数学三试题考研数学真题及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（三）
一 填空 (1)()11lim _________n
n n n -→∞
+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
(2)设函数()x 2f x =在
的
某领域内可导,且()()
(),21f x f x e f '==,则
()2_________f '''=
(3)设函数()f u 可微,且()1
02
f '=
,则()224Z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2_________dz
=
(4)设矩阵2112A ⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
,E 为2阶单位矩阵,矩阵E 满足BA=B+2E,则_________B =
(5)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则
(){}max ,1_________P X Y ≤=
(6)设总体X 的概率密度为()()121,,, (2)
x
n f x e x x x x -=
-∞<<+∞为总体的简单随机样本,其样本方差2
S ,则E 2
S =__________
二 选择题
(7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()()0,0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点0x 处的增量,y dy ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 ( )
(A)0dy v <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<< (D)
0dy y <∆<
(8) 设函数()f x 在x=0处连续,且()22
lim
1n f n n →=,则
(A)()()'000f f -=且存在 (B)
()()'010f f -=且存在
(C)()()'000f f +=且存在 (D)
()()'010f f +=且存在
(9) 若级数
1n
n a
∞
=∑收敛,则级数 ( )
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛
(B)
()
11n
n n a ∞
=-∑收敛
(C)
1
1n n n a a
∞
+=∑收敛
(D)
1
1
2n n n a a ∞
+=+∑收敛 (10) 设非齐次线性微分方程()()x x y P y Q '+=有两个的解()()12,,y x y x C 为任意常数,则该方程通解是:
(A)()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦收敛 (B)()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦收敛 (C)()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦收敛 (D)()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦收敛
(11) 设()(),,f x y x y ϕ与均为可微函数,且(),0y x y ϕ'≠,已知()00,x y 是(),f x y 在约束条件(),0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是 ( )
(A) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''==则 (B) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''=≠则 (C) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''≠=则 (D) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''≠≠则
(12) 设125,,......∂∂∂,均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列正确的是 ( )
(A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (B) 若125,,......∂∂∂相关,则125,......A A A ∂∂∂无关 (C) 若125,,......∂∂∂无关,则125,......A A A ∂∂∂相关 (D) 若125,,......∂∂∂无关,则125,......A A A ∂∂∂无关
(13) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B,再将B 得第一列得-1倍加到第2
列得C,记110010001P ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,则
(A)1C P AP -= (B)1C PAP -= (C)T C P AP = (D)
T C PAP =
(14) 设随机变量X 服从正态分布()2
1
1
,N
μσ,随机变量Y 服从正态分布()22
2
,N μσ,
且{}{}
1211P X P Y μμ-<>-<,则必有( )
(A)12σσ<
(B)12σσ> (C)12μμ< (D)
12μμ>
三 解答题
(15) 设()1sin
,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→ (16)
计算二重积分
D
,其中D 是由直线,1,0y x y x ===,所围成的平面
区域.
(17) 证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时.
(18) 在XOY 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0,M 其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线低斜率与直线OP 的斜率之差等于(>0)ax a 常数
(Ⅰ) 求L 的方程:
(Ⅱ) 当L 与直线y=ax 所围成平面图形的面积为
8
3
时,确定a 的值. (19) 求幂级数()()
1
211121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x . (20)
设4
维
向量
组
()()()1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,T
T
T
a a a ∂=+∂=+∂=+()44,4,4,4T
a ∂=+问a 为
何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关?当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
(21) 设3 阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量
()()121,2,1,0,1,1T T
αα=--=-
是线性方程组Ax=0的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量
(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得T
Q AQ A =。

(Ⅲ)求A 及6
3()2
A E -
,其中E 为3阶单位矩阵. (22) 设随机变量X 的概率密度为()1
,1021,02,4
0,x x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩
其它()2
,,Y X F X Y =令为二维
随机变量(),X Y 的分布函数,求:
(Ⅰ) Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ) ()cov ,X Y (Ⅲ)1,42F ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
(23) 设总体X 的概率密度为(),01,1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪
=-≤<⎨⎪⎩
其它,其中θ是未知参数
()1201,,,......n X X X θ<<为来自总体的随机样本,记
N 为样本值12,,......n X X X 中小于1
的个数,求:
(Ⅰ) θ的矩估计。

(Ⅱ) θ的最大似然估计.。