积分中值定理及定积分极限
定积分的性质中值定理
VS
详细描述
设函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指，对于任意两个子区间[a, c]和[c, b]，其上的积分值等于整个区间[a, b]上的积分值。
详细描述
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，则对于任意c∈[a,b]，有∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx。
重要性及应用领域
在微积分学中，定积分的性质中值定理是理解积分概念和性质的关键，它为解决定积分问题提供了一 种有效的方法。
在应用领域，定积分的性质中值定理广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，例如在计算面积、 解决物理问题、预测经济趋势等方面都有重要的应用。
02 定积分的性质
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指，对于两个函数 的积分和或差，其积分值等于各自积分 值的和或差。
可以用来研究函数的单调性、极值等问题， 并且在解决一些复杂的数学问题时也很有用。
04 定积分与中值定理的关系
定积分与连续函数的关系
01
定积分是研究连续函数的一种工具，它能够计算连 续函数在一定区间上的积分值。
02
连续函数在一定区间上的定积分等于该函数在区间 端点上取值的差与该区间长度乘积的一半。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它说 明了一个函数在开区间上可导时，其导函数在区间内 至少存在一个中值点。
详细描述
拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日提出的，定 理表述为：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在 开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一 点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理说明了函数 在某区间的变化率与该区间两端函数值之差成正比，这 在研究函数的单调性、极值等问题时非常有用。
高数求极限的方法小结
解令 ,则原式 ，
所以在 时， 与 等价，因此，原式 .
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高等数学中求极限的方法小结
2.求极限的常用方法
2.1利用等价无穷小求极限
#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]
例36 ，求 .
解 .
例37若函数 有连续二阶导数且 ， ， ，
则 .
A:不存在B：0 C：-1D：-2
解 .
所以，答案为D.
例38若 ，求 .
解
.
2.16利用连续性求极限[1]
例39设 在 处有连续的一阶导数，且 ，求 .
解原式
.
2.17数列极限转为函数极限求解
数列极限中是 趋近，而不是 趋近.面对数列极限时，先要转化成求 趋近情况下的极限，当然 趋近是 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的 当然是趋于正无穷的）.[1]
（1）定积分中值定理：如果函数 在积分区间 上连续，则在 上至少有一个点，使下列公式成立： ；
（2）设函数 在区间 上连续，取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即 ；
设 在区间 上连续且 ，求以曲线 为曲线，底为 的曲边梯形的面积 ，把这个面积 表示为定积分： 的步骤是：
首先，用任意一组的点把区间 分成长度为 的 个小区间，相应地把曲线梯形分成 个窄曲边梯形，第 个窄曲边梯形的面积设为 ，于是有 ；
其次，计算 的近似值 ；
高数求极限的方法小结
高数求极限的方法小结高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且lim lim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-~,(1)1~x x xαα+-．例1 求01cos lim arctan x xx x→-． 解210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-时，故，原式220112lim 2x xx →==例2 求123(1)1lim cos 1x x x →+--． 解 12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--时,因此:原式202123lim 132x xx→==-．例3 求x →．解 0,x →时11~,tan ~3x x x ，故:原式=0113lim 3x xx →=．例4 求()21lim 2ln(1)xx ex x →-+．解 0,1~,ln(1)~xx e x x x→-+时,故:原式2201lim 22x x x →==．例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解330ln(1)lim 1n x x x ax→-+= 而左边225311003331lim limn n x x x x x x nax nax --→→-+--=，故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 2.2 利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim ()x af x Fx →''存在，那么()()lim lim ()()x a x a f x f x F x F x →→'=' .[1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3]例6 求22201cos lim()sin x x x x→-.分析 秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000-+--+-===（此为强行代入以定型）.()00-可能是比()00+高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)(00)0000000+--+= 或43(00)(00)0000000+-+-=. 解2222222240001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-==3300sin cos sin cos sin cos limlim 2lim x x x x x x x x x x x xx x x →→→-+-==，由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2lim lim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=.例7 求201lim x x e x x→--.解22000(1)1lim lim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x→→→'--==-∴=-'--- .例8 求332132lim 1x x x x x x →-+--+.解 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）.例9 求02lim sin x x x e e x x x-→---.解 原式0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→----====-.例10 求22143lim 21x x x x x →-+-+.解 原式1112422lim lim lim02211x x x x x x x x x →→→---===∴---原式=∞.例11 求0tan lim sin arcsin x x xx x x→-. 解 原式222222220000111(1cos)tan 1cos 1cos 2lim lim lim lim33cos 3cos 3x x x x x x x x x xxx x x x x x →→→→-+--=====.例12 求0cot lim ln x xx+→. 解 原式22200sin cos 1lim lim sin 2sin cos x x x x x x x x ++→→---===-∞.例13 求22201cos lim()sin x x x x →-.解 原式22222400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x xx x →→--+==223320000sin cos sin cos sin cos 1cos sin 4lim lim 2lim 2lim 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+--+====“0⨯∞”型：例14 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解 原式2221arctan 112limlim lim 11111x x x x x xx xπ→+∞→+∞→+∞-+====+.“∞-∞”型：例15 求 ()2lim sec tan x x x π→-.解1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x--=-=，故原式221sin cos lim lim 0cos sin x x x xx xππ→→--===-. “00”型： 例16 求0lim xx x +→.解 原式ln 0lim ln ln 00lim lim 1x xxx e x x xx x eee+→++→→====.“1∞”型：例17 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式lim 1x e eex e e x→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.“0∞”型：例18 求tan 01lim ()xx x+→. 解 原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 00lim lim x xxx e x xxx x ee e-+→++-→→===，而tan ~00lim (tan ln )lim (ln )0x xx x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1.2.3 泰勒公式（含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()f x 在含有n 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +阶的导数，则对任一(,)x a b -∈，有()f x =0()f x +0()f x '(x -0x )+0()2!f x ''(x -0x )2+……+()0()!n f x n (x -0x )n+nR (x )其中()()()(1)10()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，这里ξ是x 与0x 之间的某个值.[1]例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限3sin cos lim sin x x x xx→-. 解 由于公式的分母33sin~(0)x x x →，我们只需将分子中的3333sin 0(),cos 0()3!2!x x x x x x x x x =-+=-+代入计算，于是3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -=-+-++=+，对上式做运算时，把两个3x 高阶的无穷小的代数和还是记作30()x .例20323322314334lim lim 3211211x x x x x x x x x x x x →∞→∞++++==++++++，2222111lim lim 121(1)1x x n n n n n→∞→∞++==--+，()121(2)313limlim (2)332233nn nn n n x x ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.2.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21 求 sin lim x x xx→∞+. 解 原式sin 1lim(1)lim(1sin )1x x x x x x→∞→∞=+=+=. 2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22 求2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.解 111sinsin sin 11nn n i i i i i i n n nn n on iπππ===≤≤+++∑∑∑，1011sin 12lim lim sin n n n n i i i i n n x dx n o n nππππ→∞→∞====⋅=+∑∑⎰，1011sin 112lim lim 1sin 11nn n n i i i i n x dx n n n nππππ→∞→∞==⎫⎛=⋅=⋅⋅= ⎪++⎝⎭∑∑⎰，根据夹逼定理 1sin2lim 1nx i i n n iππ→∞==+∑.2.6 等比等差数列公式（δ的绝对值要小于1） [1]例23 设1||<δ，证等比数列1，δ，2δ1n δ-，…的极限为0.证 任取01δ<<，为使n xa ε-<，而nn xa δ-=，使nδε<，即ln ln ln ,ln n n εδεδ<>，当ln ln N εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，即ln ln 11ln ln n N εεδδ⎡⎤≥+=+>⎢⎥⎣⎦，ln ln nn δεδε<⇒<即nxa ε-<，由定义知()lim 10nδδ<=()()22......lim ...11n n n δδδδδδδδδ→∞++=++=<-.因此,很显然有:()0.99...lim 0.99 (1)n n→∞==.2.7 各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求()111lim 1...2*33*41n nn →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+⎝⎭.解 原式111111lim 1 (23341)n n n →∞⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭11lim 121n n →∞⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭31lim 21n n →∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=32. 2.8 求左右极限的方式例25 求函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，求0x →时，()f x 的极限.解 ()()00lim lim 11x x f x x --→→=-=-，()()00lim lim 11x x f x x ++→→=+=，因为()()00lim lim x x f x f x ++→→≠，所以，当0→x 时，)(x f 的极限不存在.例26 ()0lim 0x x x xαα→>.解 0)(lim )(lim 00=-=---→→ααx x x x x x ，0lim lim 00==++→→ααx xxx x x ，因为0lim )(lim 00==-+-→→xx x x x x x x αα，所以,原式=0.2.9 应用两个重要极限1sin lim 0=→xxx ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭例27 求xe x x 1lim 0-→.解 记()ln 1x t =+ 1xe t-=，则 原式=1001lim lim 111ln 1t t ttt t →→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()1lim 1x x x e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为.例28 求1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.解 原式=()111lim 11n n n +-→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=e .例29 求1lim 1-1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式=()111lim 1-1n n n -+→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e .2.10 根据增长速度)(ln ∞→<<x e x x xn λ例30 求()lim 0nx x x n eλλ→∞>为正整数，.解 原式=1lim n x x nx eλ-→∞=()221!lim lim 0n xn x x x n n x n e e λλλλ-→∞→∞-==.例31 求()ln lim 0nx xn x→∞>. 解01lim lim ln lim 11===∞→-∞→∞→n x n x x n x nxnx x x .同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的x次方快于!x （x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： )(ln ∞→<<x e xx xnλ.故以后上述结论可直接在极限计算中运用.2.11 换元法例321lim (1)x x x→-∞+.解 令x t =-， 则原式=1lim 1tt t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim tt t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e2.12 利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限： (1) 如果()()lim ,lim ,f x A g x B == 那么B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦若又有0≠B ，则BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim （2）如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则)(lim )](lim[x f c x cf =（3）如果)(lim x f 存在，而n 为正整数，则nnx f x f )]([lim )](lim[=（4）如果)()(x x ϕδ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ϕδ，则b a ≥ （5）设有数列{}nx 和{}ny ，如果()lim ;nnn x y A B →∞+=+那么，()lim ;nn n xy A B →∞+=+lim n n n x y A B→∞=⋅当()01,2,...nyn ≠=且0b ≠时，lim n n nxA yB→∞=2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()f x =,在区间[]0,1上求()01lim ni ii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n 个小区间[]1,i i x x -,1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解 由已知得: ()()11lim niii f x f x dxλξ→=∆=∑⎰dx=⎰4π= .（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[],a b 上连续，则在[],a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()b af x dx x b a ϕ=-⎰()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[],a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()lim tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[],a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0)(dxx f ，即⎰⎰+∞→∞+=tat adxx f dx x f )(lim )(；设()f x 在区间[],a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[],a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A表示为定积分：()b =aA f x dx ⎰ 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间[],a b 分成长度为(1,2,...)ix i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为iA ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算iA ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x xx ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→baini idxx f x f A )()(lim 1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限()()()[]20lim .xx x x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰.解 ()()()0lim xx x x t f t dtx f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim ,xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limx x x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(),,,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()()()0lim0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间 ()()()()()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dxx +∞-∞+⎰.解 21dx x +∞-∞+⎰=[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=()22πππ--=.2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]例36 数列{}nx :2……．极限存在吗？解 由已知可得{}nx 单调递增且有界，由单调有界原理，知lim nn x →∞存在．又nx=，lim nn n x→∞=记lim =t,nn x t →∞=则即可证2nx<，得到 2=t .2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(=F 时，)(x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()0y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x处的导数，记作()0f x '，即()()()00000limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'f π.解 ()'fπ ()()()()()()=limlim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---.例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f ，()''0=-2f ，则 ()()2lim x f x x x→-=. A:不存在 B ：0 C ：-1 D ：-2解()20lim x f x x x →-=()()()'''00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-.所以，答案为D.例38 若()(1)(2).....(2010)f x x x x x =++++，求(0)f '.解 0()(0)(0)lim x f x f f x→-'= 0(1)(2).....(2010)lim x x x x x x →++++=lim (1)(2).....(2010)x x x x x →=++++2010!=. 2.16 利用连续性求极限[1]例39 设()f x 在1x =处有连续的一阶导数，且(1)2f '=，求1lim x ddx+→+.解 原式1lim x f +→'=-11lim 2x f +→'=-11lim 2x f +→'=-11(lim 2x f +→'=-1(1)2f '=-1=-.2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是n 趋近，而不是x 趋近.面对数列极限时，先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n 趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的n 当然是趋于正无穷的）.[1]例40 求21lim (1sin )n n n n→∞-.解 令1t n=,则原式232001sin sin 1cos lim(1)lim lim3t t t t t t t t t t t →→→--=-==，所以在0t →时，1cos t -与212t 等价，因此，原式20212lim 13t tt→=16=.。
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
积分中值定理求定积分
积分中值定理求定积分
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它在求定积分中有着重要的应用。
本文将
从积分中值定理的定义入手，详细介绍如何利用积分中值定理求定积分。
积分中值定理也叫第一中值定理，是微积分中的一个基本定理。
它表明在一定条件下，若函数f(x)在[a,b]上连续，则存在一个点c∈[a,b]，使得
∫a^bf(x)dx=f(c)∙(b-a)
其中，∫a^bf(x)dx表示f(x)在[a,b]上的定积分。
积分中值定理的证明基于微积分中的中值定理，即拉格朗日中值定理。
二、积分中值定理的应用
积分中值定理在求定积分中有着广泛的应用。
利用积分中值定理，可以将所求定积分
转化为函数在某一点的取值，从而简化计算过程。
对于一些函数比较复杂的定积分，很难直接求得其解析解，利用积分中值定理可以求
出一个近似值，并且误差可以控制在一定范围内。
这对于工程和科学计算领域有着重要的
应用。
在具体求定积分时，可以按照以下步骤利用积分中值定理：
1. 求出被积函数f(x)在区间[a,b]上的连续性。
2. 利用积分中值定理，找出一个点c∈[a,b]，使得
3. 求出f(c)的值，即可得到定积分的近似值。
在具体计算过程中，需要灵活应用积分中值定理，合理选择c的值，以减小误差。
四、总结。
定积分中的定理
定积分是积分学中的一个重要概念，它涉及到曲线、面积、速度等多个领域。
在定积分中，有几个重要的定理，它们对于理解和应用定积分具有关键的作用。
1.微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼兹公式）：这是定积分中的核心定理。
它建立了定积分与不定积分（原函数）之间的联系，即一个函数在区间上的定积分等于其原函数在该区间的端点值的差。
这个定理使得定积分的计算变得更为简单，因为它允许我们通过找到被积函数的原函数来求解定积分。
2.中值定理：定积分的中值定理表明，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]
上的定积分等于f(x)在[a,b]上的某一个值c乘以区间[a,b]的长度，即∫abf(x)dx=f(c)(b−a)。
这个定理在理论上很重要，因为它揭示了定积分与函数值之间的关系。
3.可积性定理：如果一个函数在闭区间[a,b]上只有有限个第一类间断点，那么
这个函数在[a,b]上是可积的。
这个定理给出了函数可积的充分条件，是定积分存在性的基础。
以上三个定理在定积分中占据重要地位。
它们不仅提供了定积分的计算方法，还揭示了定积分与被积函数之间的关系，以及定积分存在的条件。
在理解和应用定积分时，这些定理都是不可或缺的。
8定积分应用(积分中值定理,求极限,变上限解析
例
设f ( x )是连续函数，f ( 1 ) 1
ab a
若对的a , b有 f ( t )dt与a无关,求f ( x )
例.
例
.设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0 ,
1
0 f ( x ) 1
2
1 求证 : f ( x )dx f 3 ( x )dx 0 0
a a
结论3
设f ( x )是 a, a 内的连续函数，
证明若f ( x )为奇（偶）函数 ,
则0 f (t )dt 偶（奇）函数
x
例： 当f ( x )是以2为周期的连续函数时，
证明：函数 G( x) 20 f (t )dt－ x 0 f (t )dt
也是以 2为周期的周期函数 08研
2 3
4
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
变上限积分问题
1.变上限积分问题
( x) f (t ) d t
a
a
x
( x) ( f (t ) d t ) f ( x)
(被积函数中不含自变量x)
x
d ( x) f (t ) d t a dx
例.
d x2 2 求 1 t dt dx 0
例.
d x3 1 求 dt 2 dx x 1 t 4
d cos x 2 求 1 t dt dx sinx
例.
例. 求
0 0
例.
确定常数 a , b , c 的值, 使
例.
lim
x 0
x
1
cos x
t ln tdt
积分中值定理及其应用
积分中值定理及其应用学号：*************师范大学学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生&&&&指导教师****** 副教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院***师范大学2013年4月学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生******指导教师****** 副教授年级2009级专业数学与应用数学专业系别数学系学院数学科学学院***师范大学2013年4月积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用.关键词：积分中值定理；推广； 应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、 积分中值定理的证明 1、 定积分中值定理引理：假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明：因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，即()m f x M ≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）成立，命题得证.定理1（定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立.证明：由于0b a ->，将（1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()ba f x dxb a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然，积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、 积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立.对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、 积分第二中值定理定理3（积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰ （2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰ （3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()b aaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰ （4）证明：由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的，由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明（3）式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明. 对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2）式.在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=，记1i i i x x x -∆=-，其中i ω为()g x 在i x ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份，并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx i x i g x f x dx σ-==∑⎰.则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤.估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()ii n x i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim baf xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M ≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=，其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续，则在[,]a b 之间存在一点ξ，使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3）成立，即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，（3）式得证.对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略.对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3）对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立，这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式（4），同样可得到（2）式，此命题得证.三、 积分中值定理的推广 1、定积分中值定理的推广定理7（推广的定积分中值定理） ：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ，使得下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰成立.证明：作辅助函数()F x 如下：()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰.由于()f x 在闭区间[,]a b 连续，则()F x 在[,]a b 上可微，且有()()F x f x '=成立.由微分中值定理可知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-成立.并且有()()baF b f t dt=⎰，()0F a =，此时即可得到下式()()(),(,)baf t dt f b a a b ξξ=-∈⎰，命题得证.2、定积分第一中值定理的推广定理8（推广的定积分第一中值定理）： 若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰成立.证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()xaF x f t g t dt=⎰，()()xaG x g t dt=⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续.并且()0,()()()baF a F b f t g t dt==⎰，()0,()()b aG a G b g t dt==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= .由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()F b F a F a b G b G a G ξξξ'-=∈'-，即()()()()()()babaf tg t dtf g g g t dtξξξ=⎰⎰，()()()(),(,)bbaaf tg t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰⎰，命题得证.证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥.而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈.假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈.此时我们有下式成立()()()()bbb aaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰（1）由于()0g x ≥，则有()0bag x dx ≥⎰，以下我们分两种情形来进行讨论：[1]如果()0bag x dx =⎰，由（3-1）式可知()()0baf xg x dx =⎰，则此时对于(,)a b ξ∀∈有()()0()()bbaaf xg x dx f g x dxξ==⎰⎰成立.[2]如果()0b ag x dx >⎰，将（3-1）式除以()bag x dx⎰可得()()()babaf xg x dxm Mg x dx≤≤⎰⎰，（2）我们记()()()babaf xg x dxg x dxμ=⎰⎰，（3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：i 如果（2）式中的等号不成立，即有()()()babaf xg x dxm Mg x dx<<⎰⎰成立，则此时存在m M μ<<，使得12(),()m f x f x M μμ<≤<≤，我们不妨假设12x x <，其中12,[,]x x a b ∈.因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则有1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=.此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有12()()()(),(,)[,]bbaaf xg x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰⎰成立，从而结论成立.ii 如果（2）式中仅有一个等号成立，不妨假设M μ=，因为()0ba g x dx >⎰，此时必存在11[,](,)a b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们则可将（3）式可改写为()()()b baag x dx f x g x dxμ⋅=⎰⎰，因为M μ=，则有[()]()0baM f x g x dx -=⎰（4）又注意到[()]()0M f x g x -≥，必有110[()]()[()]0b ba aM f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰.于是11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰（5）下证必存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使()f M ξμ==.若不然，则在11[,]a b 上恒有()0M f x ->及()0g x >成立，从而[()]()0M f x g x ->.如果11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，这与[()]()0M f x g x ->矛盾.如果11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰，这与（5）式矛盾.所以存在[,]a b ξ∈，使()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰，定理证毕.3、 推广定积分第二中值定理定理9（推广定积分第二中值定理）： 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号，则在(,)a b 上必存在一点ξ，使得()()()()()(),(,)bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx a b ξ=+∈⎰⎰⎰成立.证明过程详见参考文献[9].4、 第一曲线积分中值定理定理10（第一型曲线积分中值定理）： 如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Cf x y ds f Sξη=⎰成立，其中S 为曲线C 的弧长.证明：因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对不等式在闭曲线C 上进行第一类曲线积分可得(,)CCCm ds f x y ds M ds⋅≤≤⋅⎰⎰⎰，其中Cds⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S=⎰，由于0S >，将上式同除以常数S ，即可得到1(,)C m f x y ds M S ≤≤⎰，由于函数(,)f x y 在曲线C 上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f f x y ds S ξη=⎰成立，左右两边同除以常数S ，即可得到结论，从而命题得证.5、 第二曲线积分中值定理定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰成立.其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的.证明：因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对上式进行第二型曲线积分可得(,)cCcm dx f x y dx M dx≤≤⎰⎰⎰（6）其中cdx ⎰为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，此时我们不妨记cdx I =±⎰，并且分以下两种情况进行讨论：[1]假设cdx I =⎰，将（3-6）式除以I 可得1(,)C m f x y dx M I ≤≤⎰.因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=⋅⎰成立.[2]同理当cdx I =-⎰，式左右两边同时除以I -可得1(,)C M f x y dx m I -≤-≤-⎰，因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη-=⎰ 成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=-⋅⎰成立，由上面证明过程可得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰，命题得证.6、 第一曲面积分中值定理定理12（第一型曲面积分中值定理）：设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明：因为(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈且使得(,,)m f x y z M ≤≤成立，我们对上式在S 上进行第一类曲面积分可得(,,)SSSm d f x y z d M d σσσ⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sd σ⎰⎰为曲面的面积，且Sd Aσ=⎰⎰，因为0A ≠，两边同除以A 有1(,,)Sm f x y z d M A σ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z d A ξηζσ=⎰⎰，成立，两边同时乘以A 可得(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰，命题得证.7、 第二曲面积分中值定理定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xyS z x y x y D ∈，其中xyD 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰成立，其中A 是S 的投影xyD 的面积.证明：因为函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈使得(,,)m f x y z M ≤≤，对上式在曲面S 上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSm dxdy f x y z dxdy M dxdy⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sdxdy⎰⎰为(,,)f x y z 投影在曲面xy D上的面积，并且我们记Sdxdy A=±⎰⎰.[1]若Sdxdy A=⎰⎰，则上式除以A 有1(,,)Sm f x y z dxdy M A ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)S f f x y z dxdy A ξηζ=⎰⎰，两边同时乘以A 有(,,)(,,)Sf x y z dxdy Af ξηζ=⎰⎰，[2]同理，若Sdxdy A=-⎰⎰，则上式除以A -有1(,,)SM f x y z dxdy m A -≤-≤-⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)S f f x y z dxdy A ξηζ=-⎰⎰，两边同时乘以A -有(,,)(,,)SAf f x y z dxdyξηζ-=⎰⎰.由以上证明过程可得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰，从而结论成立.四、 第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 ：假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数为0，而n 不为0，即(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f a +≠，并且有()()n f x 在a 点连续；函数()g x 在[,]a b 可积且不变号，并且对于充分小的0()a b δδ>+<， ()g x 在[,]a a δ+上连续，且()0g a ≠，则第一积分中值定理中的中值点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意(,)x a b ∈，我们做一个辅助函数()F x 如下：1()()()()()()xxaan f t g t dt f a g t dtF x x a +-=-⎰⎰一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则()()()()lim ()lim(1)()nx a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+-()()()lim ()1n x a f x f a g x x a n →+-=-+001()()lim ()lim1()n x a x a f x f a g x n x a →+→+-=⋅⋅+-由积分中值定理和洛比达法则可以得到()0()()()lim ()!n n x a f a f x f a x a n +→+-=-，从而()0()()lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. （1）且有()0()()()lim ,()()!n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<-成立.另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得1()()()()lim ()lim()x xaan x a x a f g t dt f a g t dtF x x a ξ+→+→+-=-⎰⎰=0()()()lim ()xna n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⋅⋅ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 000()()()lim lim lim ()a na n x a x a g t dtf f a a a x a δδξξξδ+→+→+→+--⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭⎰由洛比达法则，则有()lim()a ag t dtg a δδδ+→+=⎰，因此可得()0()()lim ,()!nn x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-⎛⎫=⋅<< ⎪-⎝⎭. （2）比较（4-1）式与（4-2）式可以得到lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理15：假设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f a +'存在并且有()0f a +'≠，()[,]g x a b 在上有m 阶导数，有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====， ()()0m g a +≠成立，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的点ξ满足1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.证明：对任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()H x 如下2()()()()()()xxaam f t g t dt f a g t dtH x x a +-=-⎰⎰ .一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有10()()()()lim ()lim (2)()m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+-=()()()1lim()2m x a f x f a g x x a x a m →+-⋅⋅--+由于0x a →+，则0()()lim()x a f x f a f a x a +→+-'=-，且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数，则上式等于()0()1()1()lim ()2()2!m m x a g x g x f a f a m x a m m +++→+''⋅⋅=⋅⋅+-+（3）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则2[()()]()lim ()lim()()xam x a x a f f a g t dtH x a x x a ξξ+→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]lim ()xa m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]lim lim lim ()xam x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()H x 使用洛比达法则可得=()0()()lim(1)!m x a g a a f a m x a ξ++→+-'⋅⋅+-（4） 比较（3），（4）式我们可以得到1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.定理16：设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f x ≠，()()n f x 在a点连续；函数()[,]g x a b 在上有m阶导数，且(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====，()()0m g a ≠，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意的(,)x a b ∈，我们构造辅助函数()L x 如下1()()()()()()xxaam n f t g t dt f a g t dtL x x a ++-=-⎰⎰一方面，由于0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有()()()()lim ()lim (1)()m n x a x a f x g x f a g x L x m n x a +→+→+-=++-=()()()1lim()()1n m x a f x f a g x x a x a m n →+-⋅⋅--++001()()()lim lim1()()nm x a x a f x f a g x m n x a x a →+→+-=⋅⋅++--由于函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，且函数()g x 在[,]a b 上m 阶可导，则上式等于()()()()11!!n m f a g x m n n m ++=⋅⋅++ （5）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则1[()()]()lim ()lim()()xa m n x a x a f f a g t dtL x a x x a ξξ++→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]()lim ()()()xna n m m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]()lim lim lim ()()()xnan m m x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()L x 使用洛比达法则可得()()0()()lim ,()!(1)!nn m x a f a g a a a x n x a m ξξ++→+-⎛⎫=⋅⋅<< ⎪-+⎝⎭ （6）比较（5）、（6）式我们可以得到0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.五、 第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 ：假设函数()[,]f x a b 在上单调，并且在a 点的右导数存在，且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a +≠.则第二积分中值定理中的ξ满足01lim,(,)2x a ax a b x a ξ→+-=∈-.证明：对于任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()F x 如下2()()()()()()xxaaf tg t dt f a g t dtF x x a -=-⎰⎰.一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得()()()()lim ()lim2()x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-001()()1lim lim ()(0)(0)02()2x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'==++≠-（1）另一方面，由第二积分中值定理，有2()()()()()()lim ()lim()x xaax a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dtF x x a ξξ→+→++-=-⎰⎰⎰20()()()()()()()lim()x xa a a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dtx a ξξ→+⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰[][]2()()()()()()lim()x aax a f x f a g t dt f x f a g t dtx a ξ→+---=-⎰⎰00()()()()lim lim x aa x a x a g t dt g t dt f x f a x a x aξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(0)(0)(0)limx a a f a g a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-+⎢⎥-⎣⎦ 0(0)(0)1limx a a f a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-⎢⎥-⎣⎦（5-2）比较（5-1）、（5-2）式知011lim2x a ax aξ→+--=-，即可得到01lim 2x a a x a ξ→+-=-. 将此定理推广，即可得到以下定理定理18：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 内有直到n 阶导数，()()n f x 在a 点连续，()f x 在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0;n f a +≠()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a '+≠，则第二积分中值定理中的ξ满足lim,(,)1x a anx a b x an ξ→+-=∈-+.定理19：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，函数()f x 在a 点的右导数存在，并且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，且有()()m g x 在a 点连续，并且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理20：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 上有直到n 阶的导数，()()n f x 在a 点连续，并且在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0n f a +≠；()g x 在[,]a b上存在直到m 阶导数，()()m g x 在a 点连续，且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.6 积分中值定理的应用 6.1 估计积分值例1 估计2010.5sin xdxx +⎰的积分解：由于11110.510.5sin 10.5x ≤≤++-，即212310.5sin x ≤≤+.于是2044310.5sin x dx x ππ≤≤+⎰此时可得到估计的积分值为2084(1)10.5sin 33xdx x ππθθ=±≤+⎰.例2 估计2sin ,(0)bax dx a b <<⎰的积分解：设x =.则2221sin 2bb a a x dx =⎰⎰，其次，假设()sin f t t =和12()t tϕ-=，则()t ϕ单调下降，并且有()0t ϕ>.于是，2222111sin (cos cos )222b a a tdx a a a ξξ==-⎰⎰2211sin sin 22a a a a ξξθ+-==其中22a b ξ≤≤，1θ≤.因此2sin (1)bax dx aθθ=≤⎰.例3 证明等式sin lim 0n pnn xdx x +→∞=⎰.证法1：由第一积分中值定理可知sin sin lim lim 0n pn nn n n xdx p x ξξ+→∞→∞==⎰，其中n ξ位于n 和n p +之间的某个值.证法2：由第二积分中值定理可知得sin 1sin nn pnnx dx xdxx nξ'+=⎰⎰11cos cos 0()nn n n n ξ'=-≤→→∞，其中n ξ位于n 和n p +之间的某个值，于是sin lim 0n p nn xdx x +→∞=⎰.2、求含定积分的极限例4 求极限120lim 1nn x x →∞+⎰解：利用广义积分中值定理1122001lim 11n n n x dx x dxx ξ→∞=++⎰⎰1102211[],(01)11(1)(1)n x n n ξξξ+==≤≤++++则12201lim lim 01(1)(1)n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰3、 确定积分号例5确定积分131x x e dx-⎰的符号解：11133333111()()xxxtx x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx----=+=---+⎰⎰⎰⎰⎰1113333311()txtxx x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx--=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理可知1331()0x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰其中(01)ξ≤≤.又3xx e 在[1,1]-上不恒为0，则有1310xx e dx ->⎰，即131xx e dx -⎰的符号为正号.4、 比较积分大小例6 比较积分34sin xπ⎰和240sin xπ⎰的大小解：当(0,)4x π∈时，0sin 1x <<，从而有320sin sin 1x x <<<，于是我们有32440sin sin x xππ≤⎰⎰，即340sin xπ⎰小于等于240sin xπ⎰.5、 证明函数的单调性例7设函数()f x 在(0,)+∞上连续，其中0()(2)()xF x x t f t dt=-⎰，试证：在(0,)+∞内，若()f x 为非减函数，则()F x 必为非增函数.证明：利用分歩积分法，将()F x 化为()(2)()()2()x x xF x x t f t dt x f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰对上式求导，可以得到：()()()2()()()x xF x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-⎰⎰.由积分中值定理，可得：()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.若()f x 为非减函数，则有()()0f f x ξ-≤成立，因此可以得到()0F x '≤，故()F x 为非增函数，命题得证.6、 证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果()f x 在[,)a +∞上可积，()g x 单调有界，那么()()a f x g x dx+∞⎰收敛.证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]A A '上（其中,A A a '>），存在[,]A A ξ'∈，使得()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰.因为()f x 在[,)a +∞上可积，则()af x dx+∞⎰收敛，所以对于任何0ε>，存在0A a ≥，使得当0,A A A '≥时，成立(),()A Af x dx f x dx ξξεε'<<⎰⎰.又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时，有()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰()()()()2A Ag A f x dx g A f x dx L ξξε''≤+≤⎰⎰，根据柯西收敛原理可推知积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.备注2： 当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为： 假设()f x 在x a =有奇点，()baf x dx⎰收敛，()g x 单调有界，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为：假设(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈为一致收敛，(,)g x y 关于x 单调（即对每个固定的[,]y c d ∈，(,)g x y 作为x 的函数是单调的），并且关于y 是一致有界的，即存在正数L ，对所讨论范围内的一切,x y 成立：(,)g x y L <.那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由于(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈是一致收敛的，则对于任意正数0ε>，存在0A a ≥，当0,A A A '≥时，成立(,)A Af x y dx ε'<⎰.因此，当0,A A A '≥时，将y 看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式(,)(,)A Af x yg x y dx '⎰()()(,)(,)(,)(,)y A Ay g A y f x y dx g A y f x y dxεε''=+⎰⎰因为对任意的,x y 都有(,)g x y L<，则(,)(,)2A Af x yg x y dx L ε'≤⎰.因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.例9 证明（狄里克莱判别法）如果()()AaF A f x dx=⎰有界，即存在0K >，使得(),()Aaf x dx Kg x ≤⎰单调且当x →+∞时趋向于零，那么积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.证明：因为()0()g x x →→+∞，所以对任意的0ε>，存在0A ，当0,A A A '≥时，()g A ε<，()g A ε'<.又因()Aaf x dx K≤⎰，所以()()()2AAaaf x dx f x dx f x dx Kξξ=-≤⎰⎰⎰，同样我们有()2A f x dx Kξ'≤⎰.由第二积分中值定理，只要0,A A A '≥，就有()()()()()()4A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dx K ξξε'''≤+≤⎰⎰⎰所以积分()()af xg x dx+∞⎰收敛，命题得证.备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设()f x 在x a =有奇点，()ba f x dx η+⎰是η的有界函数，()g x 单调且当x a →时趋于零，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注5： 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分(,)A af x y dx⎰对于A a ≥和[,]y c d ∈是一致有界的，即存在正数K ，使对上述,A y 成立(,)Aaf x y dx K≤⎰又因为(,)g x y 关于x 是单调的，并且当x →+∞时，(,)g x y 关于[,]c d 上的y 一致趋于零，即对于任意给定的正数ε，有0A ，当0x A ≥时，对一切[,]y c d ∈成立(,)g x y ε<，那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由所假设的条件可推知对任何,A A a '≥，有(,)(,)(,)A AA Aaaf x y dx f x y dx f x y dx''=-⎰⎰⎰(,)(,)2AA aaf x y dx f x y dx K'≤+≤⎰⎰而由(,)g x y ε<和上式可推知，当,A A a '≥时()(,)(,)(,)(,)A y AAf x yg x y dx g A y f x y dxε'≤⎰⎰()(,)(,)224A y g A y f x y dx K K K εεεε''+<⋅+⋅=⎰，因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.参考文献：[1] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版上册）.北京:高等教育出版社，2004.294-310 [2] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版下册）.北京:高等教育出版社，2004.165-170 [3] 陈传璋、金福林等编.数学分析（下册）.北京：高等教育出版社，1983. 286-288 [4] 陈传璋、金福林等编.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，1983. 51-56， 252 [5] 同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）.北京：高等教育出版社，1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.Key words:integral mean-value; theorem promotion ;apply指导教师评语页本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级2009 级答辩人姓名**** 学号**********毕业论文（设计）题目积分中值定理及其应用毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（）未通过（）记录员答辩小组组长签字年月日年月日=本科毕业论文（设计）答辩登记表。
定积分求极限公式
定积分求极限公式1.中值定理2.大数定律3.独立变量的积分4.常用极限公式接下来，我将对这些公式进行详细的介绍。
1.中值定理中值定理是微积分中的一个重要定理，可以用来证明函数的连续性。
对于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并可导，在(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
根据中值定理，定积分的极限可以通过函数的导数和平均值来表示。
2.大数定律有很多情况下，定积分可以用来表示一些随机变量的数学期望（期望值）。
根据大数定律，当取样数量足够大时，随机变量的平均值会趋近于其数学期望。
这意味着当定积分的上下限趋近于无穷时，定积分的值会收敛到一个常数。
3.独立变量的积分对于含有一个或多个独立变量的积分，可以通过分离变量，将其转化为只含有一个变量的积分。
例如，如果要求解∫(x^2 + y^2) dx，可以将 y 视为常数，并对 x 进行积分。
这样就可以得到只关于 y 的积分表达式。
4.常用极限公式在定积分求极限过程中，还可以直接使用一些常用的极限公式来简化计算。
常用的极限公式包括：- 弧长公式：当 a < b 时，有lim(x→∞) ∫(a→b) f(x) dx =lim(x→∞) ∫(a→x) f(t) dt + lim(x→∞) ∫(x→b) f(t) dt；- 指数函数和对应的自然对数函数的极限：lim(x→0) (1 + x)^1/x= e；- 三角函数的极限：lim(x→0) sin(x)/x = 1；- 幂函数的极限：lim(x→∞) x^a = ∞，其中 a > 0；- 正无穷大与负无穷大的相加或相减：lim(x→∞) [f(x) ± g(x)]= lim(x→∞) f(x) ± lim(x→∞) g(x)；- 正无穷大与有界函数的乘积：lim(x→∞) [f(x) * g(x)] =lim(x→∞) f(x) * lim(x→∞) g(x)，其中lim(x→∞) f(x) 为正无穷大，g(x) 为有界函数。
高等数学定积分定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
i 1 i
n
i
J2
2
2
.
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
a a
b
b
性质3 若 f , g 在 [a , b] 上可积，则 f g 在 [a , b] 上
c
b
注 若规定 a b 时 a f ( x )dx b f ( x )dx , a b 时
i xi ix i i x i . T T T
因此, f 在 [a, b] 上可积. (必要性) 已知 f 在 [a , b ] 上可积, 则 0, T ,
使 i Δxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
b
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c b a
T T
T
T
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定积分计算方法总结
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结
导语：学习需要总结，只有总结，才能真正学有所成。
以下是定积分计算方法总结，供各位阅读和参考。
一、定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
二、定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
4. 等价无穷小
三、定积分的估值及其不等式的应用
1. 不计算积分，比较积分值的大小
1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则 >= ()dx
2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)
b) 当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2. 估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则
M(b-a)<= <=M(b-a)
3. 具体函数的`定积分不等式证法
1) 积分估值定理
2) 放缩法
3) 柯西积分不等式
≤ %
4. 抽象函数的定积分不等式的证法
1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性
2) 积分中值定理
3) 常数变易法
4) 利用泰勒公式展开法
四、不定积分计算方法
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1) 三角代换
2) 根幂代换
3) 倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）
8. 降幂法。
9-04-定积分的性质
解
1 f ( x) , 3 3 sin x
x [0, ],
0 sin x 1,
3
1 1 1 , 3 4 3 sin x 3
0
1 1 1 dx dx dx, 3 0 3 sin x 0 3 4
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2] 上规定当 x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6
0 1
1
2
o
1
2
x
性质5 (保号不等式) 如果在区间[a , b]上可积函数
f ( x ) 0 ，则 a f ( x )dx 0 .
f ( )
b
a
f ( x)dx
其数值等于在时间段 [a, b]内，物体以某个时 刻 的速率f() 作匀速直 线运动所走过的路程。
o
a
b x
例 6 设 f ( x ) 连续，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
在 0,1 上不可积 类似于Dirichlet 函数 . 但 f x 1, 所以 f x 在 0,1 上可积.
性质6（估值不等式）设 M 及m 分别是可积函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
定积分的概念,性质与中值定理
(2 ) a > b, ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx
b a a b
性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b b b a a a
∫
b
a
cf ( x )dx =c ∫a f ( x )dx
∫ v (t )dt .
T2 T1
二.定积分的定义(和式的极限) 定积分的定义(和式的极限) 上有界, 设函数 f(x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入若干个分点 在 上有界 中任意插入若干个分点 a = x0 < x1 < x2 < L< xi −1 < xi < Lxn = b, 把区间[ 个小区间: 把区间[a,b] 分成 n个小区间: [ x 0 , x 1 ], [ x 1 , x 2 ], L , [ x n −1 , x n ], 个小区间 各小区间的长度依次为: 各小区间的长度依次为: ∆x1 = x1 − x0 , ∆x2 = x2 − x1 ,L, ∆xn = xn − xn−1 , 任取一点 任取一点 ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ], 作乘积 f (ξ i )∆x i ( i = 1,2,L , n), 并作出和
v(τ i )
∆t i = t i − t i −1
( i = 1,2, L , n)
T1
τi
T2
(2) 近似代替 ∆ s i ≈ v (τ i ) ∆ t i (3) 求和 (4) 取极限
t0 t1 t 2 ti −1 ti t n −1 t n
v (τ i ) ∆ t i
用积分中值定理求极限要注意哪些问题？
考研屋
提供各大机构考研、公务员、四六级辅导视频课程，高手解释一下，谢谢！！
定积分中值定理唯一的条件就是要求被积函数连续。
其实这两道题你犯了同一个错误，利用积分中值定理的确只要函数连续就可以有其某一个函数值代入，提到积分符号外面，然后乘以积分长度来计算积分值，但是你这两道题忽略了前面的函数值的可变性，比如第一题如果当ε=1时，函数值就为1/2，当ε&lt;1就为0了，如果这道题是在开区间你的做法就对了，但是闭区间还是应该注意一点的，同样第二题ε在取1/n时整个值就不是0了。
总的来说利用积分中值定理你就要保证在整个区间中被提出的函数的极限都为0才可以
回2楼(potatolyh) 的帖子谢谢，你的思路对我有点启示！
长见识了学知识了谢谢2楼
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定积分求极限的方法总结
定积分求极限的方法总结定积分是微积分中的一个重要概念，它在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
定积分求极限是其中的一个常见问题，本文将总结定积分求极限的几种常用方法，以帮助读者更好地理解和运用这一数学工具。
一、利用定义直接计算法定积分的定义为函数在区间上的分割求和的极限，因此我们可以直接利用定义进行计算。
通过将函数分割成若干小区间，然后取极限，得到定积分的值。
这种方法在一些简单函数上较为有效，但在复杂函数上计算较为繁琐。
二、利用换元法简化问题换元法是定积分求极限中常用的一种方法。
通过引入新的变量，将原定积分中的变量替换为新变量，从而简化问题。
这样一来，原来复杂的函数可能被替换成一个更容易处理的形式，使得求极限的过程更加直观和简便。
三、利用洛必达法则洛必达法则是解决不定型（0/0或∞/∞）极限问题的一种有效手段。
在定积分中，如果我们在求解极限的过程中遇到不定型，可以尝试将其化为分数的形式，然后利用洛必达法则进行简化。
这种方法在处理特定类型的问题时非常有用，能够迅速求得极限的值。
四、利用夹逼准则夹逼准则是定积分求极限中的一种常见方法，尤其适用于需要确定极限存在性的情况。
通过构造两个较为简单的函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们夹住原函数，然后证明这两个函数的极限相等，从而得出原函数的极限。
这种方法对于一些特殊的函数极限问题非常有效。
五、利用积分中值定理积分中值定理是定积分求极限中的一种常用手段。
该定理指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在该区间上一定存在一个点，使得函数值等于该点处的平均值。
通过应用积分中值定理，我们可以将定积分与极限联系起来，从而更方便地求解问题。
在实际问题中，以上方法可以根据具体情况进行灵活运用。
总体来说，定积分求极限是微积分中的一项重要任务，通过掌握不同的方法，我们能够更加深入地理解函数的性质，解决实际问题中的复杂计算，为数学和科学研究提供强大的工具。
希望本文的总结对读者在学习和应用定积分时有所帮助。
积分与定积分
积分与定积分积分和定积分是微积分中的重要概念。
它们在数学和应用科学中有广泛的应用。
本文将介绍积分和定积分的定义、性质和计算方法。
一、积分的定义与性质1.1 定积分的定义定积分是函数在一个闭区间上的积分，表示曲线下的面积。
设函数f(x)在[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的定积分可表示为：∫(a到b) f(x) dx该积分表示曲线y=f(x)与x轴所围成的曲边梯形的面积。
1.2 积分的性质积分具有以下性质：（1）线性性质：若f(x)和g(x)在[a, b]上可积，且k为常数，则有∫(a 到b) [f(x)+g(x)] dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(a到b) g(x) dx以及∫(a到b) kf(x) dx=k∫(a到b) f(x) dx。
（2）区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫(a到c) f(x) dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(b到c) f(x) dx。
（3）积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫(a到b) f(x) dx=f(ξ)。
二、定积分的计算方法2.1 几何意义法定积分可以通过几何意义来计算。
例如，要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分，可将函数图像与x轴所围成的面积分为若干个几何图形的面积之和，然后分别计算每个几何图形的面积并求和。
在本例中，将曲边梯形近似为矩形，计算可得定积分的值为1/3。
2.2 基本积分法基本积分法是通过函数的不定积分来计算定积分。
定积分与不定积分之间有着密切的联系，可以利用不定积分来计算定积分。
例如，要计算函数f(x)=2x在区间[1, 3]上的定积分，首先求出函数f(x)的不定积分F(x)=x²+C，其中C为常数。
然后，利用不定积分的基本性质，计算定积分的值为F(3)-F(1)=9-1=8。
2.3 分部积分法分部积分法也是计算定积分的一种常用方法。
定积分中值定理的条件
定积分中值定理的条件1. 定积分中值定理的条件之一那就是函数要在闭区间上连续呀！你想想看，就像跑步要在规定的跑道上一样，不能乱跑呀！比如函数 f(x)=x 在[0,1]上，它就是连续的呀。
2. 还有哦，被积函数要在闭区间上有界呢！这就好比是风筝要有线牵着，不能无限制地飞呀！像 f(x)=1/x 在(0,1]上就不行啦，因为它在 0 点无界呀。
3. 函数在闭区间内可积也是个重要条件呢！哎呀，这就好像搭积木，得能一块一块堆起来才行呀！比如 f(x)=[x]在[0,1]上，它就不可积呀。
4. 定积分中值定理还要求积分区间是闭区间呀，这可不是随便说说的哟！就如同比赛要有明确的起点和终点一样呀！像如果是开区间，那可就不符合条件啦。
5. 被积函数得是个正经函数呀，不能乱七八糟的！这就好像交朋友，得是靠谱的人呀！比如一些奇奇怪怪没有规律的函数，可能就不满足条件咯。
6. 闭区间的两端点得是确定的呀，这可不能含糊！好比目的地得明确，不能模模糊糊的呀！像那种不确定端点的，肯定不行呀。
7. 函数在闭区间上不能有太多间断点呀，不然怎么能符合要求呢！这就像走路，不能老是有大坑小坑的阻碍呀！例如有很多间断点的函数，就不太行了。
8. 定积分中值定理的条件得都满足才行呀，少一个都不行呢！这就像搭房子，少一块砖都不牢固呀！想想看是不是这个道理呀。
9. 条件都具备了，定理才能发挥作用呀！就像汽车零件都齐了才能跑起来呀！要是缺这个少那个，那可就糟糕啦。
10. 这些条件都很关键呀，大家可一定要记住呀！别不当回事儿呀！就像记住重要的事情一样呀！比如在做题的时候，就得时刻想着这些条件呢。
我的观点结论就是：定积分中值定理的这些条件真的很重要，必须要严格遵守呀，不然就没法正确运用定理啦！。
定积分的极限定义
定积分的极限定义一、引言定积分是微积分学中的重要概念之一，它可以用于求解曲线下面的面积、质量、重心、弧长等问题。
在本文中，我们将介绍定积分的极限定义。
二、基本概念在介绍定积分的极限定义之前，我们需要先了解一些基本概念。
1. 区间区间是指由两个实数$a$和$b$确定的一段连续的实数集合，通常表示为$[a,b]$。
其中$a$称为区间的左端点，$b$称为区间的右端点。
2. 分割将一个区间$[a,b]$划分成$n$个子区间$[x_{i-1},x_i]$（$i=1,2,\cdots,n$），并且满足$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，则称这样的$n+1$个实数$x_0,x_1,\cdots,x_n$构成了一个分割。
3. 子区间长度对于一个分割$\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$，定义第$i$个子区间$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。
4. 上和与下和设$f(x)$是定义在区间$[a,b]$上的函数，$\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是$[a,b]$的一个分割。
则称$\Delta$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个分割，记作$\Delta[f]$。
对于一个分割$\Delta[f]$，定义它的上和与下和为：$$U(f,\Delta)=\sum_{i=1}^nM_i\Delta x_i,\quadL(f,\Delta)=\sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i$$其中$M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)$，$m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x)$。
显然有$L(f,\Delta)\leqslant U(f,\Delta)$。
5. 上积分与下积分设$f(x)$是定义在区间$[a,b]$上的函数，对于任意一个分割$\Delta[f]$，都有$L(f,\Delta)\leqslant U(f,\Delta)$。
定积分积分中值定理
定积分积分中值定理
小朋友，定积分积分中值定理这可真是个超级复杂的东西呀！不过别担心，让我这个小学生来试着跟你说一说。
你知道吗？就好像我们在分糖果，一堆糖果要平均分给几个小朋友。
定积分积分中值定理呢，就像是要在一个区间里找到一个“特殊的点”，让这个区间里的某个函数值乘以区间长度，就等于这个函数在这个区间上的定积分。
比如说，我们有一个函数f(x) ，在区间[a, b] 上。
就好像是在从a 到b 的这段路程上，这个函数一直在变化。
那定积分积分中值定理就告诉我们，在这段路程中，一定有那么一个特别的地方，这个地方的函数值乘以（b - a），就等于这个函数在这段路程上积累的“成果”。
有一次上数学课，老师讲这个定理的时候，我旁边的小明一脸懵，他悄悄跟我说：“这都是啥呀，我怎么一点儿都不明白！” 我当时也有点迷糊，心里想：“难道这比解那些超级难的数学应用题还难？”
后来老师给我们举了好多例子，就像计算图形的面积啦，计算物体运动的路程啦。
慢慢地，我好像有点懂了。
你说这是不是很神奇？就好像在一个神秘的数学世界里，有一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
我们学习数学，不就是在探索这些神奇的东西吗？虽然有时候会觉得很难，很头疼，但是当我们终于弄明白的时候，那种快乐和成就感，简直无与伦比！
所以说呀，定积分积分中值定理虽然一开始让人摸不着头脑，但是只要我们认真去学，去思考，就一定能掌握它，让它成为我们数学之旅中的好帮手！
（以上内容仅供参考，定积分积分中值定理对于小学生来说过于复杂和深奥，可能不太适合以小学生的视角来详细阐述。
）。
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第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009
智 轩
一、完整的积分中值定理包含下列全部内容
1．函数平均值 []()1b
a M f f x dx
b a
=-⎰ 2．第一中值定理
()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b
a a
b f x dx f b a ξξ∃≤≤⇒=-⎰。
（教材上的描述） ()2如果函数
()(), f x x ϕ在积分区间[]
,a b 上连续，且当a x b <<时，()x ϕ不变号，则
则()()()()b b
a
a
a b f x x dx f x dx ξ
ϕξϕ∃≤≤⇒=⎰⎰。
3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用）
()1若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调，则
()()()()()()00b
b
a
a
f x x dx a a f x dx b f d b x x ξξ
ϕξϕϕ∃≤-≤=++⇒⎰⎰⎰。
()2若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，
当且当a x b <<时，()x ϕ单调递减（广义上），且为非负数，则
()()()()0b a
a
a b f x x dx a f x dx ξ
ξϕϕ∃≤≤⇒=+⎰⎰。
()3若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调递增（广义上）
，且为非负数，则
()()()()0b b
a
a b f x x dx b f x dx ξ
ξϕϕ∃≤≤⇒=-⎰⎰。
二、与积分有关的求极限问题
【例1】求极限1
10lim 1n
n x I dx x
→∞=+⎰ 解：
110011010100111
lim 0
1n n n
n n n x x x x dx x dx x x n x
I dx x
→∞≤≤⇒≤≤⇒≤≤=
+++⇒==+⎰⎰⎰ 【例2】求极限2
20
lim sin n n I xdx π
→∞=⎰
解：
对任意给定的0ε>，且设2
πε<
，则
22
20
220
0sin sin sin 22sin 1lim sin 0
2220, sin 220sin 2lim sin 0
n
n
n n n n n n n xdx xdx N n N xdx I xdx π
π
ε
π
π
ππεεεεπππεεεππεεε
ε
-→∞
→∞
⎛⎫⎛⎫≤≤+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<⇒--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔∃>>--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⇒≤≤⇒==⎰⎰
⎰⎰当时， 有
【例3】求极限()3sin lim 0n p
n
n x
I dx p x
+→∞=>⎰ 解：当n x n p ≤≤+，有
3sin 1
sin sin lim 0n p
n p n
n n x x p
x dx I dx x n
x n x
++→∞≤⇒≤⇒==⎰
⎰
【例4】求极限1
4200lim 1
dx
I x εε→+=+⎰ 解：
(
)
(
)
)
11
42
2
00
00
1
00
lim lim
11
1arctan
lim arctan|lim1
d
dx
I
x
εε
εε
ε
→+→+
→+→+
==
++
===
⎰⎰
【例5】求极限
()
5
lim b
a
f x
I dx
x
ε
ε
ε→+
=⎰，已知()[]
0,1, 0, 0
f x C a b
∈>>。
解：应用第一中值定理
()
()()
()
()()
5
00
ln
lim lim ln0ln
b b
a a
b
a
f x dx b
a b dx f f
x x a
f x b b
I dx f f
x a a
εε
εε
ε
ε
εε
εξεξξ
ξ
→+→+
∃≤≤⇒==
===
⎰⎰
⎰
【例6
已知()[)
0,
f x∈+∞和()
lim
x
f x A
→+∞
=，求证()
1
lim x
x
f x dx A
x
→+∞
=
⎰。
证明：分三种情况
()10
A>
()()
()()()()()()
()
()
()
0000
lim0,
2
22 lim
1
lim lim
1
x
x R x R x R
R R
x
x
x
x x
A
f x A R x R f x
A A
f x dx f x dx f x dx f x dx dx f x dx x R
f x dx
f x
f x dx A
x
→∞
→+∞
→+∞→+∞
=⇒∃>>>
⇒=+>+=+-
⇒=+∞
⇒==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
当时，
()20
A<
()()()()()()()()()()()0
00
0lim 0, 2
22
lim
1lim lim 1
x x
R
x
R
x R R
R
x
x x
x x A f x A R x R f x A A
f x dx f x dx f x dx f x dx dx f x dx x R f x dx f x f x dx A x →+∞
→+∞→+∞→+∞=⇒∃>>>
⇒=+>+=+-⇒=-∞
⇒==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰当时，
()3
0A =
()()()()()()()()00000,lim lim 0
1lim 111lim lim 0x x x
x x x x x x B g x f x B g x f x B B g x dx B x
f x dx
g x dx Bdx B B A x x →+∞
→∞
→+∞→+∞→+∞>=+⇒=+=>⎡⎤⎣⎦⇒=⎡⎤⎣⎦⎡⎤⇒=-=-==⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰任选并设 的结论
所以 ()()01lim lim x
x x f x dx f x A x →+∞→+∞
==⎰
【例7】宽型罗毕达法则举例 求601lim arctan x
x I xdx x
→+∞=⎰ 解：
601lim arctan lim arctan 2
x x x I xdx x x π
→+∞→+∞===
⎰。