5、幂函数图像与性质资料
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
幂函数的图像及性质
函数，∴由 (a ?1)3 ? (3? 2a)3 ，得a-1<3+2a 即a>-4 .
∴所求a的取值范围是 (－4，＋∞)．
幂函数的图像及性质
【变形训练】
1、已知幂函数 y ? (mm2 ? ? 1)xm2?2m?3 ，当x∈
(0，＋ ∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么 ？奇偶性如何？单调性如何？
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为 (0，＋∞)， ∴函数 f(x) 在[1，＋ ∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为 f(1)＝2.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2、已知幂函数 y=xp-3 (p∈N*）的图象关于 y轴
对称，且在 (0，＋∞)上是减函数，求满足
p
p
(a ? 1) 3 ? (3 ? 2a ) 3 的a的取值范围 ．
解：函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如
下：
任f(x取1)－x1、f(xx22)∈＝(0x，212 ＋? x∞222)，? 且2(xxx21122<?xx2x22，12)
?
2(x1
? x2)(x2 x12 x22
?
x1)
幂函数的图像及性质
【典型例题】
∵0<x 1<x2，∴ x1＋x2>0，x2－x1>0， x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 .
解：∵函数 y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p －3<0，即 p<3 ，
又∵ p ∈N*，∴ p ＝1，或 p ＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于 y轴对称，∴ p－3是偶数，
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
幂函数的性质与图像
⑥ k 0时， 在(0,)上是减函数。（双曲线型）
结论
幂函数 y xk （ k 为常数， k Q ）图像在第一象限的特点:
y xk
定点 线型
k 1
(1,1) ， (0,0) 举手型
k 1
(1,1) ， (0,0) 直线
0k 1
(1,1) ， (0,0) 眉毛型
k 0 (1,1)
直线
k0 (1,1)
双曲线
单调性 (0,)递增
(0,) 递增
(0,) 递增
当 k 0时，都过 (1,1) ， (0,0) ， (0,) 递增
(0,) 递减
四、巩固练习
1、分别作出下列函数在第一象限内的图像：
1
① y x3
一、幂函数的概念
一般地，函数 y xk （ k 为常数， k Q ）叫做幂函数。
注意：幂函数的底数是自变量x，系数是1，指数k是有理数。
例：下列各式中表示幂函数的有
1
A、 y 3x 2
B、 y xx
CEFH
2
C、 y x 3
E、 y 7 x4
F、 y x0.5 G、 y x 2
。
D、 y 2x H、 y x0
思考
能确定幂函数 y xk（ k 为常数，k Q ）的定义域么？
幂函数的性质是由 k 的取值决定的。
二、幂函数性质研究
研究几个熟悉的幂函数
f x x ， g x x1 ， h x x2 它们有什么特点？
例题
5
1.研究函数 y x3 的性质，并作第一象限内的图像。
2
2.研究函数 y x3 的性质，并作第一象限内的图像。
幂函数九个基本图像
幂函数九个基本图像幂函数的图像和性质图表幂函数的图像：幂函数的性质：一、正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；二、负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
三、零值性质当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。
它的图像不是直线。
扩展资料一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
参考资料：百度百科—幂函数幂函数的图像和性质幂函数是基本初等函数之一。
一般地，y=xα（α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0时x≠0）等都是幂函数。
幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时，定义域为(0，+∞) ），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。
特别，当n=1时为整数指数幂。
正值性质当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都经过点（1,1）（0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；负值性质当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。
幂函数图像和性质
x0
减减
奇
(0, 0)
y0
(0, ) (0, )
减函数
减减
偶
y轴 (1,1) 一二
无 无
(1,1)
一三
(1,1)
一三
(1,1)
一
(-2,4)
4
y=x3 (2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
1、所有幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象 都通过点(1,1). 2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数. 3、α为奇数时,幂函数为奇 函数, α为偶数时,幂函数为偶 函数.
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
1 2
1 2
则求m的取值范围.
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
小结： 幂函数的性质:
不要等失去的时候才知道珍惜；不要等 后悔的时候才知道做错；不要等争吵的 时候才知道和解；不要等错过的时候才 知道回头；不要等成绩出来的时候才知 道后悔；人生是有限的，不要留下太多 的等待，时间最宝贵；把握好现在的时 光，让生命活得更精彩！
一般地，我们把形如 y x 的函数 称为幂函数，
a
其中 x 是自变量， a 是常数； 注意：幂函数与指数函数的区别．
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1); 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
幂函数、指数函数、对数图像及性质
质
x>1时, y>0
x>1时, y<0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
x
小
x
指数函数的图象和性质 y a
图 象 性 值域:
y
x
(a 0且a 1)
a>1
y 1 o
0<a<1
1 o R (0,&#义域:
过定点: 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1, 当x<0时，y>1. 质 当x<0时，0<y<1. 单调性：是R上的增函数 单调性：是R上的减函数 奇偶性： 非奇非偶 奇偶性： 非奇非偶
1. 幂函数的图像
y x, y x , y x ,
2 3
y
y x , y x
的图象.
1 2
y x3 y x2 y x
1
yx
1
1 2
yx
1
O1
y x 2
x
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，
并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a＞0，则幂函数图象过原点， 并且在区间 [0,＋∞)上是增函数；
3、对数函数的图像
y log2 x y log0.5 x y lg x
y log0.1 x
1
对数函数的图象和性质
a>1 图 象
o y (1, 0) x
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数图像及性质总结：对任意实数，有|其中，是一个整系数多项式；分别表示 x 的函数，它们是奇函数。
那么，这些系数和就称作二次函数的解析式。
因此，上述公式也可写成如下形式：，故得到常见的二次函数解析式（这里假设两边取常量）。
对于任何的正整数 n，二次函数都有一种特殊的、唯一确定的表达式，称为该正整数的函数表达式。
在大部分情况下，所谓的“初等函数”即指这类特殊的函数。
当然，并非所有的函数都具备这样的性质。
其中，表示第 k 个正整数的 n 次方，表示与它相乘后的积。
由幂的定义知道：令，则：可得出，它又可以看作是积的三角函数，且：根据定义，当时，有当时，同理。
又因为幂函数的底数只能是整数或正整数，故实际上，只要是整数，我们都能找到某个幂函数的一种对应关系，使之转化为的一种表达式。
从而也证明了积与有一种特殊的联系。
令，则函数变为，积变为，我们将积的对应系数称作被乘积的幂函数。
对于正整数 m，存在 k 个自然数，使得：此外，若能够给出幂函数解析式中的整数部分，就可以把整数表达式中的一般式移项，最终得到幂函数解析式。
换句话说，如果已知整数的幂函数解析式，我们通过计算就可以求出整数的值。
这样做会比较繁琐，但事实上，利用这种思想还是很容易得出整数解的。
另外，运用幂函数也可以计算与实数的乘积。
一个重要的原因是它很简单。
不妨以下面的三角函数为例，说明幂函数解析式与指数函数解析式之间的联系。
因为，，所以它也必须满足；令，得到。
进而得到；再者，，所以。
即它是。
由前面的几点，我们可以归纳出指数函数与幂函数的对应规律。
幂函数有许多性质：在许多场合都会遇到某个函数，但求出它的对应系数却十分困难，需借助一些常见的解析式来判断；还有，很多复杂函数的解析式也往往含有它的对应系数；更甚至，当你尝试去求某个指数函数的对应系数时，发现竟无法列举出可靠的对应系数。
幂函数与指数函数的互逆定理则为这些问题提供了完美的答案：已知：对任意实数，，且对于任意的实数，均有。
幂函数的性质与变化规律
幂函数的性质与变化规律幂函数是高中数学中的重要概念之一，它具有独特的性质和变化规律。
本文将介绍幂函数的定义和图像特点，并探讨幂函数的性质及其变化规律。
一、幂函数的定义和图像特点幂函数是形如f(x) = ax^n的函数，其中a为常数，n为指数，且a ≠ 0。
特别地，当n为正整数时，我们称其为正整数幂函数；当n为负整数时，我们称其为负整数幂函数。
幂函数的图像特点主要体现在以下几个方面：1. 当n为正整数时，幂函数的图像呈现出两种不同的变化规律：（1）当a > 0时，幂函数图像从第三象限的原点出发，向右上方逐渐拉长，经过第一象限，逐渐趋近于x轴正半轴。
（2）当a < 0时，幂函数图像同样从第三象限的原点出发，但在第二、四象限经过x轴正半轴的点，逐渐趋近于x轴负半轴。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像呈现出另一种变化规律：幂函数的图像在x轴正半轴的点(x, 0)上，有n个切点（n为负整数的绝对值），即幂函数的图像与x轴的交集点为x1, x2, ..., xn，其中xi < xi+1。
在切点x = xn的左侧，幂函数的图像在x轴上是增函数，在切点x = xn的右侧，幂函数的图像在x轴上是减函数。
二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为全部实数集，即Df = (-∞, +∞)。
对于正整数幂函数和负整数幂函数，其值域均为正实数集R+。
2. 奇偶性：当指数n为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，为偶函数；当指数n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，为奇函数。
3. 单调性：当指数n为正时，幂函数在定义域内是单调递增的；当指数n为负时，幂函数在定义域内是单调递减的。
4. 渐近线：当指数n大于1时，幂函数的图像与x轴无交点，且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋于正无穷或负无穷，没有水平渐近线或斜渐近线。
只有当指数n小于1时，幂函数的图像与x轴有一个或多个交点，并且当x趋于正无穷或负无穷时，幂函数的图像趋近于x轴正半轴，即有水平渐近线。
高一数学上册幂函数的性质与图像知识点
高一数学上册幂函数的性质与图像知识点高一数学上册幂函数的性质与图像知识点幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
下文是高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读!定义:形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质:对于a的.取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
幂函数图像与性质
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 这里p是w的函数
yx
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S a2
这里S是a的函数
y x2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V a3
这里V是a的函数
y x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
-2 α为偶数时,幂函数为偶函数.
3、在第一象限内，
-3
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
题型：关于定义
例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数？
(1) y x4
(2) y
1 x2
(3) y x2
(4) y 2x2 (5) y x3 x (6) y 1x x 0
3，1 ，-1时的情形。
2
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
x … -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 … y=x3 … -1 -1/8 0 1/8 1 27/8 8 …
x … 0 1/4 1 2 3 4 …
幂函数：(1)(2) yy1x0 (6)
幂函数图象及其性质
1.7
，∴ 1 1.52
1
1.7 2
（ 2 ） ∵ y x3 在 R 上 是 增 函 数 ， 1.2 1.25 ， ∴
(1.2)3 (1.25)3
（ 3 ） ∵ y x1 在 (0,) 上 是 减 函 数 ， 5.25 5.26 ， ∴
Where there is a will,there is a way.
幂函数 y＝xα 有下列性质：(1)单调性：当 α
＞0 时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当 α＜0
时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂
函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶
函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．
例
3．已知幂函数
y
（ xm2 2m3
mZ
）的图象与
x
轴、
y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m 的值．
B．y x3
C．y 2x
D．y x1
答案：C
例 2．已知函数 f x m2 m 1 x5m3 ，当 m 为何值时， f x： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是 0, 上的 增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；
（5）是二次函数；
简解：（1）m 2 或 m 1（2）m 1（3）m 4（4）m 2
幂函数图象及其性质
幂函数图象及其性质
幂函数的图像与性质
1、幂函数的定义 形如 y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中 x
是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的
位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数
函数的自变量在指数位置。
例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．y x
幂函数图像的性质定义_幂函数的解析式_幂函数的单调性和奇偶性
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数指数函数对数函数的图像和性质在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。
首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,aeq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。
接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也是一种以连续变量为参数的可导函数。
最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。
接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。
以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。
高中数学一轮复习课件：幂函数的图像和性质
1 1 考纲要求 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ x，y＝x2的 2 3
图象，了解它们的变化情况. 1.常以 5 种幂函数为载体，考查幂函数的图象及 热点提示 性质； 2．多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他 知识结合在知识交汇点处命题.
• 1．幂函数的定义 y＝xα(α∈R) • 一般地，形如 的函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常 数．对于幂函数，一般只讨论α＝1,2,3，， －1时的情形．
1 1 2 1 －1 －2 －1 解析：y＝x2＝x ，y＝x ＝2x ，y＝x ＝x ，y＝ x＝x2，y
＝ x－1＝(x－1)2，y＝1≠x0(x≠0)． 可见只有 y＝x ，y＝x ，y＝x2是幂函数．
－2 －1
1
1
• 答案：C
• 【例2】 右图是幂函数y＝xm与y＝xn在 第一象限内的图象，则 ( ) • A．－1<n<0<m<1 • B．n<－1,0<m<1 • C．－1<n<0，m>1 • D．n<－1，m>1
解：(1)若 f(x)为正比例函数，则
m2＋m－1＝1， 2 m ＋2m≠0
⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则
m2＋m－1＝－1， 2 m ＋2m≠0
⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则
m2＋m－1＝2， 2 m ＋2m≠0
－1± 13 ⇒m＝ 2
(m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的 (2)若该函数还经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条 件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围．
51 幂函数的图像和性质同步(学生版)
高一同步课程“幂级数的图像和性质同步”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲内容：幂函数的定义、幂函数的图像、幂函数的性质掌握目标：会画几类基本幂函数的图像、了解幂函数的单调性及奇偶性分析、了解几类幂函数变形后的函数形式。
考试分析：幂函数的图像与性质是高考及其它考试的一个基本考察点，与指数函数、对数函数这几类高中接触的基本函数经常作区分性的考察。
知识梳理知识梳理1. 幂函数的定义和图像1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2. 幂函数的性质：（1）都过原点；（2）任何幂函数都不过第四象限；（3）当0α>时，幂函数的图象过（1,1）．3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于原点对称．知识梳理2. 幂函数性质1. 幂函数图像和性质列表函数特征性质xy=2xy=3xy=21xy=1-=xy2．幂函数与图像平移函数()a y x m =+的图象可由幂函数ay x =的图象平移得到。
当0m >时，只需把a y x =的图象向左平移m 个单位；当0m <时，只需把a y x =的图象向右平移m个单位。
函数a y x n =+的图象可由幂函数ay x =的图象平移得到。
当0n >时，只需把ay x =的图象向上平移n 个单位；当0n <时，只需把a y x =的图象向下平移n 个单位。
例题精讲【试题来源】【题目】写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）3y x = （2）12y x = （3）2y x -= （4）22y x x -=+（5）1122y x x -=+ （6）1124()3()f x x x =+-【试题来源】【题目】下列函数中不是幂函数的是（ ） 【选项】Ａ．y x = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1yx -=图象定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇 单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)【试题来源】【题目】讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．【试题来源】【题目】下图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．【试题来源】【题目】已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________【试题来源】 【题目】已知12(21)2(),()a a f x xg x x--==，且11()()22f g >，则实数a 的取值范围是_______【试题来源】【题目】把函数14(2)1y x =+-沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上2个单位，得到的图象对应的解析式为______________【试题来源】 【题目】已知5()f x x =，且2ab =，则下列性质正确的是③ ()()f a f b +是定值②()()f a f b 是定值③()()f a f b 是定值④()()f a f b -是定值习题演练【试题来源】 【题目】已知函数3()f x x =，则(2008)(1004)f f 的值为【试题来源】【题目】下列不等式关系正确的是 ③ 5232-<- ②3221-<- ③5232+>+④2265<-【试题来源】【题目】若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )＝________【试题来源】【题目】设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________【试题来源】【题目】已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表： 则不等式f (|x |)≤2的解集是________．【试题来源】【题目】函数11y x =+的对称中心是（ ） 【选项】A (0,0) B (1,0)C (1,0)-D (0,1)x 1 12 f (x )122【试题来源】【题目】已知f(x)＝x 12，若0<a<b<1，则f(a)、f(b)、f⎝⎛⎭⎫1a、f⎝⎛⎭⎫1b的大小关系为__________________．(从小到大排列) 【试题来源】【题目】如图3，曲线是幂函数y xα=在第一象限的图象，已知α可取14,4±±，则对应于曲线2C的α值为【试题来源】【题目】对于函数y＝x2，f(x)＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．【试题来源】【题目】下列不等式关系正确的是③335226-<-②5331->-③2312-<-④102237-<-【试题来源】 【题目】已知函数23()f x x =，且两个正数,a b 满足()()4f a f b ⋅=，则a b +的最小值为_____________【试题来源】【题目】分别指出幂函数y x α=的图象具有下列特点之一时的α的值，其中111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---（1）图象过原点，且随x 的增大而上升；（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随x 的增大而下降； （3）图象关于y 轴对称，且与坐标轴相交； （4）图象关于y 轴对称，但不与坐标轴相交； （5）图象关于原点对称，且过原点； （6）图象关于原点对称，但不过原点；【试题来源】【题目】如果幂函数21322(x)x(p Z)-++=∈p p f 是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式【试题来源】【题目】已知幂函数图象过点（2，4），则幂函数的解析式为 __________【试题来源】【题目】若f （x ）是幂函数，且满足)2()4(f f =3，则f （21）=（）A.3B.-3C.31 D.-31。
幂函数图象及其性质--完整版
幂函数的图像与性质一、根式与有理数指数幂1、根式（1（2①②2（1③0（2①②③二、幂函数1、幂函数的定形如()ay x a R =∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数 已知函数()()2531m f x m m x--=--，当m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数； （2）是正比例函数； （3）是反比例函数； （4）是二次函数；练习：已知函数221()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数 （2）反比例函数（3）二次函数 （4）幂函数三、幂函数的图像幂函数ay x =的图象由于a 的值不同而不同． 1、幂函数ay x =的图象（部分图像）2、单调性：（只研究第一象限的单调性）当0a >时，图象过原点和()1,1，在第一象限的图象上升，故函数在第一象限单调递增；当0a <时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，故函数在第一象限单调递减； 3、幂函数的奇偶性 （1）当a 是整数如果a 是偶数，则幂函数的为偶函数 如果a 是奇数，则幂函数的为奇函数 （2）当a 是分数(,,,a q qy x a p q N p p*==∈为最简分式）的图象备注：当a 是分数时，幂函数的奇偶性没有统一性，由具体情况才能判断。
4、幂的大小与函数图像的关系 总结：在直线1x =右侧，图像越靠近x 轴，幂越小；练习、右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）()A a b c d>>>()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>题型分析：一、求定义域 1、函数23-=x y 的定义域为 .2、函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域3、求函数25y x =的定义域练习：1、若a 21＜a21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 2、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，求则a 的取值范围二、单调性1、函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -=三、判断下列函数的奇偶性 1、已知幂函数23-=xy ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 2、已知幂函数25y x = ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 3、已知幂函数f(x)=x 322--m m（m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性xOy ay x=by x = cy x=幂依次减小四、比较大小1、比较下列各组中两个数的大小： （1）535.1，537.1； （2）0.71.5，0.61.5； （3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．练习：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.52、已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =； （３）()()f x g x <．综合训练1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．32、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（1，0）3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）A ．(0,+∞)B ．[0,+∞)C ．RD ．(-∞，0)U (0,+∞)4．若幂函数()af x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ）A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定 6．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定 9、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝dx 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A 、d ＞c ＞b ＞aB 、a ＞b ＞c ＞dC 、d ＞c ＞a ＞bD 、a ＞b ＞d ＞c10、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝ax 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0bx cx11、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）指数函数、对数函数、幂函数综合小练习1、函数41lg)(--=x xx f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．(－∞，1)∪(4，＋∞) C ．[1，4) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2、以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23、设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ）(A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<5、已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．c a b 222>>B ．cb a 222>> C ．abc222>> D ．bac222>> 6、函数12log (32)y x =-（ ） A.[1,)+∞ B. 23(,)+∞ C.23[,1] D. 23(,1]7、已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点 A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41C ．21-D ．218、若函数()1(01)xf x a b a a =+->≠且的图像经过二、三、四象限，则一定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且 9、已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21 10、函数y ＝lg|x| （ ）A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 11、函数3)4lg(--=x x y 的定义域是12、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________13、若函数f(x) = 1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________.14、若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a = ．。
幂函数的概念,图象与性质
2、函数 y x 的 图像和性质
2
定义域：
R
值 域： [0,)
奇偶性：在R上是偶函数
在(,0]上是减函数
单调性： 在[0,)上是增函数
3、函数 y x 的 图像和性质
3
定义域：
值 域：
R R
奇偶性： 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
4、函数 y x 的 图像和性质
y x3
y x2
yx
yx
1 2
y x 1
幂函数f(x)=xa ,f(x)=xb ,f(x)=xc, f(x)=xd, 在第一象限的图象如图所示，则a,b,c,d的大小关系 是（ ）
例4
(A)a>b>c>d (B)d>b>c>a (C)d>c>b>a (D)b>c>d>a
答案：D
1 2
定义域： [0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数 在 单调性： [0,)上是增函数
5、函数 y x 的 图像和性质 定义域：{x x 0} 值 域：{x x 0}
在 奇偶性： {x x 0}上是奇函数
1
单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
1 log 2 2 2 1
2
f ( x) x
总结:
(1) 理解并掌握形如y=xa的形式就是幂函数的定义 (2) 充分理解并掌握幂函数的性质和特征
例2
试比较 0.96 , 0.95 ,
3 3 3 3
0.95 , 0.96
3
的大小.
解： 3 0， f ( x) x 3在第一象限是增函数. 而f ( x) x 是奇函数 f ( x) x 在第三象限也是增函数
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α<0
例2 ： 例 1.证明幂函数f ( x)
x在[0,)上是增函数.
证明: 任取x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2 -8 /
-1 -1 /
y 8
0 0 0
1 1 1
2 8
2
3 27
4 … 64 …
3
2 …
y=x3
6
4 2
y=x
1 2 3 4 x
1 2
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6 -8
函数 y x 的图像
3
定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
1 2
定义域：[0,) 值 域：[0,) 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
1 2
R R 奇函数
yx 0 （0，+） ， 0 （0，+） ，
奇函数
1
奇偶性 奇函数
在（－∞,0] 在R上 在(0，+∞) 在( －∞,0)， 在R上 上是减函 是增函 上是增函数 (0, +∞）上是 单调性 是增函 数，在(0, 减函数 +∞）上是 数 数 增函数 公共点 （1，1）
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
因为0 x1 x2 , 所以x1 x2 0, x1
x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x ) x在[0,)上的增函数 .
例3 若 m 4
1 2
3 2m ,
1 2
1 2
则求m的取值范围.
解 : 幂函数f ( x) x 的定义域是(0, ) 且在定义域上是减函数, 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围. 3 2
（幂函数）
yx
1
y 5
5
x
（幂函数）
（指数函数）
y 3
x
y x
（幂函数）
（指数函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，
1 -1时的情形。 2
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
yx
2
a
2
yx
y x
1 2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V
a
3
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a 度
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1); 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
α>1 a=1
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
0<α<1
如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
y=x 2
2
1
(-1,1)
-4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
练习：利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
(3)
2.5
5
与 2.7
5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
V
S
yx
km / s
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速
t
1
y x
1
幂函数的定义：
一般地，函数 y x 叫做幂函数 为 (power function) ，其中x为自变量， 常数。
注意： （1）幂函数的解析式必须是
yx
的形式，
前的系数必须是 1，没有其它项。 x
yx
(-2,4)
2
4
yx
3
3
(2,4)
y=x
2
yx
(1,1)
2 4 6
1 2
(-1,1)
1
yx
-4
1
-2
(-1,-1)
-1
-2
-3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
1、所有幂函数在(0，+∞) 上都有定义，并且图象 都通过点(1,1). 2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数. 3、α为奇数时,幂函数为奇 函数, α为偶数时,幂函数为偶 函数.
（2）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比：
名称 式子 指数函数: y=a
（a>0且a≠1)
x
常数 a为底数 α为指数
x
指数 底数
y
幂值 幂值
幂函数: y= xα
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
快速反应
y 0.2
x
yx
1 2
（指数函数）