直线方程的应用(习题及答案)
(完整版)直线的一般式方程(附答案)
直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3.直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？ (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解.故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0. (1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2， 得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12， 解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行. (2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1， 即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______. (2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1. (1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线. (2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1， 所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.②因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0. (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围. (1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， 它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限， ∴直线的斜率a ≥3. ∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ② 由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去； 当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0 D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝0C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( ) A.45° B.135° C.1 D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A.－2 B.2 C.－3 D.33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A.C ＝0，B >0 B.A >0，B >0，C ＝0 C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.13 D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( ) A.(3,2) B.(－3,2) C.(－3，－2) D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A.a ≠±1 B.a ≠1，a ≠2 C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限. 3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y－1＝0. 4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B. 2.答案 D 解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3. 3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断. 4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay ＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2). 6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1. 7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 二、填空题 8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2. 10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求； 当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是 (－∞，－12)∪(0，＋∞).11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行. ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直. ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1， 即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.。
高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习(含答案)
高中数学直线的方程与性质基础知识及例题练习（含答案）一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用,,,αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[)0,απ∈2、斜率：设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan k α= （1）当2πα=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k 越大，直线越陡峭（5）斜率k 的求法：已知直线上任意两点()()1122,,,A x y B x y ，则2121y y k x x −=−，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。
3、截距：若直线l 与坐标轴分别交于()(),0,0,a b ，则称,a b 分别为直线l 的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向：① 点斜式：已知直线l 的斜率k ，直线上一点()00,P x y ，则直线l 的方程为：()00y y k x x −=−证明：设直线l 上任意一点(),Q x y ，根据斜率计算公式可得：0y y k x x −=−，所以直线上的每一点都应满足：()00y y k x x −=−，即为直线方程② 斜截式：已知直线l 的斜率k ，纵截距b ，则直线l 的方程为：y kx b =+证明：由纵截距为b 可得直线与y 轴交点为()0,b ，从而利用点斜式得：()0y b k x −=− 化简可得：y kx b =+ （2）两点确定一条直线：③ 两点式：已知直线l 上的两点()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为：221212y y x x y y x x −−=−− ④ 截距式：若直线l 的横纵截距分别为(),0a b ab ≠，则直线l 的方程为：1x y a b+= 证明：从已知截距可得：直线上两点()(),0,0,a b ，所以00b bk a a−==−− ():01b x yl y b x bx ay ab a a b∴−=−−⇒+=⇒+= ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由,x y 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是12,l l ，则要考虑重合的情况。
直线的一般式方程(附答案)
直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B .3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列.(3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )＋4y ＋7＝0＋3y ＋7＝0 ＋3y －42＝0 ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( )B.－5 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确.(2)令y ＝0则x ＝－3 3.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解. 故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.(1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·－1＋a 2＝－1，解得a ＝13.所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1.(1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3， 所以m ≠－3时，方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－m 2－m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3， 所以4m －12m 2＋m －3＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3， 解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.(1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， 它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限， ∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a ≥3.∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ②由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( )≠0 ≠0 ·B ≠0 ＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )－2y －1＝0 －2y ＋1＝0＋y －2＝0 ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于() A.－1 D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( )° ° D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A.－2 C.－33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )＝0，B >0 >0，B >0，C ＝0<0，C ＝0 >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A.－3 D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) ≠±1 ≠1，a ≠2≠－1 ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直当堂检测答案1.答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b >0，直线在y 轴上的截距c b <0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y－1＝0.4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得：m ＝3.3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－a a ＋1<0即可， 解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞).11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. 所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0， 所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行.②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直.②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.。
经典直线方程练习题及答案
第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程★热点考点题型探析★考点1 直线的倾斜角和斜率题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且o o 13545<<α，试求实数m 的取值范围。
直线参数方程练习题(含答案)
π
已知直线L经过P（1,1），倾斜角a=
6
直线与园x²+y²=4相交于A，B，求点P到A，B 两点的距离之积。
直线参数方程
解
直线参数方程
例题
直线参数方程
解
应用
直线参数方程
过点P0（x0，y0),倾斜角为α的直线方程：
x=x0+tcosa y=y0+tsina P1，P2上直线上的两点，它们对应的参数为t1,t2 （1）P1坐标（x0+t1cosa，y0 +t1sina） P2坐标（x0+t2cosa，y0 +t2sina）
（2）P1，P2两点之间的距离： p1p2 t1 t2
直线参数方程练习题
直线参数方程
标准式
过点P（x0，y0),倾斜角为α的直线方程：
x=x0+tcosa y=y0+tsina
直线参数方程
一般式
Байду номын сангаас
过点P（x0，y0),倾斜角k=tanα= b的直线方程：
x=x0+at
a
y=y0+bt
当a²+b²=1时， t 表示直线上的动点P到定点P0的距离。
当a²+b²≠1时，t 表示动点P到定点P0的距离= a 2 b2 t
（3）设P是P1，P2的中点，则P的参数：t
t1
2
t2
中点P到定点P0的距离：
pp0
t
t1 t2 2
（4）若P0是P1，P2的中点，则： t1+t2=0
直线参数方程
例题
已知直线的参数方程是，
x 3t 1 y t 2
则该直线的标准参数方程是：
直线的参数方程练习题(带答案)
直线的参数方程练习题（带答案）1、若直线l 的参数方程为13{24x ty t=+=- (t 为参数),则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A.45-B.45C.35-D.35答案：C解析：方法一:直线l 的参数方程13{24x ty t=+=- (t 为参数)可转化为31'{524'x t y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=-('5t t =-为参数),故直线l 的倾斜角的余弦值为35-.方法二:由直线l 的参数方程取得普通方程为43100x y +-=,故斜率4tan 3k α==-,所以3cos 5α=- (α为倾斜角).2、若圆的方程12cos ,{32sin x y θθ=-+=+ (θ为参数),直线的方程为21,{61x t y t =-=- (t 为参数),则直线与圆的位置关系是( )A.相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离 答案：B解析：圆的圆心坐标是(1,3)-,半径是2,直线的普通方程是320x y -+=,圆心到25==<,故直线与圆相交而不过圆心. 3、直线11,2{2x t y =+=- (t 为参数)和圆2216x y +=交于,A B 两点,则AB 的中点坐标为( )A.(3,3)-B.()C.)3-D.(3,答案：D解析：将直线方程代入圆的方程得2211162t⎛⎫⎛⎫++-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得28120t t-+=,所以128t t+=,1242t t+=,依据t的几何意义可知中点坐标为114,422⎛⎫+⨯-⎪⎪⎝⎭,即(3,.4、直线21y x=+的参数方程是( )A.22{21x ty t==+(t为参数) B.21{41x ty t=-=+(t为参数)C.1{21x ty t=-=-(t为参数) D.sin{2sin1xyθθ==+(θ为参数)答案：C解析：选项A中20t≥,选项D中sin[1,1]θ∈-,因此不会是A,D.B中消掉参数得23y x=+,故只有C正确.5、已知O为原点,P为椭圆4cos,{xyαα==(α为参数)上第一象限内一点,OP的倾斜角为3π,则点P坐标为( )A.()2,3 B.()4,3C.(D.(,55答案：D解析：椭圆4cos,{xyαα==(α为参数)化为普通方程,得2211612x y+=.由题意可得直线OP的方程为y= (0x>).由22(0),{11612y xx y=>+=解得x y==.∴点P的坐标为(,55.故选D.6、直线1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩ (α为参数,0a π≤<)必过点( )A.()1,2-B.()1,2-C.()2,1-D.()2,1- 答案：A解析：直线表示过点()1,2-的直线.7、下列可以作为直线210x y -+=的参数方程的是( )A.13x t y t =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)B.152x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)C.12x t y t =-⎧⎨=-⎩ (t 为参数) D.255x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数) 答案：C解析：题目所给的直线的斜率为2,选项A 中直线斜率为1,选项D 中直线斜率为12,所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为230x y -+=,故选C.8、极坐标方程cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩ (t 为参数)所表示的图形分别是( )A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线 答案：D解析：∵cos ρθ=,∴2cos ρρθ=,即22x y x +=,即221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,∴cos ρθ=所表示的图形是圆.由12x ty t =--⎧⎨=+⎩(t 为参数)消参得:1x y +=,表示直线.10、在平面直角坐标系 xOy 中,若直线:{x tl y t a==- (t 为参数)过椭圆3cos :{2sin x C y ϕϕ== (ϕ为参数)的右顶点,则常数a 的值为__________.答案：3解析：由直线l 的参数方程:{x tl y t a==- (t 为参数)消去参数t ,得直线l 的一般方程为y x a =-, 由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线l 过椭圆的右顶点,所以30a -=,即 3a =. 11、在平面直角坐标系 xOy 中,若直线121,:{x s l y s=+= ( s 为参数)和直线2,:{21x at l y t ==- (t 参数)平行,则常数a 的值为__________.答案：4解析：将直线方程化为平面直角坐标方程,得1l 的方程是210x y --=,2l 的方程是022a a x y --=.因为两直线平行,所以22a -=-,且12a-≠-,所以4a =. 12、化直线l的参数方程31x t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩,(t 为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明t的几何意义.答案：由31x ty =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数t ,得直线l10y -+=.故斜率tan k α==,由于0απ≤<,即3πα=.因此直线l 的倾斜角为3π.又31x t y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩得()()222314x y t ++-=,∴t =故t 是t 对应点M 到定点()03,1M -的向量2M M 的模的一半.13、在直角坐标系中,参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)的直线l 被以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,极坐标方程为2cos ρθ=的曲线C 所截,求截得的弦长.答案：参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)表示的直线l 是过点()2,0A ,倾斜角为30,极坐标方程2cos ρθ=表示的曲线C 为圆2220x y x +-=. 此圆的圆心为()1,0,半径为1,且圆C 也过点()2,0A ;设直线l 与圆C 的另一个交点为B ,在Rt OAB ∆中,2cos30AB =︒=。
直线的参数方程练习题有答案
直线的参数方程1.设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为56π，则直线l 的参数方程是____________．解析：直线l的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos 56π，y ＝－4＋t sin 56π(t 为参数)， 即⎩⎨⎧x ＝2－32ty ＝－4＋12t，(t 为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝2－32ty ＝－4＋12t，(t 为参数)2.设直线l 过点(1，－1)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为____________．解析：直线l的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos5π6y ＝－1＋t sin 5π6，(t 为参数)， 即⎩⎨⎧x ＝1－32t y ＝－1＋12t，(t 为参数)答案：⎩⎨⎧x ＝1－32ty ＝－1＋12t，(t 为参数)3.已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6.写出直线l 的参数方程；解：①直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t，(t 是参数)．4.已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6， 写出直线l 的参数方程.[解] (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t ，(t 为参数).2分5.已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，则直线l 的参数方程为____________．解析：∵直线的斜率为－1， ∴直线的倾斜角α＝135°. ∴cos α＝－22，sin α＝22. ∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22ty ＝－1＋22t，(t为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝2－22ty ＝－1＋22t，(t 为参数)6.已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋32t y ＝2＋12t，(t 为参数) ,求直线l 的倾斜角；解：(1)由于直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.7.若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝3－32t，(t 为参数)，则此直线的斜率为( )A.3 B ．－ 3C.33D ．－33解析：选 B.直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝3－32t，(t 为参数)可化为标准形式⎩⎨⎧x ＝3＋⎝⎛⎭⎫－12（－t ）y ＝3＋32（－t ），(－t 为参数)．∴直线的斜率为－ 3.8.化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝3＋6t (t 为参数)为参数方程的标准形式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝3＋6t ，得令t ′＝32＋（6）2 t ，得到直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝1＋155t ′y ＝3＋105t ′，(t ′为参数)．9.化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t (t 为参数)为参数方程的标准形式．解：10.已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6.①写出直线l 的参数方程；②设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：①直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t，(t 是参数)．②把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t代入圆x 2＋y 2＝4，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1，t 2是方程的根，t 1·t 2＝－2.∵A ，B 都在直线l 上，设它们对应的参数分别为t 1和t 2，∴|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝2. 11.已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ，(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解：(1)曲线 C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝5＋32t，(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.12.已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t y ＝3t ，(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所截得的弦长为________．解析：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t y ＝3t ，代入x 2＋y 2＝1中得25t 2－8t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝825.故直线l 与曲线C 相交所截得的弦长l ＝42＋32·|t 2－t 1|＝5×825＝85. 答案：8513.已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋22t y ＝22t，(t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫3＋22t 24＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝⎝⎛⎭⎫－2652＋85＝85， 所以弦长AB 的长为85.14.已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．[解] (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t ，(t 为参数).2分由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 得x 2＋y 2＝x ＋y ，即圆C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12.5分 (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t代入⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，得t 2＋12t －14＝0，7分 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1t 2＝－14，所以|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝14.10分15.(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t )2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. 16.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3ty ＝－1＋t ，(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1B.10C ．10D ．2 2解析：选B.将t ＝0，t ＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0)∴d ＝（2－5）2＋（－1－0）2＝10. 17.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t ，(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝2ax ，直线⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t，(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －2.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t，代入y 2＝2ax 得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )， 因为|MN |2＝|PM |·|PN |， 所以(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，(t 1＋t 2)2－5t 1t 2＝0，故8(4＋a )2－40(4＋a )＝0， 解得a ＝1或a ＝－4(舍去)． 故所求a 的值为1.18.已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t ，(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝2－4t ，代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫52，0.而A (1，2)，得|AB |＝52. 答案：5219.如图所示，已知直线l 过点P (2，0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求： ①P ，M 间的距离|PM |；②点M 的坐标解：①由题意，知直线l 过点P (2，0)，斜率为43， 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝2＋35ty ＝45t ，(t 为参数)．(*) ∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254. 由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. ②因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎨⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎫4116，34.20.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1·t 2＝－1sin 2α，所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α， 当α＝π2时，|AB |取得最小值2。
直线与方程习题(带答案)
直线与方程习题(带答案)直线与方程题（带答案）一、选择题1.若直线x=1的倾斜角为α，则α()．A。
等于0B。
等于π/2C。
等于πD。
不存在斜率2.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A。
k1＜k2＜k3B。
k3＜k1＜k2C。
k3＜k2＜k1D。
k1＜k3＜k23.已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝()．A。
2B。
－2C。
4D。
14.已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()．A。
π/3B。
2π/3C。
π/4D。
3π/45.如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()．A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限6.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()．A。
x＋y－5＝0B。
2x－y－1＝0C。
2y－x－4＝0D。
2x＋y－7＝07.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()．A。
19x－9y＝0，19y＝0B。
9x＋19y＝0C。
19x－3y＝0D。
3x＋7y＝08.直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()．A。
3B。
－3C。
1D。
－19.将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，此时直线l'与l重合，则直线l'的斜率为()．A。
a/(a＋1)B。
－a/(a＋1)C。
(a＋1)/aD。
－(a＋1)/a10.点(4，5)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是()．A。
(－6，8)B。
(6，－8)C。
(－6，－8)D。
(6，8)二、填空题11.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为tan(75°)或2＋√3.12.若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)共线，则m的值为－1.13.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为D(2，3)。
高中数学直线方程相关试题(含答案)
高中数学直线练习题一、选择题1.已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则点N 的坐标是( )A.(－2，－1)B.(2,3)C.(2,1)D.(－2,1) 答案 B解析 由题意知，直线MN 的方程为2x －y －1＝0.又∵点N 在直线x －y ＋1＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 2.三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,11)在一条直线上，则k 的值为( )A.－8B.－9C.－6D.－7答案 B解析 ∵三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,11)在一条直线上，∴k AB ＝k AC ，∴k －1－2－3＝11－18－3， 解得k ＝－9.故选B.3.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )可能是( )A.(1，－3)B.(3，－1)C.(－3,1)D.(－1,3)考点 两条直线的交点题点 求两条直线的交点坐标答案 A解析 由已知可得直线y ＝2x ，x ＋y ＝3的交点为(1,2)，此点也在直线mx ＋ny ＋5＝0上， ∴m ＋2n ＋5＝0，再将四个选项代入，只有A 满足此式.4.与直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y ＋1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y －1＝0 考点 对称问题的求法题点 直线关于直线的对称问题答案 A解析 直线l ：x －y ＋1＝0与两坐标轴的交点分别为(－1,0)和(0,1)，因为这两点关于y 轴的对称点分别为(1,0)和(0,1)，所以直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线方程为x ＋y －1＝0.5.已知A (2,3)，B (－4，a )，P (－3,1)，Q (－1,2)，若直线AB ∥PQ ，则a 的值为( )A.0B.1C.2D.3答案 A解析 ∵直线AB 的斜率k AB ＝3－a 6，直线PQ 的斜率k PQ ＝2－1－1－(－3)＝12，直线AB ∥PQ ，∴3－a 6＝12，解得a ＝0，故选A. 6.如果AB >0，BC >0，则直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点 直线的一般式方程题点 直线的一般式方程的概念答案 B解析 直线Ax －By －C ＝0化成斜截式方程y ＝A B x －C B， ∵AB >0，BC >0，∴斜率大于0，纵截距小于0，∴直线不经过第二象限.7.已知点P (2，－3)，Q (3,2)，直线ax －y ＋2＝0与线段PQ 相交，则a 的取值范围是( )A.a ≥43B.a ≤－43C.－52≤a ≤0D.a ≤－43或a ≥12 考点 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点 倾斜角、斜率的变化趋势及其应用答案 C解析 直线ax －y ＋2＝0可化为y ＝ax ＋2，斜率k ＝a ，恒过定点A (0,2)，如图，直线与线段PQ 相交，则k AP ≤k ≤0，即－52≤a ≤0，故选C. 8.过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )A.2条B.3条C.4条D.无数多条答案 B解析 由题意知，直线的斜率存在，设所求直线的方程为y ＝k (x －3)－1.当y ＝0时，得横截距x ＝3＋1k； 当x ＝0时，得纵截距y ＝－1－3k .由题意得⎪⎪⎪⎪3＋1k ＝|－1－3k |， ∴－1－3k ＝3＋1k 或－1－3k ＝－1k－3， ∴k ＝－1或k ＝－13或k ＝1， ∴所求直线有3条.故选B.二、填空题9.若直线l 的斜率是过点(1,6)，(－1,2)的直线的斜率的2倍，则直线l 的斜率为________. 答案 4解析 过点(1,6)，(－1,2)的直线的斜率为6－21－(－1)＝2，∴l 的斜率为k ＝2×2＝4. 10.若无论m 为何值，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0恒过一定点P ，则点P 的坐标为________.答案 (3,1)解析 特殊值法：令m ＝－1，得－x ＋3＝0；令m ＝0，得x ＋y －4＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 故点P 的坐标为(3,1).11.设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________. 答案 3x －2y ＋5＝0解析 数形结合(图略)可知，当直线l 与过两点的直线垂直时，点(2，－1)与直线l 的距离最远，因此所求直线的方程为y －1＝－2－(－1)－1－1·(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 三、解答题12.已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1).(1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标.解 (1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设点A ′的坐标为(a ，b )，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，故a ＝－2，b ＝－1.∴A ′的坐标为(－2，－1).13.在平面直角坐标系中，已知A (－1,2)，B (2,1)，C (1,0).(1)判定△ABC 的形状；(2)求过点A 且在x 轴和y 轴上的截距互为倒数的直线方程；(3)已知l 是过点A 的直线，点C 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.考点 分类讨论思想的应用题点 分类讨论思想的应用解 (1)k AC ＝－1，k BC ＝1，k AC ·k BC ＝－1，且|AC |≠|BC |，∴△ABC 为直角三角形.(2)设所求直线方程为x a＋ay ＝1(a ≠0)， 则－1a ＋2a ＝1，即a ＝－12或a ＝1， ∴－2x －12y ＝1或x ＋y ＝1， ∴所求直线方程为－2x －12y ＝1或x ＋y ＝1，即4x ＋y ＋2＝0或x ＋y －1＝0. (3)①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－1，此时点C 到直线l 的距离为2，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0，则点C 到直线l 的距离d ＝|2k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝0， ∴直线l 的方程为y －2＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋1＝0或y －2＝0.14.已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( )①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1. A.①③B.①④C.②③D.③④ 考点 点到直线的距离题点 与点到直线的距离有关的最值问题 答案 C解析 设点M 到下列4条直线的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，对于①，d 1＝|5－0＋1|2＝32>4； 对于②，d 2＝2<4；对于③，d 3＝|5×4－3×0|5＝4； 对于④，d 4＝|5×2－0＋1|5＝115>4， 所以符合条件的有②③.15.已知一束光线经过直线l 1：3x －y ＋7＝0和l 2：2x ＋y ＋3＝0的交点M ，且射到x 轴上一点N (1,0)后被x 轴反射.(1)求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标；(2)求反射光线所在的直线l 3的方程.考点 对称问题的求法题点 关于对称的综合应用解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋7＝0，2x ＋y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴M (－2,1). ∴点M 关于x 轴的对称点P 的坐标为(－2，－1).(2)易知l 3经过点P 与点N ， ∴l 3的方程为y －0－1－0＝x －1－2－1， 即x －3y －1＝0.。
直线方程(习题课)课件
两点式方程
$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$为直
线上的两点。
直线方程的应用场景
01
02
03
几何问题
解决与直线相关的几何问 题，如两点之间的距离、 点到直线的距离等。
详细描述
当直线与x轴相交时，令y=0，解出x的值即为交点的横坐标 ；当直线与y轴相交时，令x=0，解出y的值即为交点的纵坐 标。
两条直线的交点问题
总结词
求两条直线的交点，需要联立两条直 线的方程组求解。
详细描述
将两个直线的方程联立，形成方程组 ，然后解这个方程组，得到x和y的值 即为两直线的交点坐标。
直线上的任意两点确定一条唯一 的直线，反之，一条直线上的任 意两点确定该直线上唯一的一点
。
直线方程的表示方法
点斜式方程
$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$为直线上的一点，
$m$为直线的斜率。
Hale Waihona Puke 斜截式方程$y = mx + b$，其中$m$为直 线的斜率，$b$为直线在y轴上的
参数方程是一种表示直线 的方法，通过引入参数来 表示直线上点的坐标。
参数方程形式
参数方程的一般形式为 (x = x(t))，(y = y(t))，其中 (t) 是参数。
参数方程的应用
参数方程在解决几何问题 、物理问题以及工程问题 中都有广泛应用。
极坐标形式的直线方程
01
极坐标定义
极坐标是一种表示点在平面上的位置的方法，通过距离原点的长度和与
直线方程(习题课)课件
直线的方程(含答案)
(两粒种子★一片森林)直线的方程专题研究直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k ②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y a b+= ⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系：平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）垂直直线系：垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=+-C y A x B （C 为常数） （三）过定点的直线系① 斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；② 过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
高中直线与方程练习题及答案详解
高中直线与方程练习题及答案详解1.高中直线与方程练题及答案详解一、选择题1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A．a+b=√2/2B．a-b=√2/2C．a+b=0D．a-b=02.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y-1=0B．2x+y-5=0C．x+2y-5=0D．x-2y+7=03.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）A．-8B．2C．10D．无法确定4.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°,1B．135°,-1C．90°，不存在D．180°，不存在6.若方程(2m+m-3)x+(m-m)y-4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A．m≠1B．m≠-1/2C．m≠1/2D．m≠0二、填空题1.点P(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是√2/2.2.已知直线.3.若原点在直线l上的射影为(2,-1)，则l的方程为2x-y=0.4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上，则x+y的最小值是4.5.直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为y=-3x。
三、解答题1.已知直线Ax+By+C=0。
1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；当C=0时，方程变为Ax+By=0，解得y=-A/B*x，即过原点且斜率为-A/B的直线。
2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；当A≠0且B≠0时，直线与x轴和y轴都相交。
3）系数满足什么条件时只与x轴相交；当B=0且A≠0时，直线只与x轴相交。
4）系数满足什么条件时是x轴；当A=0且B≠0且C=0时，直线是x轴。
高中数学直线方程练习题(附答案)
高中数学直线方程练习题一．选择题（共12小题）1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞）2．已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）D．[﹣2，]3．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣，+∞）D．[﹣，﹣2]4．已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣，]C．[﹣3，2]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）5．已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．或k≥5 B．C．D．6．已知A（﹣2，），B（2，），P（﹣1，1），若直线l过点P且与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）A．B．C．D．∪7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．＜k＜2 B．k＞2或k＜C．k＞D．k＜28．已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．9．经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y﹣12=0B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=010．过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．2x+y=0 B．x+y+3=0C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=011．经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=012．已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0） B．（6，﹣1）C．（5，﹣3）D．（6，﹣3）二．填空题（共4小题）13．已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．15．设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=时，l1∥l2，当m=时，l1⊥l2．16．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a的值等于．三．解答题（共11小题）17．已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为．18．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．19．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．20．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．21．已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．22．已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x 轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．23．已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．24．已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ 的周长最小．25．已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．26．已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．（1）若点C在线段OB上，且∠ACB=，求△ABC的面积；（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：ax+10y+84﹣108=0经过点P，求直线l的倾斜角．高中数学直线方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋•滑县期末）已知A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点P（1，5）的直线l与线段AB有交点，则l的斜率的范围是（）A．（﹣∞，﹣8]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣8）∪（2，+∞）【分析】利用斜率计算公式与斜率的意义即可得出．【解答】解：k PA==2，k PB==﹣8，∵直线l与线段AB有交点，∴l的斜率的范围是k≤﹣8，或k≥2．故选：C．【点评】本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2016秋•碑林区校级期末）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k （x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）D．[﹣2，]【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案．【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），连接P与线段AB上的点A（1，3）时直线l的斜率最小，为，连接P与线段AB上的点B（﹣2，﹣1）时直线l的斜率最大，为．∴k的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．3．（2016秋•雅安期末）已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣，+∞）D．[﹣，﹣2]【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），k PA==﹣2，k PB==﹣．∵直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，∴≤≤﹣2，∴．故选：B．【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2016秋•庄河市校级期末）已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣，]C．[﹣3，2]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PN或k≤k PM，用直线的斜率公式求出k PN和k PM的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PN或k≤k PM，即k≥=2，或k≤=﹣3，∴k≥2，或k≤﹣3，故选：A．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．5．（2013秋•迎泽区校级月考）已知M（﹣2，﹣3），N（3，0），直线l过点（﹣1，2）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．或k≥5 B．C．D．【分析】求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．【解答】解：（如图象）即P（﹣1，2），由斜率公式可得PM的斜率k1==5，直线PN的斜率k2==，当直线l与x轴垂直（红色线）时记为l′，可知当直线介于l′和PM之间时，k≥5，当直线介于l′和PN之间时，k≤﹣，故直线l的斜率k的取值范围是：k≤﹣，或k≥5故选A【点评】本题考查直线的斜率公式，涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率的关系，属中档题．6．（2004秋•南通期末）已知A（﹣2，），B（2，），P（﹣1，1），若直线l过点P且与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）A．B．C．D．∪【分析】先求出直线的斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围求出倾斜角的具体范围．【解答】解：设直线l的斜率等于k，直线的倾斜角为α由题意知，k PB==﹣，或k PA==﹣设直线的倾斜角为α，则α∈[0，π），tanα=k，由图知0°≤α≤120°或150°≤α＜180°故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率公式的应用，属于基础题．7．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．＜k＜2 B．k＞2或k＜C．k＞D．k＜2【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，数形结合得答案．【解答】解：点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1），∵直线PA的斜率是=2，直线PB的斜率是=．如图，∵直线l与线段AB始终有公共点，∴斜率k的取值范围是（，2）．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．8．（2017•成都模拟）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E 为BC的中点．由，可得=2=2，点O是直线AE的中点．根据，B，O，D三点共线，可得点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵，∴=2=2，∴点O是直线AE的中点．∵，B，O，D三点共线，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，=，∴DM=MC，∴AD=AM=AC，∴t=．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋•沙坪坝区校级期中）经过（3，0），（0，4）两点的直线方程是（）A．3x+4y﹣12=0B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可．【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：，即4x+3y﹣12=0．故选D．【点评】本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．10．（2016秋•平遥县校级期中）过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．2x+y=0 B．x+y+3=0C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0或2x+y=0【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为y=﹣2x，即2x+y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得k=﹣3，故直线方程是x+y+3=0．综上，所求的直线方程为x+y+3=0或2x+y=0，故选：D．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．11．（2015秋•运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或x﹣y=0．故选：D．【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．12．（2013春•泗县校级月考）已知△ABC的顶点A（2，3），且三条中线交于点G（4，1），则BC边上的中点坐标为（）A．（5，0） B．（6，﹣1）C．（5，﹣3）D．（6，﹣3）【分析】利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一半，用向量表示即可求得结果．【解答】解：如图所示，；∵△ABC的顶点A（2，3），三条中线交于点G（4，1），设BC边上的中点D（x，y），则=2，∴（4﹣2，1﹣3）=2（x﹣4，y﹣1），即，解得，即所求的坐标为D（5，0）；故选：A．【点评】本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，是基础题．二．填空题（共4小题）13．（2015•益阳校级模拟）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是﹣3．【分析】根据l1∥l2，列出方程a（a+1）﹣2×3=0，求出a的值，讨论a是否满足l1∥l2即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴a（a+1）﹣2×3=0，即a2+a﹣6=0，解得a=﹣3，或a=2；当a=﹣3时，l1为：﹣3x+3y+1=0，l2为：2x﹣2y+1=0，满足l1∥l2；当a=2时，l1为：2x+3y+1=0，l2为：2x+3y+1=0，l1与l2重合；所以，实数a的值是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了两条直线平行，斜率相等，或者对应系数成比例的应用问题，是基础题目．14．（2015秋•天津校级期末）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查两直线平行的条件，其中5﹣3a≠8是本题的易错点．属于基础题．15．（2015秋•台州期末）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=﹣1时，l1∥l2，当m=时，l1⊥l2．【分析】利用直线平行、垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，l1∥l2，∴=≠，解得m=﹣1；∵直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，l1⊥l2，∴1×（m﹣2）+3m=0，解得m=；故答案为：﹣1，．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．16．（2016春•信阳月考）如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a的值等于a=2或a=﹣2．【分析】利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于a的方程可求．【解答】解：设直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0为直线M；直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0为直线N①当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°，即a﹣2=0，a=2时，直线N的斜率为0，即直线M的倾斜角为0°，故：直线M与直线N互相垂直，所以a=2时两直线互相垂直．②当直线M和N的斜率都存在时，k M=（，k N=要使两直线互相垂直，即让两直线的斜率相乘为﹣1，故：a=﹣2．③当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直．综上所述：a=2或a=﹣2故答案为：a=2或a=﹣2【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣1，应注意斜率不存在的情况．三．解答题（共11小题）17．（2016秋•兴庆区校级期末）已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P （﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），又，∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．18．（2015春•乐清市校级期末）已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．【分析】（1）设对称后的点P（a，b），根据点的对称即可求原点O关于直线l 的对称点P的坐标．（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x，y）到定点（2，1）的两点的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故；（2）当x∈[1，3]时，的几何意义为到点C（2，1）的斜率的取值范围．当x=1时，y=，当x=3时，y=，由可得A（1，），B（3，），从而k BC==，k AC==﹣，∴k的范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．19．（2016秋•浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k（x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，∵|AB|=5，综上：当m＜2.5时，有4条直线符合题意；当m=2.5时，有3条直线符合题意；当m＞2.5时，有2条直线符合题意．【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力20．（2015秋•眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．21．（2010秋•常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，∴S=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．△AOB当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．22．（2016秋•枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为：，整理得：．故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）（3）设与l3平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，所以与l3为：，或．…（13分）【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．23．（2015秋•嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．（2）由，解得：交点为，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．24．（2014秋•宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M1，点M关于y轴的对称点M2，求得直线M1M2的方程，与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）．同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（﹣3，5）．据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y﹣7=0．得交点P（，）．令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）．解方程组x+2y﹣7=0，x﹣2y+2=0，故点P（，）、Q（0，）即为所求．【点评】本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．25．（2010•广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l 与l1夹角的关系求解．法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得A（，﹣）．解方程组得B（，﹣）．由|AB|=5．得（﹣）2+（﹣+）2=52．解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d==，且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ==，故θ=45°．由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1．解法三：设直线l与l1、l2分别相交A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0．两式相减，得（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=5．①又（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=25．②联立①、②可得或由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．故所求的直线方程为x=3或y=1．【点评】本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．26．（2009秋•重庆期末）已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．【解答】解：设直线l′的斜率为k′，则，…（7分），…（10分）直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）【点评】本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点．（1）若点C在线段OB上，且∠ACB=，求△ABC的面积；（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：ax+10y+84﹣108=0经过点P，求直线l的倾斜角．【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点C的坐标，即得边长BC，点A 的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．（2）利用对称的特点，待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标，由题意可得=2，把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点P的坐标，再把点P的坐标代入代入直线l的方程，求出a，即得直线l的斜率，由斜率求直线l的倾斜角．【解答】解：（1）∵点C在线段OB上，且∠ACB=，∴∠ACO=，故AC 的倾斜角为，故AC的斜率为﹣1，设点C（0，b），由﹣1=得b=2，即点C（0，2），BC=4，点A到BC的距离为2，故△ABC的面积为×4×2=4．（2）设D（m，n），点P（c，d），AB的方程+=1，即3x+y﹣6=0，由得m=，n=，故D（，），=（﹣c，﹣d），=（﹣，），由题意知，=2，∴﹣c=﹣，﹣d=，解得c=，d=﹣，故P（，﹣），把P（，﹣）代入直线l：ax+10y+84﹣108=0，得a•+10•+84﹣108=0，即得a=10．∴直线l的斜率为=﹣，故直线l的倾斜角为120°．【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．。
直线的方程经典题型总结加练习题-含答案
(1) 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°W aV 180°(2) 直线的斜率① 定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常 用k 表示。
即k =tan 〉。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当0 ,90 时，k^O ；当(90,180 )时，kvO ；当 a =90 ―时，k 不存在。
k = y 2 一 y i (x^ x 2)② 过两点的直线的斜率公式： X 2 -人 所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率概念考查1、已知经过点 A (-2, 0)和点B (1, 3a )的直线 i 与经过点 P (0,— 1)和点 Q (a ,—2a )的直线 2互相垂直，求实数 a 的值。
3、直线y 二k(x -2) • 3必过定点，该定点的坐标为()A . ( 3, 2)B . (2, 3)C . ( 2,七)D . ( T 2, 3)4、 如果直线ax by ，c = 0 (其中a,b,c 均不为0)不通过第一象限，那么a,b,c 应满足的关系疋()A . abc 0B . ac 0C . ab ：： 0D.a,b,c 同号 5、若点 A (2, -3),B ( -, £),直线l 过点 P (1, 1),且与线段AB 相交，则1的斜率k的取值范围是()A . k —3 或 k — -431B . k或 k - C . - 4乞k 乞3 D. -<^444 44 4(3)两点间距离公式：设A(x 1,y 1), (X 2,y 2)是平面直角坐标系中的两个点, 则 | AB|「(X 2 -％)2⑴ - yj 2（4）点到直线距离公式：一点P X。
，y o到直线h : Ax • By • C = 0的距离概念考查（1）求两平行线ll: 3x+4y=10和丨2: 3x+4y=15的距离。
直线的参数方程练习题(带答案)
直线的参数方程练习题(带答案)1、直线l的参数方程为x=1+3t，y=2-4t，求直线l的倾斜角的余弦值。
解析：方法一：将直线l的参数方程{(t为参数)}转化为{ x=1-3t'，y=2-4t'，其中t'=-5t为参数，则直线l的倾斜角的余弦值为-3/5.方法二：由直线l的参数方程得到普通方程为4x+3y-10=0，斜率k=tanα=-4/3，所以cosα=-3/5 （α为倾斜角）。
2、已知圆的方程为x=-1+2cosθ，y=3+2sinθ，直线的方程为y=6t-1，则直线与圆的位置关系是相交而不过圆心。
解析：圆的圆心坐标是(-1,3)，半径是2，直线的普通方程是3x-y+2=0，圆心到直线的距离是<2，故直线与圆相交而不过圆心。
3、已知直线x=1+t/2，y=-3+3t/2的参数方程和圆x^2+y^2=16相交于A、B两点，求AB的中点坐标。
解析：将直线方程代入圆的方程得到(1+t/2)^2+(-3+3t/2)^2=16，整理得到t^2+4t-8=0，所以t1=-2+2√3，t2=-2-2√3.依据t的几何意义可知中点坐标为(3,-3)。
4、已知直线y=2x+1，求其参数方程。
解析：直线y=2x+1的参数方程为{x=t，y=2t+1}。
5、已知O为原点，P为椭圆x=4cosα，y=2/3sinα上第一象限内一点，OP的倾斜角为π/3，则点P坐标为(2,3)。
解析：OP的斜率为tan(π/3)=√3，O为原点，P为第一象限内的点，故P的坐标为(2,3)。
解析：根据题目所给的椭圆参数方程，可以化为普通方程，得到 $16x^2+12y^2=9$，同时得到直线 $OP$ 的方程为$y=3x(x>0)$。
根据直线和椭圆的交点为点 $P$，可以解得$x=\frac{4}{\sqrt{5}}。
y=\frac{3}{\sqrt{5}}$，所以答案为D。
解析：根据直线的一般式 $2x-y+1=0$，可以得到其斜率为 $2$，所以排除选项 A 和 D。
(完整版)直线方程练习题1有答案.docx
选择题1、直线的斜率为4 且直线不通过第一象限 ,则直线的方程可能为 ()3,A 、 3x+4y+7=0B 、4x+3y+7=0C 、4x+3y －42=0D 、3x+4y － 42=02、如果 AC<0且 BC<0,那么直线不通过 ( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、直线 3x －2y=4 的截距式方程为 ()3x － yx y3x － yx yA 、 42 =1B 、 11 1 C 、42 =1D 、4 2 13 234、不论 m 为何值 ,直线 (m － 1)x － y+2m+1=0恒过定点 ( )A 、 (1, 1)B 、 (－2,0)C 、 (2,3)D 、 (2,3)25、直线 ax+by+c=0关于直线 y=x 对称的直线方程是 ( )A 、 bx-ay+c=0B 、 bx+ay+c=0C 、bx+ay-c=0D 、bx-ay-c=06、已知两点 A(-1， 3)，B(3，1)，点 C 在坐标轴上，若 ACB=60，则点 C 有( )(A)1 个 － (B)2 个 在直线 (C)3个 使 (D)4 个 则 点的坐标是 7、已知点 M 1 (3,5),M 2 (－ 1,－ 1 2上有一点N, 1 N2), M M |M N|=15, （ ） (A)(15,14) (B)(－9,－ 4)(C)(15,－14)或(－9,4) (D)(15,14)或(9,4)8、已知点 A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),若点 M(a,b)是线段 AB 上的一点 (a ≠0),则直线 CM 的斜率的取值范围是()(A)[－5,1](B)[－ 5,0)∪(0,1](C)[－ 1, 5 ](D)(－∞ ,－5]∪[1,+∞)2 222二、填空题9、已知直线 ax+by+c=0（ ab 0 ），当 a 、b 、c 满足 _____________时，直线过原点；10、已知直线 ax+by+c=0（ ab 0 ），当 a 、b 、c 满足 _____________时，在两坐标轴上的截距之和为零。
第1课时直线方程习题和答案详解
1．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.23π D.56π 答案 A2．过点(－1，2)且倾斜角为150°的直线方程为( ) A.3x －3y ＋6＋3＝0 B.3x －3y －6＋3＝0 C.3x ＋3y ＋6＋3＝0 D.3x ＋3y －6＋3＝0 答案 D3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 答案 D解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．4．(2019·北京东城期末)已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“α>π3”是“k>3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B.5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 由条件知直线在两个坐标轴上的截距为正数．6．(2019·四川绵阳联考)过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 答案 B解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a.①当a ＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5，2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y 12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.故选B.7．(2019·福建福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.8．(2019·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，B 项符合．9．(2016·北京，文)已知A(2，5)，B(4，1)．若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．8答案 C解析 依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h(x)＝4x －9，易知h(x)＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h(x)max ＝4×4－9＝7.10．(2019·湖南岳阳一中月考)曲线y ＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( )A.π6B.3π4C.π4D.π3答案 B解析 y′＝x 2－2x ，当x ＝1时，切线斜率k ＝12－2×1＝－1，设切线的倾斜角为θ，则tanθ＝－1，∴θ＝3π4.11．(2019·安徽五校联考)已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．[34，2]B ．(－∞，34]∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1，2]答案 B答案 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P(1，1)，k PA ＝2，k PB ＝34，故k 的取值范围是(－∞，34]∪[2，＋∞)．故选B.12．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．答案 x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0 解析 设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵k ＝16，即b a ＝－16，∴a ＝－6b.又三角形面积S ＝3＝12|a|·|b|，∴|ab|＝6.则当b ＝1时，a ＝－6；当b ＝－1时，a ＝6. ∴所求直线方程为x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1.即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.13．已知P(－3，2)，Q(3，4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________． 答案 (－73，－13)解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a<－13.14．(2019·湛江质检)若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 k ＝0或k ≥1解析 由题意，知|x －1|＝kx ，有且只有一个正实根，结合图形，可得k ＝0或k ≥1. 15．在△ABC 中，已知A(1，1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程． 答案 2x ＋5y ＋9＝0 解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0， l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C(3，－3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B(－2，－1)． ∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．答案 (3＋3)x －2y －3－3＝0解析 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C(m －3n 2，m ＋n2)，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)． 又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 17．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )， (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．答案 (1)定点(－2，1) (2)k ≥0 (3)S 最小值为4，x －2y ＋4＝0 解析 (1)证明：设直线过定点(x 0，y 0)， 则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立． 所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0.解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2，1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，则A(－1＋2kk，0)，B(0，1＋2k)．又－1＋2k k <0，且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k ×(1＋2k)＝12(4k ＋1k ＋4)≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，等号成立． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
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➢ 例题示范
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直线方程的应用（习题）
例 1：若过点 A (4，0)的直线 l 与圆(x -2)2+y 2=1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
．
思路分析：
根据圆的标准方程，画出符合题意的图形．直线与圆有公共点， 说明直线与圆的位置关系为相切或相交，其中相切为临界状态． 计算直线与圆相切时直线的斜率：
如图，设圆心为点 B ，直线 AM ，AN 分别与圆相切于点 M ，N ， 则 BM ⊥AM ，BN ⊥AN ，且 BM =BN =1，AB =2， 所以∠MAB =∠NAB =30°，
进而可得k AM = - 3 ，k = 3 ， 3 AN 3 结合图形易得直线 l 的斜率的取值范围是[-
3
， 3
] ． 3 3
例 2：在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2+y 2-4x =0．若直线 l ：y =k (x +1)上存在一点 P ，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是
．
思路分析：
由题意，圆 C ：(x -2)2+y 2=4，圆心 C (2，0)，半径 r =2． ∵过点 P 的两条切线相互垂直，
∴过点 P ，C 以及两切点组成的四边形是正方形， ∴对角线 PC = 2r = 2 ，
即 l 上存在一点到圆心的距离等于2 ，
∴圆心 C 到直线 l ：kx -y +k =0 的距离小于或等于2 ， 2k + k 即 ≤ 2 ，
k 2
+1 解得-2 ≤ k ≤ 2 ．
2
1
3 ➢ 巩固练习
1.
若直线l ：y = kx - 与直线2x +3y -6=0 的交点位于第一象限， 则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[30°，60°)
B ．[30°，90°]
C ．(60°，90°)
D ．(30°，90°)
2. 已知点 M (2，-3)，N (-3，-2)，若直线 l ：y =ax -a +1 与线段
MN 相交，则实数 a 的取值范围是（ ）
A ． a ≥ 3 或 a ≤ - 4
4 C ． 3 ≤ a ≤ 4 4
B ． - 4 ≤ a ≤ 3 4 D ． - 3 ≤ a ≤ 4
4
3. 若点 P (x ，y )在以 A (-3，1)，B (-1，0)，C (-2，0)为顶点的
△ABC 的内部（不包括边界），则 y - 2
的取值范围是（ ）
x -1
A ．[ 1 ，1] 2
B ． ( 1 ，1) 2
C ．[ 1 ，1] 4
D ． ( 1 ，1)
4
4. 过点 A (2，1)以及两直线 x -2y -3=0 与 2x -3y -2=0 的交点的直线方程是（ ）
A ．2x +y -5=0
B ．5x -7y -3=0
C ．x -3y +5=0
D ．7x -2y -4=0
5.
过点(2，3)，且到原点的距离最大的直线方程是（ ）
A ．3x +2y -12=0
B ．2x +3y -13=0
C ．x =2
D ．x +y -5=0
2
6. 已知点M(2，3)，N(4，-5)，直线l 经过点P(1，2)，且点M，
N 到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是（）
A．4x+y-6=0
B．x+4y-6=0
C．3x+2y-7=0 或4x+y-6=0
D．2x+3y-7=0 或x+4y-6=0
7.直线2x-y+3=0 关于定点M(-1，2)对称的直线方程是（）
A．2x-y+1=0 B．2x-y+5=0
C．2x-y-1=0 D．2x-y-5=0
8.点P(1，5)关于直线l：x-y+1=0 的对称点的坐标是（）
A．(2，4) B．(4，2) C．(2，-4) D．(-4，2)
9.平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)
两点，顶点D 在直线3x-y+1=0 上移动，则顶点B 的轨迹方程是（）
A．3x-y-20=0（x≠13）B．3x-y-10=0（x≠13）
C．3x-y-9=0（x≠-8）D．3x-y-12=0（x≠-8）
10.已知直线l：y=x+b，若圆x2+y2=4 上恰有3 个点到直线l 的距
离等于1，则b 的值为．
3
2 11. 过原点 O 作圆 x 2+y 2-6x -8y +20=0 的两条切线，切点分别为 P ，
Q ，则线段 PQ 的长为
．
12. 过直线 x + y - 2 = 0 上的一点 P 作圆 x 2+y 2=1 的两条切线，
若两切线的夹角是 60°，则点 P 的坐标是
．
13. 已知直线 x -y +a =0 与圆 C ：x 2+y 2+2x -4y -4=0 相交于 A ，B 两
点，若 AC ⊥BC ，则实数 a 的值为
．
4
2 【参考答案】
1. D
2. A
3. D
4. B
5. B
6. C
7. B
8. B
9.
A
10. 或 11. 4 12. ( 2 ， 2) 13. 0 或 6
5
2。