 分当 y 1y 3 ，有 2xax 24ax (2 5a) ，即 ax 2(4a 2) x (2 5a)因此，二次函数 yax 2 (4a 2)x(2 5a) 于全部 数 x ，函数 大于或等于零，故a 0即a 0,1(4a 2)2 4a(2 5a) 0 (3a 1)2因此 a0, 3当 y 3y 2 ，有 ax 24ax(2 5a) x 2 1 ，即 (1a) x 2 4ax (5a 1)0 ，因此，二次函数 y(1 a) x 24ax (5a 1) 于全部 数x ，函数 大于或等于零，故1 a 0,即a 1,1( 4a) 2 4(1 a)(5a 1) (3a 1)2因此 a0, 0,3上， a1, b4a4, c 25a 1333因此，存在二次函数 y31x24x 1，在数范内，于 x 的同一个，333都有 y1 y3 y2建立。
⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分11（2009）．函数 y x2(2k 1)x k 2的象与 x 的两个交点能否都在直x1的右？假如，明原因；若不用然是，求出两个交点都在直x 1 的右k 的取范．解：不用然，比方，当 k＝0 ，函数的象与x 的交点（ 0， 0）和（ 1，0），不都在直x 1的右．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分函数与 x 的两交点的横坐x, x， x x(2k 1), xx k 2 ，当1212 1 2且当足以下条件≥0,( x11)(x21) 0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分( x11)( x2 1) 0，抛物与 x 的两交点都在直x 1 的右．(2 k1)24k 2≥ 0,由2k10,k 22k0,k≤1 , 4解之，得k 1 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分2k 2 或 k0 .因此当k 2 ，抛物与x 的两交点在直x1的右．⋯⋯⋯⋯⋯⋯20 分12（ 2010）．如图，抛物线y ax2bx （a0）与双曲线y k订交于点A， B.已知点A x的坐标为（1， 4），点 B 在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）务实数 a， b， k 的值；（2）过抛物线上点 A 作直线 AC∥ x 轴，交抛物线于另一点 C ，求全部 足△EOC ∽△ AOB 的点 E 的坐 .解：（ 1）因 点 A （1， 4）在双曲 yk 上，x 因此 k= 4. 故双曲 的函数表达式 y4 .x（第 12 题）点 B （ t ， 4）， t0 ， AB 所在直 的函数表达式y mx n ， 有t4 m ，n4 4(t 1)4， 解得 m ， n .mtt ttn于是，直 AB 与 y 的交点坐0, 4(t 1) ，故tSAOB1 （ ） 1 t 3 ，整理得 2t23t2 0 ，4 t 12 t解得 t2 ，或 t ＝1（舍去）．因此点 B 的坐 （2 ， 2 ）．2因 点 A ，B 都在抛物 yax 2 bx （a0）上，因此a b，a ，4解得1⋯⋯⋯⋯（ 10 分）4a 2b，b 3.2（ 2）如 ，因 AC ∥ x ，因此 C （4 ，4），于是 CO＝42 . 又 BO=22，因此 CO2 .BO抛物 yax 2 bx （a 0）与 x 半 订交于点D ，点 D 的坐 （3 ， 0） .（第 12 题）因 ∠ COD ＝∠ BOD ＝ 45 ，因此∠ COB= 90 .（ i ）将△ BOA 点 O 旋 90，获得△ B OA 1 . ，点 B (2 ， 2)是 CO 的中点，点 A 1 的坐 （ 4，1） .延 OA 1 到点 E 1 ，使得 OE 1 = 2OA 1 ， 点 E 1 （ 8， 2 ）是符合条件的点 .（ ii ）作△ BOA 对于 x 的 称 形△B OA 2 ，获得点 A 2（1， 4 ）；延 OA 2 到点 E 2 ，使得 OE 2 ＝ 2OA 2 ， 点 E ２（ 2，8 ）是符合条件的点．因此，点 E 的坐 是（ 8， 2 ），或（ 2，8 ） .⋯⋯⋯⋯（ 20 分）13（2011）．点A为 y 轴正半轴上一点， A， B 两点对于x轴对称，过点 A 任作直线交抛物线 y2x2于P，Q两点 .3（1）求证：∠ABP =∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求全部知足条件的直线PQ的函数解析式 .解：（1）如图，分别过点P， Q 作 y 轴的垂线，垂足分别为C， D .设点 A 的坐标为（0，t），则点 B 的坐标为（0，- t）.设直线 PQ 的函数解析式为 y kx t ,并设 P， Q 的坐标分别为（x P，y P）,（ x Q，y Q）. 由y kx t，得于是x P x Qy2x2，32 x2kx t33t ，即 t2x P x Q.232 x2t2x 20，（第 13 题）22x x x ( x x )于是BCBD y P t3P3Py Q t22223x Q t3x Q3P Q3P P Q x P.2x P x Q2x Q( x Q x P )x Q33又因为PCx P，因此BCPC . QD x Q BD QD因为∠ BCP∠ BDQ90 ，因此△ BCP ∽△ BDQ ，故∠ ABP =∠ ABQ .（）设 PC a，DQ b ，不如设a≥ b，由（）可知2>01∠ ABP =∠ ABQ30 ， BC =3a， BD =3b，因此AC =3a 2 ，AD=23b .因为 PC∥ DQ ，因此△ACP ∽△ ADQ .于是PCAC ，即 a3a 2 ，DQ ADb 23b因此 a b3ab ．由（ 1）中于是可求得x P x Q3t ，即 ab3，因此 ab3， a b 3 3 ，2222a 2b 3.将 b 3代入 y2x2，获得点Q的坐标（3，1）. 2322再将点 Q 的坐标代入 y kx 1 ，求得 k 3. 3因此直线 PQ 的函数解析式为y31 . x3（）、已知抛物线C 1：yx23x4和抛物线 C2：y x23x 4 订交于112007A，B 两点。
初中数学竞赛二次函数习题
§6.3二次函数6.3.11.设抛物线y=2x2，把它向右平移P个单位，或向下平移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p、q的值；2.把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点（1,3）与（4,9），求p,q的值。
3.把抛物线y=ax2+bx+c向左平移三个单位后，所得的图像是经过点(−1，)的抛物线y=ax2,求原二次函数的解析式。
−126.3.2 已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图像如图所示（1）确定a，b，c的符号；（2）求a+b+c的取值范围6.3.3 一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）6.3.4已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图像经过点A（-1,4）与点B（2,1），并且与x 轴有两个不同的交点，求b+c的最大值。
6.3.5 RT三角形ABC，的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB 平行于X轴，若斜边上的高位h，则（）A．h<1 B.h=1 c. 1<h<2 d. h>26.3.6 在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−34m2(m>0）与X轴交与A、B两点，若A、B两点到原点的距离分别为OA,OB，且满足1OB −1OA=23，求M的值。
6.3.7不论M取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m−1的顶点都在一条直线上，求这条直线的函数解析式。
6.3.8设a、b为常数，并且b<0，抛物线y=ax2+bx+a2+√2a−4的图像为图中的四个图像之一，求a的值。
6.3.9已知抛物线y=ax2−(a+c)x+c(其中a≠c)不经过第二象限。
（1）判断这条抛物线的顶点A（x0,y0)所在象限，并说明理由。
（2）若经过这条抛物线顶点A（x0,y0)的直线y=−x+k与抛物线的另一个交点为B(a+c,−c),求抛物线的解析式a6.3.10设二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件：f(0)=2,f(1)=−1,且其图像在X 轴上所截得的线段长为2√2，求这个二次函数的表达式。
初中数学竞赛 知识点和真题 第12讲 二次函数
第12讲 二次函数一切自然科学，都是研究函数。
——Ｈ.Ｈ.鲁金知识方法扫描1. 二次函数的解析式有三种：① 一般式c bx ax y ++=2(a ≠0)；② 顶点式：y=a (x+2b a )2+244ac b a -； ③ 分解式 y=a(x-x 1)(x-x 2) 。
要根据题目的条件选取恰当的解析式：已知图象上三点坐标的常用一般式；已知极值或对称轴的，常用顶点式，已知图象与x 轴两交点的，常用分解式。
2. 二次函数的图像① 二次函数的图像是抛物线，顶点是24(,)24b ac b a a -- , 对称轴是x=2b a-,. ② 当a>0时, 开口向上， 当a<0时, 开口向下。
③ 当 b 2-4ac>0时, 抛物线与x 轴有两个交点，且抛物线与x 轴两交点的横坐标x 1,x 2是一元二次方程20ax bx c ++=的两根。
两交点之间的距离为| x 1-x 2|； 当 b 2-4ac=0时, 抛物线与x 轴有一个公共点，该点的横坐标是2b a-； 当 b 2-4ac<0时, 抛物线与x 轴没有公共点。
④抛物线与y 轴有一个公共点,其坐标为(0,c), 3．二次函数c bx ax y ++=2 (a ≠0)中系数的符号的确定方法：a 的符号由开口方向来确定; c 的符号由与y 轴交点的位置来确定;b 的符号由对称轴的位置结合开口方向来确定; b 2-4ac 的符号由与x 轴交点个数来确定；a+b+c 的符号由x=1时,y 的值的符号来确定；a-b+c 的符号由x=-1时,y 的值的符号来确定。
4．在处理一元二次方程的根的分布问题时，要注意运用数形结合的方法，化为二次函数的图像与x 轴交点的位置问题来解决，要善于从图像中挖掘出根与系数，与函数值之间的关系来。
经典例题解析例1．(2002年广西初中数学竞赛试题)某公司生产一种产品，每件成本为2元，售价为3元，年销售量为100万件，为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告。
讲义009二次函数综合应用--全国初中数学联赛分类汇编含答案
2007-2015年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编---代数部分八、代数式求值7：二次函数综合1. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最 小值b 58-，则△ABC 是（ ）（2007） （A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）.2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．（2010）解：由题意知，点C 的坐标为),0(c ，c OC =．设B A ,两点的坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，则21,x x 是方程02=++c bx x 的两根． 由根与系数的关系得c x x b x x =-=+2121,．又︒=∠30CAO ，则c AC AB c AC 323,2===． 于是，c AC OA x 330cos 1=︒==，c AB OA OB x 332=+==．由c c x x ==2219，得91=c ．3．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．（2011）解：由已知，得),0(c C ，)0,24(2c b b A ---，)0,24(2c b b B -+-，)44,2(2c b b D ---． 过D 作AB DE ⊥于点E ，，则AB DE =2，即c b c b 444222-=-⨯，得c b c b 42422-=-， 所以042=-c b 或242=-c b ．又042>-c b ，所以242=-c b ． 又OB OC =，即242c b b c -+-=，得2422=-=+c b c b ．4．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=_____（2008） 解 根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤.∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=.5.2=++若抛物线与轴只有一个公共点，且过点A(m,n)，B(m-8,n),则n= y x bx c x( )(2015)A. 8B. 12C. 16 D . 24。
九年级数学竞赛培优专题及答案 09 特殊与一般(含答案)
专题09 特殊与一般——二次函数与二次方程阅读与思考二次函数的一般形式是()02≠++=a c bx ax y ，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于x 的二次三项式，若令y =0，则得02=++c bx ax这是一个关于x 的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为： 1.当0>∆时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x 轴有两个不同的交点，设为A (1x ，0)，B (2x ，0)，其中1x ，2x 是方程两相异实根，aacb AB 42-=;2.当0=∆时，方程有两个相等实数根，抛物线与x 轴只有一个交点；3.当0<∆时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆是直角三角形，则ac = .（全国初中数学联赛试题）（2）为使方程b x x +=+-311322有四个不同的实数根，则实数b 的取值范围为 . 解题思路：对于（1），ABC ∆为直角三角形，则A ，B 两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．【例2】设一元二次方程0622=-++k kx x 的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k 的取值范围．解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件．【例3】如果抛物线()1122++-+-=m x m x y 与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b ， （1）求m 的取值范围；（2）若1:3:=b a ，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3）设（2）的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线是否存在一点P ，使得PAB ∆面积等于BCM ∆的面积的8倍？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．（南京市中考试题）解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．【例4】 设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图像与x 轴有2个不同的交点A ()0,1x ，B ()0,2x ． （1）求证：032221>++p x px ；（2）若A ，B 两点之间距离不超过32-p ，求p 的最大值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据题意，方程022=--p px x 有两个不同的实数根1x ，2x ，于是0>∆，综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．【例5】是否存在这样的实数k ，使得二次方程()()023122=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，k 应满足的条件，借助函数图象解题．【例6】设m ，n 为正整数，且2≠m .如果对一切实数t ，二次函数()mt x mt x y 332--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于n t +2，求m ，n 的值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由()0332=--+mt x mt x ，得mt x x =-=21,3，由条件得n t mt +≥+23，因此不等式对任意实数t 都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．能力训练A 级1．已知二次函数2242m mx x y +-=的图象与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ，若△ABC 的面积为24，则m = .2．把抛物线()213--=x y 向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴相交于点A (1x ，0)和B (2x ，0)，已知9262221=+x x ，那么平移后的抛物线的解析式为 . （杭州市中考试题） 3．抛物线()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示．（1）判断abc 及ac b 42-的符号：abc 0 ，ac b 42- 0； .（2）当OB OA =时，c b a ,,满足的关系式为________________ .4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则a 的取值范围为 . （黑龙江省中考试题）5．若关于x 的方程0322=+-m x x 的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则m 的取值范围是（ ）A. 89<m B.8914<<-m C. 59<<-m D. 214-<<-m （天津市竞赛试题） 6．设函数()()5412+-+-=m x m x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A ，B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1:4，则m 的值为（ ）A. 8B.-4C. 11D. -4 或117．已知二次函数c bx ax y ++=2与x 轴相交于两点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其顶点坐标为P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--44,22b c b ，AB=21x x -，若1=∆APB S ，则b 与c 的关系是（ ） A. 0142=+-c b B. 0142=--c bC. 0442=+-c bD. 0442=--c b（福州市中考试题）8．设关于x 的方程()0922=+++a x a ax 有两个不等的实数根1x ，2x ，且1x ＜1＜2x ，那么a的取值范围是（ ）A. 5272<<-a B. 52>a C. 72-<a D. 0112<<-a（全国初中数学竞赛试题）第4题图第3题图第6题图9．已知二次函数()()628222+++-=m x m x y ．（1）求证：不论m 取任何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴上；（2）设这个函数的图象与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点，若△ABC 的面积为48，求m 的值． （徐州市中考试题）10．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A (1x ，0)，B (2x ，0)，交轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO BO AO（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角？若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）11．已知抛物线m m mx x y -++=2218381与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0) (1x ＜2x )两点，与y 轴交于点C (0，b )，O 为原点．（1）求m 的取值范围．（2）若81>m ，且OC OB OA 3=+，求抛物线的解析式及A ，B ，C 的坐标； （3）在（2）情形下，点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB ，OC 向B ，C 运动，连接PQ 与BC 交于M ，设AP =k ，问：是否存在k 值，使以P ，B ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求所有k 值；若不存在，请说明理由．（黄冈市中考试题）12．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（武汉市中考试题）B 级1．已知抛物线722-++=m mx x y 与x 轴的两个交点在（1，0）两旁，则m 的取值范围为 ____________.2．设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，则618323-+a a 的值为 ____________.（全国初中数学联赛试题）3．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则m = .（全国初中数学联赛试题）4．已知抛物线12++=kx x y 与x 轴的正方向相交于A ，B 两点，顶点为C ，△ABC 为等腰直角三角形，则k = .5．如图，已知抛物线q px x y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴负半轴于C 点，∠ACB =90°，且OCOB OA 211=-，则△ABC 的外接圆的面积为 .yxCBAO6．已知抛物线12-++=k kx x y ，（1）求证：无论k 为何实数，抛物线经过x 轴上的一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)，两点，且满足：1x ＜2x ，21x x <，6=∆ABC S .问：过A ，B ，C 三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标．（武汉市中考试题）7．已知抛物线q px x y ++=2上有一点()00,y x M 位于x 轴下方.（1）求证：已知抛物线必与x 轴有两个交点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其中1x ＜2x ； （2）求证：1x ＜0x ＜2x ;（3）当点M 为（1，-2）时，求整数1x ，2x . （《学习报》公开赛试题）8．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例的关系，如图1所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？（南宁市中考试题）图2图19．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程()0)45)(1(2672=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．（绍兴市竞赛试题）10．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 周长最小？若存在，求点出C 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．（深圳市中考试题）11．如图1，抛物线32++=bx ax y 经过两点A （-3，0），B （-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线92+-=x y 与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0，3)作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使得△PEF 的内心在y 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）12．已知二次函数c bx x y -+=2的图象经过两点P (1，a )，Q (2，10a ) （1）如果a ，b ，c 都是整数，且a b c 8<<，求a ，b ，c 的值；（2）设二次函数c bx x y -+=2的图象与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，如果关于x 的方程02=-+c bx x 的两个根都是整数，求△ABC 的面积．（全国初中数学联赛试题）图2图1专题09特殊与一般 ——二次函数与二次方程例1（1）-1 提示：BO AO OC•=2，即.212ac x x c == (2)令,31,132221b x y x x y +=+-=当01=y 时，01322=+-x x ，∴23±=x∴()().0,23,0,23+-Q P①若直线1l 过P 点，此时两图象有三个交点，再向上移将有四个交点，∴0=(),2331b +-则;363--=b ②若直线2l 与抛物线PQ 部分相切，恰有三个交点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=,31,132221b x y x x y 整理得 (),014335,0133522=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=++-b b x x 则.1213336,1213<<-∴=b b 例2（1）如图1，设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⨯->≥--=∆-++==,1122,01,0644,6222kf k k k kx x x f y ∴.37-≤<-k(2)如图2，(),01<f 则.7-<k（3）如图3，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>>∆,4221,04,010kf f ，则.3722-≤<-k322++-=x x y ，1=S点存在,P 点的坐标是:(1,4),(221±，一4). 例4提示:.,2,04421212p x x p x x p p -==+>+=∆(1)原式=()().0444232222121>+=++=+++p p p x x p p p px px(2)()3244422122112-≤+=-+=-=p p p x x x x x x AB 两边平方，解得169≤p . 169=p 符合题意，故p 的最大值为169. 例5这样的k 值不存在，理由如下:设()()()23122+--+==k x k x x f y 并作出如图所示的图象，则()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=-<>+--+=>+--+=≥++-=∆.42122,023124164,023122420234122k a b k k f k k f k k ，这个不等式组无解. 例6 由,23n t mt +≥+得()(),2322n t mt +≥+即()().09464222≥-+-+-n t n m t m 由题意知，,042≠-m 且上式对一切实数t 恒成立，故()()()⎩⎨⎧≤----=∆>-,094446042222n m n m m 即()⎩⎨⎧≤->,064,22mn m 得⎩⎨⎧==2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m A 级1.2± 2.35632-+-=x x y 提示:设平移后的抛物线的解析式为().132k x y +--= 3.（1）< > (2)ac -b +1=0 4.0<a <1 提示:当x =1时,y <0. 5. C 提示:设(),322m x x x f +-=，由已知画出y = f (x )的大致图象，知()(),01,02<->-f f ()(),03,02><f f 联立解得.59-<<-m 6.C 7.D 8.D 提示：,09212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x a x 记,9212+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x a x y 则这个抛物线开口向上，由题意得x =1时, y <0. 9. (1)证明略 (2)2±=m 10.(1)m =1,223212--=x x y (2) 存在这样的P 点，其横坐标为0x ，使∠APB 为锐角.提示:A (一1,0),B (4,0),C (0，一2). ,222AB BC AC =+△ABC 为直角三角形，过A ，B ，C 三点作⊙1O ，则AB 为⊙1O 的直径，C 点关于直线23=x 的对称点M 是⊙1O 与抛物线的另一交点，M （3，-2），.300<<x 11.(1)181>m (2)()()().4,0,0,4,0,8.423812C B A x x y --++= (3)当PQ ∥AC 时，则,QO CO PO AP =即,48k k k k -=-解得;38=k 当PQ ∥AC 时，∠CAB =∠PMB 时，同理可求得,2=k 故存在k 符合题目条件，38=k 或2时，所得三角形与△ABC 相似.12.（1）()()2100110104050102102++-=-+-=x x x x y （150≤<x 且x 为整数）（2）()∴<-=+--=,010.5.24025.5102a x y 当x =5.5时，y 有最大值2402.5.∵150≤<x 且x 为整数，当x =5时，50+x =55,y =2400（元）；当x =6时，50+x =56,y =2400（元）.∴当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2 400元.(3)当y =2 200时，,2200210011010-2=++x x 解得∴==.10,121x x 当x =1时，50+x =51；当x =10时，50+x =60.∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润恰为2 200元; 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．1．m ＜2 提示：f (1)＜0.2. 5 796 提示：a 2－a －1＝0，a 4＝(a ＋1)2＝3a ＋2，a 8 ＝(3a ＋2)2 ＝21a ＋13，a 16＝(21a ＋13)2 ＝987a ＋610，a 18＝（987a ＋ 610）（a ＋1）＝987a 2＋1597a ＋610＝2584a ＋1597，a －6＝1a 4•a 2＝18a ＋5.3. 4 提示：由题意得3×（－95）2＋m （－95）－2＞0，3×（37）2＋m （37）－2＞0，－95＜－m 6＜37.解得3821＜m ＜41345． 4．－2 25. 2π 提示：设A (x 1,0)，B (x 2,0),OA ＝―x 1，OB ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－q ＝q 2－p q 2＝2|q | ,解得⎩⎨⎧q ＝－1p ＝－2.y ＝x 2－2x －1,AB ＝|x 2―x 1|＝2 2.6．(1)抛物线恒过x 轴上一定点(－1，0)． (2)过A ，B ，C 三点的圆与抛物线有第四个交点D ．∵|x 1|＜| x 2|，C 点在y 轴上，C 不是抛物线顶点，x 1＝－1,x 2＞1，即x 2＝1－k ＞1，得k ＜0，由S △ABC ＝6得k ＝－2，∴y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1，根据对称性，D 点坐标(2，－3）．， 7．(1)由y 0＝x 02＋Px 0＋q ＝（x 0＋p 2）2－p 2－4q 4，得p 2－4q ＝4 (x 0＋p 2）2－4 y 0≥―4y 0＞0. (2)将p ＝－（x 1＋x 2）,q ＝x 1•x 2,代入y 0＝x 02＋Px 0＋q ＜0,得x 02－(x 1＋x 2)x 0＋x 1x 2＜0,即（x 0－x 1）（x 0－x 2）＜0.证得x 1＜x 0＜x 2. (3)⎩⎨⎧x 1＝0x 2＝3或⎩⎨⎧x 1＝－1x 2＝2. 8.(1)y 1＝2x ,y 2＝12x 2.(2)设种植树木的资金投入为x 万元，那么种植花卉的资金投入为（8―x ）万元，两项投入所获得的总利润为y 万元，依题意，得y ＝y 1＋y 2＝2x ＋12（8－x ）2＝12x 2－6x ＋32＝12(x －6)2＋14.∴当x ＝6时，y 最小＝14．因此，这位专业户至少获利14万元，∵0≤x ≤8，抛物线的对称轴为x ＝6，当0≤x ＜6时，y 随x 的增大而减小，所以x ＝0时，y 最大＝32；当6≤x ≤8时，y 值随x 的增大而增大，所以x ＝8时，y 最大＝16．综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学 二次函数 单元试卷（一）时间90分钟 满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ）A.y=(x －1)(x+2)B.y=21(x+1)2C. y=1－3x 2D. y=2(x+3)2－2x 22. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ）A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，-1）4. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=1 5．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定6. 二次函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. y ＝x 2＋3B. y ＝x 2－3C. y ＝(x ＋3)2D. y ＝(x －3)27．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0．(第9题) (第10题)3.05m xyx y o二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．一个正方形的面积为16cm 2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则y 关于x 的函数为 。
1991年—1999年全国初中数学竞赛试题及答案
1991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式ya a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35．答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12； （C ）16； （D ）18．答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±；（B ）251±-；（C ）251±或251±-；（D ）251±-±．答（ ） ４．已知：)19911991(2111nnx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足cb a=+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８．在锐角ΔABC 中，1=AC，cAB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21<c < 2 ；（Ｂ）0<c ≤21；答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpnmxx xx )1(1)1(+=-+恒成立，则=++qp n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，11=S 3S =132=SCD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x －y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题120135本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x,则xxxx 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(b a a b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
(专题精选)初中数学二次函数经典测试题含答案解析
（专题精选）初中数学二次函数经典测试题含答案解析一、选择题1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线92t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选B．2．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，∴b＝−2，∴y＝－x2−2x＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．3．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-<⎪⎝⎭，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点； ②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<； ③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112a ≤-． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可． 【详解】对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭当2x =时，142(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1 当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0 则说法①正确此二次函数的对称轴为1212124ax a a-=-=-+0a <Q 1114a∴-+> 01x ∴>，则说法②错误由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得，其对称轴1144x a=-+≤ 解得112a ≤-，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．322C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=12BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】 ∵2119y x =-， ∴当0y =时，21019x =-， 解得：=3x ±，∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O 点为AB 的中点， 又∵圆心C 坐标为(0，4)， ∴OC=4，∴BC 长度=2205OB C +=， ∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点， ∴OE 为△ABD 的中位线， 即：OE=12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径， ∴BD 的最小值为4， ∴OE=12BD=2， 即OE 的最小值为2， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1． 所以答案为：D ． 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.6．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．7．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( ) A ．0ac < B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x -<<时，()210.ax b x c +-+>【答案】C 【解析】 【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知： 当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-， 当0x =时，3y =，即3c =， 当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=，将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确；C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下，∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误；D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++，由二次函数的图象可得：当0y >时，13x -<<，故本选项正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．8．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-2ba=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b aa a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.9．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A ．12≤m ＜1 B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2【答案】B 【解析】 【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12． 此时抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ． 当x ＝1时，得13121122y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意．当x ＝3时，得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意．综上可知：当m ＝12时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴m ＝12不符合题． ∴m ＞12． 综合①②可得：当12＜m ≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点， 故选：B ． 【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.10．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？( )A．1 B．12C．43D．45【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【详解】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC＝k，∵△ABC的面积＝12AB•OC＝12AB•k，△ABD的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k＝14(4﹣k)，解得：k＝45．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，则下列说法错误的是()A．a+c＝0B．无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2C．当函数在x＜110时，y随x的增大而减小D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．【详解】解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，∴a +c ＝0，b ＝﹣2，∴A 正确；∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，∴△＝4+4a 2＞0，∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，∵x 1+x 2＝2a，x 1x 2＝﹣1，∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，∴m +n ＜0，2a ＞0， ∴m +n ＜2a； ∴D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A ．5B ．453C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】【详解】 过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ． ∵OD=AD=3，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：5设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ． ∴BF OF CM AM DE OE DE AE ==，x 2x 2255-，，解得：)52x 5BF x CM 2-==，． ∴5．故选A ．13．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：y=a （x 2-2x-3）=a （x-3）（x+1）令y=0，∴x=3或x=-1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B 成立；∴抛物线的对称轴为：x=1，令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ，∴y=a-2a-3a=-4a ，∴顶点坐标为（1，-4a ），故A 成立；由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C 成立；当x ＞1，a ＞0时，y 随着x 的增大而增大，当x ＞1，a ＜0时，y 随着x 的增大而减少，故D 不一定成立；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∵b=2a ，∴3b ，2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a ﹣b+c 的值最大，即把（m ，0）（m≠0）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，∴am 2+bm+b ＜a ，即m （am+b ）+b ＜a ，∴④正确；即正确的有3个，故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系15．如图，四边形ABCD 是正方形，8AB =，AC 、BD 交于点O ，点P 、Q 分别是AB 、BD 上的动点，点P 的运动路径是AB BC →，点Q 的运动路径是BD ，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P 的行程为x ，PBQ △的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 分点P 在AB 边和BC 边上两种情况画出图形，分别求出y 关于x 的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可.【详解】解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-+，此段抛物线的开口向下；当点P 在BC 边上，即882x <≤时，如图2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°， 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-，此段抛物线的开口向上. 故选A.【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.16．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞﹣3b ；（3）7a ﹣3b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】 根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-2b a=2，即b=-4a ，变形为4a+b=0，所以（1）正确；由x=-3时，y ＞0，可得9a+3b+c ＞0，可得9a+c ＞-3c ，故（2）正确；因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a ，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a ，由函数的图像开口向下，可知a ＜0，因此7a ﹣3b+2c ＜0，故（3）不正确；根据图像可知当x ＜2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减小，可知若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1=y 3＜y 2，故（4）不正确；根据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜x 2，故（5）正确．正确的共有3个.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b1 2a-=-，∴b=2a，①由图可知：当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确；③abc=2a2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确；⑤c−a=1−a＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．18．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v＝1；②sin B＝13；③图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+103x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y＝12AP•AQ•sin A，即可解答②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可③把sin B＝13，代入解析式即可④根据题意可知当x＝﹣522ba=时，y最大＝2512【详解】①当点P 在AC 上运动时，y ＝12 AP •AQ •sin A ＝12×2x •vx ＝vx 2， 当x ＝1，y ＝12时，得v ＝1， 故此选项正确； ②由图象可知，PQ 同时到达B ，则AB ＝5，AC +CB ＝10，当P 在BC 上时y ＝12•x •（10﹣2x ）•sin B ， 当x ＝4，y ＝43 时，代入解得sin B ＝13， 故此选项正确；③∵sin B ＝13， ∴当P 在BC 上时y ＝12•x （10﹣2x ）×13＝﹣13x 2+53 x ， ∴图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+53x ， 故此选项不正确；④∵y ＝﹣13x 2+53x ， ∴当x ＝﹣522b a =时，y 最大＝2512， 故此选项不正确；故选A ．【点睛】 此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解19．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（ ）A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向左平移32个单位，再向下平移92个单位 D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】 通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可．【详解】解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意；由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2），当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意；由C 选项可得L '为：239()22y x =+-， 则顶点为（-32，-92），顶点（-32，-92）关于原点的对称点为（32，92）， 当x ＝32时，y ＝92，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L '为：2(3)9y x =+-，则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9），当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．20．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论：①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2b a＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确； ②已知x=﹣2b a＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．。
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《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题
11（2008）、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。
解：存在满足条件的二次函数。
因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。
由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得
2552a b c -+= ①
当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++
由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤2， 故 2a b c ++= ②
由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分 当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥
所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故
20(42)4(25)0a a a a ⎧⎨---≤⎩ 即20,(31)0,
a a ⎧⎨-≤⎩ 所以13a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥， 所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故
210,(4)4(1)(51)0,a a a a -⎧⎨----≤⎩即21,(31)0,
a a ⎧⎨-≤⎩所以13a = 综上，141,4,25333
a b a c a ====-=
所以，存在二次函数23141333
y x x =++，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有132y y y ≤≤成立。
……………15分
11（2009）．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．
解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分
设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k x x k +=--=，当 且仅当满足如下条件
1212
0,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分
时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．
由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩
≥
解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩
≤或 ………………15分 所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．
………………20分 12（2010）．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x
=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3
（O 为坐标原点）.
（1）求实数a ，b ，k 的值；
（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一
点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.
解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x
=
上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x
y 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩
，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，故 ()141132AOB t S t t
∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝2
1（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． 因为点A ，B 都在抛物线2
y ax bx =+（a >0）上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.
a b =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO
＝42. 又BO =22，所以
2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，
则点D 的坐标为（3-，0）.
因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.
（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.
延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点. （ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．
所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分） （第12题） （第12题）
13（2011）．点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ； （2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.
解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）.
设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐
标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由
223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
，， 得 2203x kx t --=，
于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-. 于是 222323
P P Q Q x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PC BD QD
=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .
（2） 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知
∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，
所以 AC =32a -，AD =23b -.
（第13题）
因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .
于是PC AC DQ AD
=，即a b ，
所以a b +=．
由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以32ab a b =+=，
于是可求得2a b ==
将b =代入223y x =，得到点Q ，12）.
再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-
所以直线PQ 的函数解析式为1y =+. 11（2007）、已知抛物线C 1：234y x x =--+和抛物线C 2：
234y x x =--相交于A ，B 两点。
点P 在抛物线C 1上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线C 2上，也位于点A 和点B 之间。
（1）求线段AB 的长； 104
（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值。
t=0时，PQ=8。