1概率统计第一章第一节
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概率统计基础知识--简略版
（a）A-B
（b）A-B（ A B ）
事件运算性质：
—— 交换律：A B B A ，A B B A —— 结合律 A B C A B C 运算相同：
A B C A B C
—— 分配律 A B C A B A C 运算不同：
事件H=“两次抽到的结果一致” ={(0,0), (1,1)} 若这批产品10000件中合格品与不合格品各占一半，且产品分布均匀随机，则 • P（A）=？ • P（B）=？ • P（C）=？ • P（H）=？ 若批产品总数10000件中不合格品有2000件，结果会怎样呢？
2016/4/16 中级概率1 19
在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不 相容。
可推广到三个或更多个事件间的互不相容
—— 相等：A=B即AB且B A 两个随机事件A与B，若样本A与B含有相同的 样本点，则称事件A与B相等。
投掷骰子2次：A={（x，y）：x + y =奇数} B={（x，y）：x与y的奇偶性不同} 则： A=B= (1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5) (3,2),(3,4),(3,6)…
2016/4/16
中级概率1
25
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出）
—— 性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；
—— 性质2： P ( A) 1 P ( A)
—— 性质3：若AB 则P（A-B）=P（A）-P（B）
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出） —— 性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）
理学概率统计随机向量
P
(X
xi ,Y
y
j
)
P
X
xi ,
P(X xi
j
,Y
(Y
y yj)
j
)
j
j
pij (i 1, 2,...)
j
此为概率分布表中第i行的概率之和
Y的分布律为:
P（Y
yj)
P(,Y
yj)
P
(X
xi ),Y
yj
P
(X
xi ,Y
yj )
i
P（X xi ,Y y j )
i
i
例4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
ke(2x3y) , x 0, y 0,
0,
其他.
(1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；
（3）求P{X<Y}.
解 (1) 1 =
f (x, y)dxdy
ke (2x 3y)dxdy
0
0
= k e2xdx e3ydy
X1
Y
1 0.1 20 3 0.1 40
2
3
0.3
0
0
0.2
0.1
0
0.2
0
求P{X＞1,Y≥3}及P{X=1}. 解: P{X＞1,Y≥3}=P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}
+P{X=3,Y=3}+P{X=3,Y=4} =0.3；
P{X=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}
解 （1）圆域x2+y2≤4的面积A=4π，故（X，Y）的概率
密度为
f（x，y）=
概率第一章
1.2.1 基本事件空间与事件
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行。
1-4
概率论与数理统计
E
随机试验：不能事先准确地预见它的
结果，而且在相同条件下可以重复进行用 符号 E 表示。 随机事件 ：在条件下事件可能发生也 可能不发生的事件用大写字母 A , B , C ,表
指出
件，并表示事件 1-9
事件中哪些是基本事 B, C, D
。 概率论与数理统计
E
1.2.2 事件间的关系与运算
1．事件的包含与相等 若事件 A 中的每个基本事件都包含在 B
A
事件 B 之中，即 A 的发生必然导致 B 的发
生，则称事件 A 包含于事件 B ，或事件 B
包含事件 A ，也称是的特款 ，记为 A B 。
1-19
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.2.4 化简下列各事件：
(1) ( A B)( A B) ; (2) AB AB BC; (3) ( A B)( A B)(B C ).
(2) AB AB BC;
(3) ( A B)( A B)(B C ).
例1.3.1 设事件A, B 的概率分别为 和
，试求下列三种情况下的值： （1） B 互不相容； A, （2） A B ； （3） ( AB ) 1 . P
8
1 3
1 2
1-27
概率论与数理统计
E 与B B)( A与 A与B 如果事件A与事件B A A (1) (B 的和 A B) ;
概率论第一章 概率论的基本概念
P( A1 A2 An ) = P( A1) P( A2) P( An ).
概率的有限可加性
证明 令 An1 = An2 = = , Ai Aj = , i j, i, j = 1,2,.
由概率的可列可加性得
P(A1
A2
An )
=
P(
Ak
)
=
P( Ak ) =
n
P( Ak ) 0
概率论
第一章 概率论的基本概念
第一节 随机试验 第二节 样本空间、随机事件 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型(古典概型) 第五节 条件概率 第六节 独立性
概率论
第一节 随机试验
几个具体试验 随机试验 小结
概率论
上一讲中，我们了解到，随机现象有其偶 然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然 性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有 规律性，称为随机现象的统计规律性.而概率 论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.
nH
f
22 0.44
n = 500 nH f
251 0.502
15124
123 4 5 6 7
随3 n的增0.6大, 频率25 f 呈现0.5出0 稳定24性9 0.498
0.2 21 0.42 256 0.512
1.0
25 0.50 247 0.494
ห้องสมุดไป่ตู้
0.2
24 0.48 251 0.502
0.4
(3) 若 A1, A2, , Ak 是两两互不相容的事件,则 f ( A1 A2 Ak ) = fn( A1) fn( A2 ) fn( Ak ).
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
概率论与数理统计 第一章 1.3等可能概型
C1C1 + C1C1 = 9⋅ 3 + 3⋅ 9 = 54 . 9 3 3 9
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为
概率论
54 3 P(C) = 2 = . 所以 8 12 (2) 采取不放回抽样.
从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12⋅ 11 . ⋅
⋅ 即样本空间中所含有的基本事件总数为 12⋅ 11 . 1 1 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 C9C8 = 9⋅ 8 . 9⋅ 8 6 = . 所以 P( A) = 12⋅ 11 11 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 C1C1 = 9⋅ 3 . 9 3 9⋅ 3 9 所以 P( B) = = . 12⋅ 11 44
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
我们用 i 表示取到 i 号球， 号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
如i =2
2
S={1,2,…,10} ,
且每个样本点(或者说基本 且每个样本点 或者说基本 事件)出现的可能性相同 事件 出现的可能性相同 . 称这样一类随机试验为古 称这样一类随机试验为古 典概型. 典概型
乘法原理
概率论
完成某件事情需先后分成m个步骤 做第一步有 完成某件事情需先后分成 个步骤,做第一步有 1 个步骤 做第一步有n 种方法,第二步有 种方法,依次类推 第二步有n 依次类推,第 步有 步有n 种方法 第二步有 2种方法 依次类推 第m步有 m种方 特点是各个步骤连续完成. 法,特点是各个步骤连续完成 特点是各个步骤连续完成 则完成这件事共有N=n1×n2×…×nm种不同的方法 则完成这件事共有 × 种不同的方法,
即样本空间中所含的基本事件数为122 . C1C1 = 92 . 事件A 事件 中所含有的基本事件数为 9 9 92 9 = 2 = . 所以 P( A) 12 16 C1C1 = 9⋅ 3 . 事件B 事件 中所含有的基本事件数为 9 3 9⋅ 3 3 所以 P( B) = 2 = . 16 12 事件C 事件 中所含有的基本事件数为
概率与统计课件(一)概率论的基本概念
2
0
A B
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事
件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B. 事件A1，A2，…An 的和记为 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
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表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共
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例1.27 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机 取巧，随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？
解 设B=“他至少填对6道”.每答一道题有两个可能的 结果：A=“答对”及 =“答错”，P（A）=1/4，故 作10道题就是10重贝努里试验，n=10，所求概率为
定义1.2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时, 频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数 n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的 概率，记为 P ( A) p
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2、概率的公理化定义
定义1.3
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概率的性质：
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解 设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间， B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本 空间Ω的一个划分，且有 P（A1）=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2， P(B｜A1)=0.04，P(B｜A2)=0.02，P(B｜A3)=0.05.
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第三节 条件概率、全概率公式
1、条件概率的定义
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• 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{bb,bg,gb,gg} • （1）事件A=“家中至少有一个女孩“发生的概率？ • (2)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”，再求事 件A发生的概率？ •
概率论课件 第一节 随机试验与随机事件
-5
•
D C A
0
•
3
•
9
•
20
•
概率统计
-5
•
D = { x x < −5 }, E = { x x ≥ 9 }
由图可见:
A = { x x ≤ 20 }, B = { x x > 3 }, C = { x x < 9 }
D C A
0
•
3
•
9
•
B E
20
•
A ⊃ C ⊃ D, B ⊃ E ; D 与 B , D与 E 互不相容; C 与 E 为对立事件; B 与 C , B与 A, E 与 A 相容.
S
A B
A ∩ B = { x x ∈ A且 x ∈ B }
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有 公共样本点构成的集合。 ▲称
∞
k =1
∩ Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
n
An 的积事件
的积事件
k =1
∩ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A 和 B 所有样本点构成的集合 注 ▲ 它是由事件 n ▲ 称 ∪ A k 为 n 个事件 A1 , A 2 , , An 的和事件
k =1
∪ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
∞
k =1
的和事件
概率统计
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件， 则称这样的事件为 A与 B 的积 B AB A （交）。记作： A B 或
S
.e
样本点e
•
D C A
0
•
3
•
9
•
20
•
概率统计
-5
•
D = { x x < −5 }, E = { x x ≥ 9 }
由图可见:
A = { x x ≤ 20 }, B = { x x > 3 }, C = { x x < 9 }
D C A
0
•
3
•
9
•
B E
20
•
A ⊃ C ⊃ D, B ⊃ E ; D 与 B , D与 E 互不相容; C 与 E 为对立事件; B 与 C , B与 A, E 与 A 相容.
S
A B
A ∩ B = { x x ∈ A且 x ∈ B }
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有 公共样本点构成的集合。 ▲称
∞
k =1
∩ Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,
n
An 的积事件
的积事件
k =1
∩ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A 和 B 所有样本点构成的集合 注 ▲ 它是由事件 n ▲ 称 ∪ A k 为 n 个事件 A1 , A 2 , , An 的和事件
k =1
∪ Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
∞
k =1
的和事件
概率统计
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件， 则称这样的事件为 A与 B 的积 B AB A （交）。记作： A B 或
S
.e
样本点e
概率论与数理统计第一章1-4高职高专
A、 B不可能同
A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
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Ω6 的一个子集
A = { t t > 10000 }
称 A为随机试验E6 的一个随机事件
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间 Ω的子集称为 E 的随机事件, 简称事件. 的随机事件, 简称事件. 当且仅当子集Ａ中某个样本点在试验中出 现时， 在该次试验中发生， 现时，称事件Ａ在该次试验中发生，简称事件 A发生。 发生。 发生
差事件
A − B = {ω ω ∈ A且 ∉ B} ω
事件A− B称为事件A与事件B的差事件 事件A− B发生 ⇔事件A发生而事件B不发生
E2 A = { HH, TT } B = { HH, HT }
A − B = {TT }
A
B
Ω
互斥
AI B =∅
则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的
AI B =∅⇔事件A和事件B不能同时发生
三、事件间的关系与运算
研究原因：希望通过对简单事件的相互关系的研究 了解掌握较复杂的事件 研究规则：事件间的各种不同的关系和运算与集合 之间的运算存在相对应的关系
随机试验的E样本空间为Ω
其他事件A, , , k (k = 1,2,3,L) ⊂ Ω BCA
子事件 和事件 积事件 差事件 互斥（互不相容） 对立事件（逆事件） 运算规律
B = { 两 出 反 } = { TT } 次 现 面
AU B = { 两 出 同 面} = { HH,TT } 次 现 一
A
Ω
B
积事件
AI B = {ω ∈ A且 ∈ B} ω
事件AI B是事件A与事件B的积事件
事件AI B发生 ⇔事件A与事件B同时发生 积事件AI B可简记为AB
n
称 Ak为n个事件A，A2， ，An的积事件； L I 1
A
Ω
A
对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥 互不相容 、 互斥(互不相容 互不相容) A、B 对立（互逆） 、 对立（互逆）
A
B
A
B= A
AB = ∅
互斥
AU B = Ω且 AB =∅
对立
按差事件和对立事 件的定义，显然有 − B = AB A
A
B
Ω
A
B
Ω
子事件
A⊂ B
事件A是事件B的子事件
含义：事件A发生必然导致事件B发生
E6 A = {电 机 命 超 8000小 } 视 寿 不 过 时
B = {电 机 寿 不 过 视 的 命 超 10000小 } 时
A⊂ B
Ω
B A
和事件
AU B = { ω ω ∈ A或 ∈ B } ω
事件AU B是事件A和事件B的和事件
第一节
随机事件
一、随机试验与样本空间 二、随机事件 三、事件间的关系与运算
0. 随机现象
自然界所观察到的现象: 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象
(1) 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, 太阳不会从西边升起” “水从高处流向低处”, 水从高处流向低处” “同性电荷必然互斥”, 同性电荷必然互斥”
E1 抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况
Ω = { H, T } 1
H T
E2 将一枚硬币连抛两次，观察正面H反面T出现的情况
Ω = { HH, HT, TH, TT } 2
H H H T
T
H
T
T
样本空间 Ω
随机试验的所有可能结果组 成的集合．
样本空间Ω 中的元素，即E 的每个结果， 称为样本点．
E6 在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命
Ω6 = { t t ≥ 0}
E7 观察某地明天的天气是雨天还是非雨天
Ω7 ={ 雨天，非雨天 }
二、随机事件
随机试验中每一个可能的结果一般称为随机事件
E6 在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命
规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品 满足这一条件的样本点组成
一、随机试验与样本空间
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 在概率论中 把具有以下三个特征的试验称 随机试验. 为随机试验 (1) 可以在相同的条件下重复地进行 可以在相同的条件下重复地进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个 并且能 每次试验的可能结果不止一个,并且能 事先明确试验的所有可能结果; 事先明确试验的所有可能结果 (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现. 会出现
实例4 实例
从一批含有正品
其结果可能为: 其结果可能为 次品. 正品 、次品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 一个产品 实例5 实例 过马路交叉口时, 过马路交叉口时
可能遇上各种颜色的交通 指挥灯. 指挥灯
实例6 实例
出生的婴儿可
能是男 也可能是 也可能是女 能是男,也可能是女. 实例7 实例 明天的天气可
基本事件 ：由一个样本点组成的单点集合 复合事件 ：由多于一个样本点组成的集合
随机试验 E1 有两个基本事件{H}和 {T} 随机试验 E3 有三个基本事件{0} { }和 {2} 、1 样本空间的两个特殊子集
Ω 它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次
试验中它总是发生，称为必然事件（全集） .
∅ 它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不 发生,称之为不可能事件 （空集）.
A
B
Ω
对立事件
Ω − A 称为事件A 的对立事件或逆事件，记做A
即A = Ω − A
事件A 发生⇔事件A不发生
AI A=∅
AU A = Ω
故在每次试验中事件A， 中必有一个且仅有一个发生 A
A也是A 的对立事 件，所以称事件A与A 互逆
若事件A表示“某公司今年年底结算将不亏损”
则事件A 表示“某 公司今年年底结算 将亏损”.
实例2 用同一门炮向同 实例 一目标发射同一种炮弹多 观察弹落点的情况. 发 , 观察弹落点的情况 结果: 弹落点会各不相同. 结果 弹落点会各不相同 实例3 抛掷一枚骰子,观 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数. 察出现的点数 结果有可能为: 结果有可能为
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
样本点一般用 ω 表示，可记为 Ω = { ω ...... }
E3 将一枚硬币连抛两次，观察正面H出现的次数
Ω3 = {0,1, 2}
0次
T T
H
T
1次 2次
H H T H
E4 在某一批产品中任选一件，检验其是否合格
Ω4 = { 合格，不合格}
E5 记录某大超市一天内进入的顾客人数
Ω5 = {0,1, 2, 3, 4,L}
k =1 ∞
称 Ak为可列个事件A , A2 ,L, An ,L 的积事件 I 1
k =1
某输油管长100 km
事 A= { 前 km油 正 工 } 件 50 管 常 作
事 B = { 后 km油 正 工 } 件 50 管 常 作
事 AI B = {整 输 管 常 作 件 个 油 正 工 }
B
Ω
A
确定性现象的特征
条件完全决定结果
(2) 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 称为随机现象 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 实例 在相同条件下掷一枚均匀的硬币， 正反两面出现的情况. 正反两面出现的情况 结果有可能出现正面也可能出现反面 结果有可能出现正面也可能出现反面. 出现正面也可能出现反面
能是晴 也可能是多云 能是晴 , 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 其数量关系无法用函数加以描述. 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 然性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 规律性的一门数学学科 如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的. 随机现象是通过随机试验来研究的 问题 什么是随机试验? 什么是随机试验
事件 U B发生⇔事 A发 A 件 生或事件 发生 B ⇔事件A与B至少有一个发生
n
称 称
L UA 为 n 个事件 A，A，，A 的和事件；
k k=1 ∞
1
2
n
UA 为 可列个事件A , A ,L, A ,L的和事件
k 1 2 k k=1
次 出 正 E2 A = { 两 都 现 面} = { HH }